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2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数1学案新人教A版选修.doc

2019-2020 学年高中数学第一章导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导 数 1 学案新人教 A 版选修
一、学习要求 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 2.理解极大值和极小值的概念; 3.掌握求可导函数极大值和极小值的方法与步骤。 二、先学后讲 1.函数的极值与极值点 设函数 如果对 在点 附近有定义, b x y=f(x) 的一个极大值,记作 设函数 我们就说 在点 ,点 叫做函数的极大值点。 附近的所有点,都有 , 点 , y

附近的所有点,都有 ,我们就说 是函数

O a

附近有定义,如果对

是函数 f ( x) 的一个极小值, 记作

叫做函数的极小值点。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为函数的极值点。 极值反映了函数在某一点附近的大小情况,该画的是函数的局部性质。

2.函数的极值与导数 如果函数 侧 值点。 如果函数 侧 值点。 如果函数 符号不变,那么 在点 不是函数 满足 ,而且在点 的极值。 附近的左右两侧 在点 满足 叫做函数 ,而且在点 的极小值,点 附近的左侧 叫做函数 ,右 的极小 在点 满足 叫做函数 ,而且在点 的极大值,点 附近的左侧 叫做函数 ,右 的极大

,那么把

,那么把

【要点说明】可导函数的极值点一定是导数为零的点(即:若 个极值点,则 ,则点

是函数

的一 满足

) ;但导数为零的点不一定是函数的极值点(即:若 不一定是函数的极值点) 。

3.求函数极值的方法步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求函数的导数 (3)解方程 (4)以方程 列表; (5)判断 在方程 的根左右两侧的符号,作出结论: ; ,求出使导数为零的点(即导数的零点); 的根为端点,顺次把函数 的定义域划分为若干个区间,并

“左正右负”是极大值点; “左负右正”是极小值点。

三、问题探究 ■合作探究 例 1.求函数 解:∵ 令 当 变化时, , 的极值。 ,∴ ,解得 的变化情况如下表: , 。 ,

0 递增 ∴当 当 递减

0 递增 ; 。

时,函数有极大值,极大值为 时,函数有极小值,极小值为

■自主探究 1.求函数 解:∵ 令 当 变化时, , 的极值。 ,∴ ,解得 的变化情况如下表: , 。 ,

0 递增 ∴当 当 递减

0 递增 ; 。

时,函数有极大值,极大值为 时,函数有极小值,极小值为

四、总结提升 本节课你主要学习了 五、问题过关 1. 函数 解: 令 当 当 ∴当 当 时, 时, , ; 。 ,解得 ;当 的极大值为 ,极小值为 , 或 , 时, ; 。 。

时,函数有极大值,极大值为 时,函数有极小值,极小值为

2. 若函数 .函数

的导函数图象如图所示,则下列判断正确的是( 在区间 上单调递增

)。

.函数 .函数

在区间

上单调递减 y
-3 -2 -1 ? 1 0
2

在区间 (4,5) 上单调递增 有极小值

y=f’ (x)

.当 x ? 3 时,

1

2

3

4

5

x

解:导函数大于零,则所对应区间上原函数单调增, 导函数小于零,则所对应区间上原函数单调减。因此 C 正确。

3.下列函数中,既是奇函数又存在极值的函数是( . . .

) 。 (答案:选 .

)



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