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2.4正态分布(PPT)


2.4 正态分布
?u ,? (x) ?
? 1 e 2?? ( x ?? ) 2 2?2

KETANG HEZUO TANJIU

问题归类:

1.正态密度曲线函数中参数 ? , ? 的意义;
2.正态曲线的性质4、5、6的理解; 3.如何利用正态分布求正态变量的概率?

1.正态曲线

?u ,? (x) ?

? 1 e 2??

( x ?? ) 2 2?2

?u ,? (x) ?
2.正态密度曲线的性质:

? 1 e 2??

( x ?? ) 2?2

2

y =φμ,σ(x)

上方 ①曲线位于x轴_____,与x轴不相交. x=μ对称. ②曲线是单峰的,它关于直线_____
1 2?? ③曲线在x=μ处达到峰值______.

1 ④曲线与x轴之间的面积为__.

?u ,? (x) ?
2.正态密度曲线的性质:

? 1 e 2??

( x ?? ) 2?2

2

y =φμ,σ(x)

上方 与x轴不相交. ①曲线位于x轴_____, x=μ对称. ②曲线是单峰的,它关于直线_____
1 2?? ③曲线在x=μ处达到峰值______.

1 ④曲线与x轴之间的面积为__.

σ=1 (5)当σ一定时,曲线的位置 由 μ 确定,曲线随着 μ 的变 化而沿x轴平移。 (6)当μ一定时,曲线的形状 σ 由 确定 . σ越小,曲线越“瘦高 ”,表示 σ=2 总体的分布越集中; σ越大,曲线越“ 矮胖 ”,表示 总体的分布越分散.

u=1

σ=0.5

σ=1

2 3.随机变量X服从正态分布 N (?, ? ) ,

则P(X<a)=

S

阴影部分

(ˇ?ˇ) :这里的参数μ,σ的意义是什么? 提示:参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,即
2 若X?N (?, ? ) ,则E(X)= μ。参数σ是衡量随机变量总体波动

大小的特征数,可以用样本的标准差去估计。

4.正态变量在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则

P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.

课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”): (1)函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方 差. ( × )

(2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变 化而变化的. (× ) (√ )

(3)正态曲线可以关于y轴对称.

2.填一填:
(1)已知正态分布密度函数为f(x)=
1 e 2?
? x2 4?

课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU

,x∈(-∞,+∞),则该
2? .

正态分布的均值为

0

,标准差为

2 )(σ >0)和N(μ , 2 )(σ >0)的 (2)设两个正态分布N(μ1,?1 1 2 ?2 2

密度函数图象如图所示,则有μ1

<

μ2, σ1

<

σ2.

课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU

(3)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0). 若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率 为 0.8 . ξ在(2, +∞)内取值的概率为 0.1 。

3.做一做: (1)已知随机变量X~N(2,σ2),若P(X<a)=0.32,

课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU

则P(a≤x<4-a)= 0.36

.

4-a

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【解题思路归纳】
充分利用正态曲线的对称性及面积为 1 的性质求解. (1)熟记正态曲线关于直线 x=μ 对称,从而在关于 x=μ 对称的区间 上概率相等. (2)P(X<a)=1-P(X≥a); P(X<μ-a)=P(X>μ+a).

课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU

3.(2)已知X~N(1,22),求P(-1<X≤3)的值。 y 解:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2. P(-1<X≤3) = P(1-2<X≤1+2) = P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.6826.
-1 1 3

x

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【延伸探究】条件不变的情况下,试求P(X≥5).

【解析】因为P(X≥5)=P(X≤-3),
1 所以P(X≥5)= 2 [1-P(-3<X≤5)] 1 = 2 [1-P(1-4<X≤1+4)] 1 = 2[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)] 1 = (1-0.9544)=0.0228. 2

y

x
-1 1 3 5

课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU

【解题思路归纳】
求正态变量 X 在某区间内取值的概率的基本方法: (1)根据题目中给出的条件确定 μ,σ 的值; (2)将待求问题向(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]这三个区间进 行转化; (3)利用上述区间求出相应的概率.

