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2014年高考三角函数做题技巧与方法总结


2014 年高考三角函数做题技巧与方法总结
知识点梳理 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

2、三角函数的单调区间:

? ?? ? y ? sin x 的 递 增 区 间 是 ?2k? ? , 2k? ? ? ( k ? Z ) , 递 减 区 间 是 2 2? ?
? 3? ? ? 2k? ? ? ( k ? Z ) ; ?2k? ? 2 , 2? ?
2k? ? ( k ? Z ) , 递 减 区 间 是 y ? cos x 的 递 增 区 间 是 ?2k? ? ?,

?2k?, 2k? ? ? ? ( k ? Z ) ,
? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? ( k ? Z ) , 2 2? ?
3、三角函数的诱导公式 sin ( 2kπ+α ) =sinα sinα cos( 2kπ+α )=cosα cos( π+α )=- cosα cos(- α )=cosα sin ( π+α) = - sinα sin (- α ) = -

tan( 2kπ+α )=tan α tanα sin ( π - α) =sinα =cosα cos ( π- α ) =- cosα =sinα tan ( π- α ) = - tanα =cotα sin 2 (α)+cos 2 (α)=1 4、两角和差公式 弦和正切公式

tan( π+α )=tanα

tan(- α ) =-

sin ( π/2+α ) =cosα

sin ( π/2 - α )

cos ( π/2+α ) = - sinα

cos ( π/2 - α )

tan ( π/2+α) = - cotα

tan ( π/2 - α )

5 、 二倍角的正弦、余

sin ( α+β ) =sinαcosβ+cosαsinβ sin ( α- β) =sinαcosβ - cosαsinβ - 1=1 - 2sin 2 (α) cos ( α+β ) =cosαcosβ - sinαsinβ cos ( α- β ) =cosαcosβ+sinαsinβ tan ( α+β ) =(tanα+tanβ )/(1 - tanα ·tanβ) tan ( α- β ) =(tanα - tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式:

sin2α=2sinαcosα cos2α=cos 2 (α)- sin 2 (α)=2cos 2 (α) tan2α=2tanα/(1 - tan 2 (α))

sin

?
2

??

1 ? cos? ; 2

cos

?
2

??

1 ? cos? ; 2

tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

(其中A ? 0,? ? 0) 7、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ?

2?

?x ? ? ? k? ?

?
2

?

;其图象的对称轴是直线

(k ? Z ) , 凡是该图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心

8、由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开 这两个途径,才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时, 提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”

起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0)平移| ? |个单位,再将图 象上各点的横坐标变为原来的

1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 ( ? >0)或向右( ? <0=平移 9、对称轴与对称中心:
y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? 2 ,对称中心为 ( k? , 0)

1

|? |

?

倍(ω >0), 再沿 x 轴向左

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

k ?Z ;

y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? 2 ,0) ;
对于 y ? A sin( ?x ? ?) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称 轴与最值点联系。 10、求三角函数的单调区间: 一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、? 的正负 利用单
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 11、求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用 周期公式,另外还有图像法和定义法。

12、经常使用的公式 ①升(降)幂公式:
2 sin ??

1 ? c o s?2 1 ? cos 2? 1 cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2? 2 2 2 、 、 ;

②辅助角公式:

a sin ? ? b cos? ? a2 ? b2 sin(? ? ? ) ( ? 由 a , b 具体的值确定) ;
二、典型例题 弦切互化 例 1.已知 tan? ? 2 ,求(1)
cos ? ? sin ? ; cos ? ? sin ?

sin ? 1? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? cos? ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? 练习: sin 2 ? ? sin ? . cos? ? 2 cos2 ? 的值.
sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 解: sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 sin ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、 切互化,就会使解题过程简化。
2 2

函数的定义域问题 例 2、求函数 y ? 2 sin x ? 1 的定义域。
1 ? ? 3? ? 解:由题意知需 2 sin x ? 1 ? 0 ,也即需 sin x ? ? ①在一周期 ?? , ? 上符合① 2 ? 2 2?

? 7? ? ? ? 7? ? ? ?k ? Z ? 的角为 ?? , ? ,由此可得到函数的定义域为 ?2k? ? ,2k? ? 6 6 ? ? 6 6 ? ? ?
说明:确定三角函数的定义域的依据: (1)正、余弦函数、正切函数的定义域。 (2)若函数是分式函数,则分母不能为零。 (3)若函数是偶函数,则被开方式 不能为负。 (4 )若函数是形如 y ? log f ?x ??a ? 0, a ? 1? 的函数,则其定义域由
a

f ?x ? 确定。 (5)当函数是有实际问题确定时,其定义域不仅要使解析式有意义

同时还要使实际问题有意义。 函数值域及最大值,最小值 (1)求函数的值域 一般函数的值域求法有:观察法,配方法判别式法等,而三角函数是函数的

特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 例 3、求下列函数的值域 (1) y ? 3 ? 2 sin 2 x (2) y ? cos x ? 2 sin x ? 2
2

分析:利用 cos x ? 1与 sin x ? 1进行求解。 解: (1)? ? 1 ? sin 2 x ? 1? 1 ? y ? 5 ? y ? ?1,5? (
2

2
2



y ? cos x ? 2 sin x ? 2 ? ? sin 2 x ? 2 sin x ? 1 ? ??sin x ? 1? ? ?1 ? sin x ? 1,? y ? ?? 4,0?.