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3.(3)在某次数学考试中,考生的成绩

?

服从一个正态分布,

即 ? ~N(90,225).
(1)试求考试成绩

?

位于区间(75,120)上的概率是多少?

(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在120分以上的
考生大约有多少人?

x

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问题归类:

1.正态密度曲线函数中参数 ? , ? 的意义;
2.正态曲线的性质4、5、6的理解; 3.如何利用正态分布求正态变量的概率?

1. 正态曲线
f ( x) ?
? 1 e 2? ? ( x?? )2 2? 2

x ? (??,??)

y

2.正态分布 3.正态曲线的性质
(1)非负性 (4)最值性 (2)定值性 (5)几何性. (3)对称性
o x

4.正态分布的简单应用

《课时作业》P117-118

谢谢大家! 再见!

频率 组距

样本容量增大时 频率分布直方图

y

各小长方形的面积为各组的频率 全部直方图的面积等于1

0 返回

x

【类题训练】
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),则P(ξ<3)等于( D ) A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 5 4 2 3 2.(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4) =0.8,则P(0<ξ<2)等于( C ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

返回

变式训练
在武汉从汉口乘公共汽车前往武昌高铁站有两条路线可走, 第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为 分)服从正态分布N(50,102); 第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间

服从正态分布N(60,42).
(1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线?

(2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线?

【解析】由已知可设X~N(50,102),Y~N(60,42).
由正态分布的2σ区间性质 P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544.

根据上述性质得到如下结果:
对X:μ=50,σ=10, 2σ区间为(30,70), 对Y:μ=60,σ=4, 2σ区间为(52,68),

要尽量保证用时在X∈ (30,70),Y ∈(52,68)才能保证有95%以 上的概率准时到达.

(1)时间只有70分钟可用,应该走第二条路线. (2)时间只有65分钟可用,两种方案都能保证有95%以上的概率 准时到达,但是走市区平均用时比路线二少了 10分钟,应该走第 一条路线.

知识应用:
(1)某厂生产的零件外直径ξ~N(8.0,0.152)(mm),今从该厂上、 下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm

和7.5mm,则可认为

(C

)

A.上、下午生产情况均为正常

B.上、下午生产情况均为异常
C.上午生产情况正常,下午生产情况异常

D.上午生产情况异常,下午生产情况正常

(2)据调查统计,某校高二学生中男生的身高X(单位:cm) 服从正态分布N(174,9),若该校共有高二男生400人,试计算 该校高二男生身高在(174,180]范围内的人数. 解:因为X~N(174,32),所以μ=174,σ=3. P(174<X≤180) = =
1 P(174-6<X≤174+6) 2

1 ·0.9544 =0.4772. 2

400 х0.4772≈191(人)

(3)已知X~N(1,22),求P(3<X≤5)的值. 因为P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1), 所以P(3<X≤5) = [P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)]

=
=

[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)]
[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)]

=

(0.9544-0.6826)=0.1359.

(2)某糖厂用自动打包机打包,每包质量X(kg)服从正态分布 N(100,1.22).一公司从该糖厂进货1500包,试估计质量在下列 范围内的糖包数量. ①(100-1.2,100+1.2). ②(100-3×1.2,100+3×1.2).

【解题探究】1.题(1)中判断上、下午生产情况是否正常的依 据是什么? 2.题中如何估计质量在所求范围内的糖包数量 ? 【探究提示】1.依据是3σ原则,即某产品的外径是否落在区间 (7.55,8.45)内. 2.先依据正态分布求所在区间对应的概率 ,再计算所求范围内 的糖包数量.

【自主解答】(1)选C.因为零件外直径ξ~N(8.0,0.152), 根据3σ原则,所以在8+3×0.15=8.45(mm)与8-3×0.15 =7.55(mm)之外时为异常.因为上、下午生产的零件中各随机取 出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,7.5<7.55,所以下 午生产的产品异常,故选C.

(2)由正态分布N(100,1.22),知 P(100-1.2<X≤100+1.2)=0.6826, P(100-3×1.2<X≤100+3×1.2)=0.9974. 所以①糖包质量在(100-1.2,100+1.2)内的包数为 1500×0.6826≈1024. ②糖包质量在(100-3×1.2,100+3×1.2)内的包数为 1500×0.9974≈1496.

【方法技巧】正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ-σ,μ+σ),(μ2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)这三个区间进行转化,然后利用 上述区间的概率求出相应概率,在此过程中依然会用到化归思 想及数形结合思想.

【补偿训练】某人乘车从A地到B地,所需时间X(分钟)服从正态 分布N(30,100),求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率. 【解析】由μ=30,σ=10,P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826知此人在 20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.6826,又由于P(μ2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,所以此人在10分钟至20分钟或40分钟

至50分钟到达目的地的概率为0.9544-0.6826=0.2718,由正态
曲线关于直线x=30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的

概率为0.1359.

【解题探究】1.题(1)中正态分布的概率密度函数关于哪条直 线对称?a和4-a的平均数是多少? 2.题(2)中μ,σ的值分别为多少? 【探究提示】1.关于直线x=2对称.a和4-a的平均数是2. 2.μ=1,σ=2.

学生学习时问题截屏的呈现 教师归类后的问题呈现

【解析】(1)错误.参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特 征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大 小的特征数,可以用样本的标准差去估计. (2)错误.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是定值1. (3)正确.当μ=0时,正态曲线关于y轴对称. 答案:(1)× (2)× (3)√

【解析】(1)对照正态分布密度函数f(x)= (-≦,+≦), 可得μ=0,σ= 2? . 答案:0
2?

1 e 2??

2 x ?? ? ? ?

2 ?2

,x∈

2 (2)可知N(μ1, ),N(μ2, )的密度曲线分别关于直线 ?1 ?2 2

x=μ1,x=μ2对称,因此结合所给图象知μ1<μ2,且N(μ1,
2 )的密度曲线较N(μ , ?1 2 ?2 )的密度曲线“高瘦”,因此σ1 2

<σ2.

答案:<



(3)可知正态分布N(1,σ2)的密度曲线关于直线x=1对称.若ξ 在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8. 答案:0.8 0.1

【方法技巧】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ <X≤μ+3σ)的值. (3)注意概率值的求解转化: ①P(X<a)=1-P(X≥a); ②P(X<μ-a)=P(X≥μ+a); ③若b<μ,则P(X<b)= 1 ? P(? ? b ? X ? ? ? b) .
2

【方法技巧】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ <X≤μ+3σ)的值. (3)注意概率值的求解转化: ①P(X<a)=1-P(X≥a); ②P(X<μ-a)=P(X≥μ+a); ③若b<μ,则P(X<b)= 1 ? P(? ? b ? X ? ? ? b) .
2

2. 3σ原则
概率 ?( ? ? a ? X ? ? ? a ) ?

?

? ?a

? ?a

? ? ,?( x) dx.

三个特殊区间的概率(熟记)
Ρ( μ - σ < X ≤ μ + σ ) = 0.6826 Ρ( μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ ) = 0.9544 Ρ( μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ ) = 0.9974
95.44%
4?

6 8 .2 6 %

99.74%
6?

2?

?

?

?

(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率: 0.6826 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=_______;

0.9544 ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=_______;
0.9974 ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=_______.

正态分布在3个特殊区间的概率:
区 间 (μ-σ,μ+σ) (μ-2σ,μ+2σ) (μ-3σ,μ+3σ) 取值概率 68.26% 95.54% 99.74%

P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.