说明: 练习:求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。
π 解:设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] , 4 1 3 则原函数可化为 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? , 2 4
3 1 因为 t ?[? 2,2] ,所以当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 4 2 3 3 ? 2] 。 所以,函数的值域为 y ? [ , 4

(2)函数的最大值与最小值。 求值域或最大值,最小值的问题,一般的依据是: (1)sinx,cosx 的有界性; (2)tanx 的值可取一切实数; (3)连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。 例 4、求下列函数的最大值与最小值

1 ( 1 ) y ? 1 ? sin x 2

( 2 ) y ? 2 cos2 x ? 5 sin x ? 4

( 3 )

? ? 2? ? y ? 3 cos2 x ? 4 cos x ? 1 x ? ? , ? ?3 3 ?

分析: (1)可利用 sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围(2) (3)可利用二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 在闭区间 ?m, n? 上求最值得方法。 解: (1)

? 1 6 2 ?1 ? sin x ? 0 ?? 2 ? ?1 ? sin x ? 1?当sin x ? ?1时,y max ? ;当sin x ? 1时y min ? 2 2 ? ?? 1 ? sin x ? 1
(2)
2

5? 9 ? y ? 2cos x ? 5sin x ? 4 ? ?2sin x ? 5sin x ? 2 ? ?2 ? sin x ? ? ? , sin x ? ??1,1? , 4? 8 ?
2 2

? 当 sin x ? ?1 ,即 x ? ?

?
2

? 2k? (k ? Z) 时, y 有最小值 ?9 ;

当 sin x ? 1 ,即 x ? (

?
2

? 2k? (k ? Z) , y 有最大值 1。

3



2 1 1 ? ? 2? ? ? 1 1? y ? 3 cos2 x ? 4 cos x ? 1 ? 3(cos x ? ) 2 ? ,? x ? ? , ?, cos x ? ?? , ?, 从而cos x ? ? ,即 3 3 2 ?3 3 ? ? 2 2? 2? 15 1 ? 1 x ? 时,、y max ? 当 cos x ? ,即x ? 时,ymin ? ? 3 4 2 3 4
函数的周期性 例 5、求下列函数的周期

2 6 分析:该例的两个函数都是复合函数,我们可以通过变量的替换,将它们归结为 基本三角函数去处理。 (1)把 2x 看成是一个新的变量 u ,那么 cosu 的最小正周期是 2? ,就是说,当

?1? f ( x) ? c o 2 sx

?2? f ( x) ? 2 s i nx( ? ? )

u增加到u ? 2? 且必须增加到 u ? 2? 时,函数 cosu 的值重复出现,而

u ? 2? ? 2 x ? 2? ? 2( x ? ? ), 所以当自变量 x 增加到 x ? ? 且必须增加到 x ? ? 时,

函数值重复出现,因此, y ? sin 2 x 的周期是 ? 。
x ? ?x ?? (2)? 2 sin( ? ? 2? ) ? 2 sin ? ? ? 2 6 ?2 6?

?? x ? ?1 即 2 sin ? ?x ? 4? ? ? ? ? 2 sin( ? ) 6? 2 6 ?2

x ? ? f ( x) ? 2 s i n ( ? ) 的周期是 4? 。 2 6 说明:由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量 x 的系数有关。

一般地, 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 或 y ? A cos(?x ? ? ) (其中 A, ? , ? 为常数,A ? 0, ? ? 0, x ? R) 的周期 T ?
2?

?



例 6 利用图像求函数的周期 右图所示的曲线是 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 )图象的一部分,求这个函 数周期 3 5 ? 3 ? ? ,? T ? ? 解: T ? ? ? 4 6 12 4
y
2

O ?
?2

5? 6

12

x

例 2 下列函数中,图象的一部分如右图所示,求函 数 y ? A sin(?x ? ? ) 的周期.
1 ? ? 解: T ? ? (? ) , T ? ? 4 12 6

例 6、已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; 解: f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x)
? 2 s i nx2? 2 co x s?2 π 2 2xs ? in(2 4 )

所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R , 所以,当 2 x ?
π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8

函数的单调性

?? ? 例 8、下列函数,在 ? , ? ? 上是增函数的是( ?2 ?