由于这些概率值很小(一般不超过5 % )通常称这些 我们从上图看到,正态总体在 ?? ? 2? , ? ? 2? ? 情况发生为小概率事件。

当 a ? 3? 时正态总体的取值几乎总取值于区间 以外取值的概率只有 4.6%,在 ?? ? 3? , ? ? 3? ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之内, 其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间 以外取值的概率只有0.3,称为 %。3? 原则.

y =φμ,σ(x)

(2)正态曲线的性质:

上方 与x轴不相交. ①曲线位于x轴_____, x=μ ②曲线是单峰的,它关于直线_____对称.
1 2?? ③曲线在x=μ处达到峰值______.

非负性 对称性

最值性 定值性

1 ④曲线与x轴之间的面积为__.

μ 的变化而沿 ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着___

x轴平移. 几何性质的演示

几何性

2.正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)正态分布:

①如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量
X满足P(a<X≤b)=
b a

φμ,σ(x)dx

则称随机变量X服从正态分布.
μ, σ2 ②记为:X~N(______).

②因为P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1),
所以P(3<X≤5) = [P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)]

=
=

[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)]
[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)]

=

(0.9544-0.6826)=0.1359.

变式训练3
在武汉从汉口乘公共汽车前往武昌高铁站有两条路线可走, 第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为 分)服从正态分布N(50,102); 第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间

服从正态分布N(60,42).
(1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线?

(2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线?

【解析】由已知可设X~N(50,102),Y~N(60,42).
由正态分布的2σ区间性质 P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544.

根据上述性质得到如下结果:
对X:μ=50,σ=10, 2σ区间为(30,70), 对Y:μ=60,σ=4, 2σ区间为(52,68),

要尽量保证用时在X∈ (30,70),Y ∈(52,68)才能保证有95%以 上的概率准时到达.

(1)时间只有70分钟可用,应该走第二条路线. (2)时间只有65分钟可用,两种方案都能保证有95%以上的概率 准时到达,但是走市区平均用时比路线二少了 10分钟,应该走第 一条路线.

y =φμ,σ(x)

2.正态曲线的性质: 上方 与x轴不相交. ①曲线位于x轴_____, x=μ对称. ②曲线是单峰的,它关于直线_____
1 ③曲线在x=μ处达到峰值______. 2??

1 ④曲线与x轴之间的面积为__. μ 的变化而沿 ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着___

x轴平移.

瘦高 ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“_____”,

矮胖 集中 σ越大,曲线越“_____”,表示总体 表示总体的分布越_____; 分散 的分布越_____.如图所示:

预习交流 2
设随机变量 X~N(μ ,σ 2 ), 且 P (X ≤C)=P (X>C),则 C=( ) A.0 B. σ C. -μ D. μ 提示:正态分布在 x=μ 对称的区间上概率相等,则 C=μ .

y =φμ,σ(x)

1.正态曲线:
1 2 e 2? 2?? 函数φμ,σ(x)=___________,x∈( -∞,+∞),其中实数μ,
? (x ?? )2

σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度 曲线,简称正态曲线.

预习交流 3
(1)如何求服从正态分布的随机变量 X 在某区间内取值的概率? 提示:首先找出服从正态分布时 μ , σ 的值, 再利用 3σ 原则求某一 个区间上的概率, 最后利用在关于 x=μ 对称的区间上概率相等求得 结果. (2)正态总体 N(4,4)在区间(2,6] 内取值的概率为 . 提示:由题意知 μ =4,σ =2, ∴ P (μ - σ <X ≤μ +σ )=P (2<X ≤6) =0. 6826.

预习交流 1
(1)正态曲线 φμ,σ(x)中参数 μ,σ 的意义是什么? 提示:参数 μ 反映随机变量取值的平均水平的特征数, 即若 2 X~N(μ, σ ),则 E(X)=μ . 同理, 参数 σ 是衡量随机变量总体波动大小的 特征数, 可以用样本的标准差去估计.

课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU

【方法技巧】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略:

(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)熟记三个特殊区间的概率值P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544, P(μ -3σ<X≤μ+3σ)=0.9974 的值,并将所求区间的概率转化为这些区间的概率来表示。


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