D y?co2 sx

A.

y ? sin x

B

y?cox s

C

y?sin 2x

分析:? 解:

?
2

? x ? ? ,? ? ? 2 x ? 2? .可根据 sin x与 cos x在各象限的单调性作出 判断。

? ?? ? ? x?? , y ? sin x 与 y ? cos x 在 ? ,? ? 上都是减函数,? 排除 A, B , 2 ?2 ?

?? ? 2 x ? 2 ? 知 , y ? sin 2 x 在 2x ??? , 2? ? 内不具有单调性,? 又可排除 C ,? 应选 D 。

例 9、已知函数 f ( x) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos2 x ? (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期;

5 3 2

(Ⅱ)求 f(x)的递增区间.
5 3 2

解: (Ⅰ)? f ( x) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos2 x ?

5 1 ? cos 2 x 5 3 sin 2 x ? 5 3 ? 2 2 2 5 ? sin 2 x ? 5 3 cos 2 x 2 ? ? 5(sin 2 x cos
? 5 sin( 2 x ?

?
)

? cos 2 x sin ) 3 3

?

?
3

∴最小正周期 T=

2? ?? 2

(Ⅱ)由题意,解不等式 ? 得
?

?

?
12

? k? ? x ?

5? ? k? ]( k ? Z ) 12 12 小结:求形如 y ? A sin(?x ? ? )或y ? A cos(?x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0) 的函数的单调 区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是: (1)把“ ?x ? ? (? ? 0)"视为一个整体;( 2)A ? 0( A ? 0)时,所列不等式的方向 与y ?

5? ? k? 12

2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k?

(k ? Z )

? f ( x) 的递增区间是 [?

?

? k? ,

sin x( x ? R), y ? cos x( x ? R)的单调区间对应的不等 式的方向相同(反)。

三、练习 1. 函数 y ?
A. R B.
1 的定义域为( sin x


C.

?x ? R x ? k? , k ? Z ?
?

?? 1,0? ? ?0,1?
)

D.

?x x ? 0?

2. 函数 y ? cos( x ?
? 3 1? ?? ? 2 , 2? ? ?

? ?? ) , x ? ?0, ? 的值域是( 6 ? 2?
? 1 3? ?? , ? ? 2 2 ? C ? 3 ? ? ,1? ? 2 ? D

A.

B

?1 ? ? 2 ,1? ? ?

3. 函数 y ? sin(?x ? 4.
A.

?

4 下列函数中是偶函数的是(

)(? ? 0) 的周期为

2? ,则 ? =------------. 3
D y ? sin x ? 1


C y ? sin x

y ? sin 2 x

B

y ? ? sin x

5. 下列函数中,奇函数的个数为(



(1) y ? x 2 sin x (2) y ? sin x, x ? ?0,2? ?(3) y ? sin x, x ? ?? ? , ? ? (4) y ? x cos x
A. 1. B 2 C 3 D 4

? ?? 6. 在区间 ? 0, ? 上,下列函数为增函数的是( ? 2?
A. y? 1 sin x B y?? 1 cos x C y ? ? sin x


D y ? ? cos x

7. 函数 y ? sin 2 x 的单调减区间是(



A C

3? ?? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

?? ? 2k? ,3? ? 2k? ?
?
4

? 3? ? ? B ?k? ? , k? ? ? 4 4? ? ? ?? ? D ?k? ? , k? ? ? 4 4? ?

?k ? Z ?

8. 如果 x ?

,则函数 y ? cos2 x ? sin x 的最小值是——————

9. 函数 y ? tan x(
A

?
4

?x

3? ? 且x ? ) 的值域为( 4 2


D

?? 1,1?

B

?? ?,?1? ? ?1,???

C

?? ?,1?

?? 1,???

10、求函数 y ? sin 2 x ? sin x cos( 解

?
6

? x ) 的周期和单调增区间.

2 y ?sin x?si n x( c o s c o s x?si n si n x) 6 6 3 3 3 3 ? sin 2 x ? sin x cos x ? (1 ? cos2 x ) ? sin 2 x 2 2 4 4 3 3 ? 3 3 3 sin(2 x ? ) . ? ? ( sin 2 x ? cos2 x ) ? ? 4 2 3 4 4 4 2? ?? . ∴ 函数的周期 T ? 2 ? ? 5? ? ? 当 2 k? ? ≤ 2 x ? ≤ 2 k? ? , 即 k? ? ≤x≤ k? ? (k∈Z) 时函数 2 2 12 12 3 5? ? 单调增加,即函数的增区间是 [ k? ? , k? ? ] (k∈Z). 12 12

?

?

答案:B B 3 C C D B

1? 2 B 2



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