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瞬时变化率——导数知识 学案 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-2

1.1.1 1.1.2 平均变化率 瞬时变化率——导数 知识梳理 1.函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为___________. 2.设物体运动的路程与时间的关系是 s=f(t),当 Δ t 趋近于 0 时,函数 f(t)在 t0+Δ t 之间的 平均变化率 f (t 0 ? ?t ) ? f (t 0 ) 趋近于常数.我们把这个常数称为 t0 时刻的____________. ?t 3.函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义,就是曲线 y=f(x)在(x0,f(x0))处切线的斜 率,即 k=f′(x0)=_____________. 知识导学 要学好本节内容,最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念 .本节的重点是导数 的定义及其几何意义,难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数 ,及两种变化率之 间的关系. 疑难突破 1.正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系. 剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量 ,平均变化率表示的是曲线在某 区间上的变化趋势;瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势. 2.怎样理解导数的定义及几何意义? 剖 析 : 导 数 是 函 数 在 某 一点 处 的 瞬 时 变 化 率 , 导数 的 几 何 意 义 就 是 曲 线 y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解 导数的定义是本节的关键. 典题精讲 2 【例 1】 已知 f(x)=x ,求曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线斜率. 思路分析: 为求得过点(3,9)处的切线斜率,我们从经过点(3,9)的任意一条直线(割线)入手. 解:设 P(3,9),Q(3+Δ x,(3+Δ x) ),则割线 PQ 的斜率为 kPQ= 2 (3 ? ?x) 2 ? 9 =6+Δ x. ?x 当 Δ x 无限趋近于 0 时,kPQ 无限趋近于常数 6,从而曲线 y=f(x)在点 P(3,9)处的切线斜率为 6. 绿色通道:利用割线逼近切线的方法,求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观 的解题方法. 2 变式训练:已知 f(x)=2x ,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率. 思路分析:为求得过点(1,2)处的切线斜率,我们从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手. 2 解:设 P(1,2),Q(1+Δ x,2(1+Δ x) ),则割线 PQ 的斜率为 kPQ= 2(1 ? ?x) 2 ? 2 =4+2Δ x. ?x 当 Δ x 无限趋近于 0 时,kPQ 无限趋近于常数 4,从而曲线 y=f(x)在点 P(1,2)处的切线斜率为 4. 2 【例 2】 已知 f(x)=x +3. (1)求 f(x)在 x=1 处的导数; 1 (2)求 f(x)在 x=a 处的导数. 思路分析:函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概 念是正确解题的关键. 解:(1)因为 ?y f (1 ? ?x) ? f (1) (1 ? ?x) 2 ? 3 ? (12 ? 3) ? ? =2+Δ x, ?x ?x ?x 当 Δ x 无限趋近于 0 时,2+Δ x 无限趋近于 2,所以 f(x)在 x=1 处的导数等于 2. (2)因为 ?y f (a ? ?x) ? f (a) (a ? ?x) 2 ? 3 ? (a 2 ? 3) ? ? =2a+Δ x, ?x ?x ?x 且当 Δ x 无限趋近于 0 时,2a+Δ x 无限趋近于 2a,所以 f(x)在 x=a 处的导数等于 2a. 绿色通道:本题主要考查对导数概念的理解程度,及应用定义解题的熟炼程度. 变式训练:已知 f(x)=3x+5,求当 x=2 时的导数. 思路分析:函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率. 解:因为 ?y f (2 ? ?x) ? f (2) 3(2 ? ?x) ? 5 ? (3 ? 2 ? 5) ? ? ? 3. ?x ?x ?x 所以 f(x)在 x=2 时的导数为 3. 2 【例 3】 已知曲线 y=3x -x,求曲线上一点 A(1,2)处的切线的斜率及切线方程. 思路分析:求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值. ?y 3(1 ? ?x) 2 ? (1 ? ?x) ? (3 ? 12 ? 1) ? ? 5 ? 3?x , 解:因为 ?x ?x 当 Δ x 趋近于 0 时,5+3Δ x 就趋近于 5,所以曲线 y=3x -x 在点 A(1,2)处的切线斜率是 5. 切线方程为 y-2=5(x-1), 即 5x-y-3=0. 绿色通道: 根据导数的定义将切线的斜率求出,再根据点斜式方程求出切线方程,这是用导数 求某点处切线的一般方法. 变式训练:已知曲线 y= 2 1 3 8 x 上一点 P(2, ),求点 P 的切线斜率及点 P 处的切线方程. 3 3 思路分析: 先求出某点处的切线斜率,即求该函数在某点处的导数, 然后利用导数定义求解. 1 1 (2 ? ?x) 3 ? ? 2 3 ?y 3 3 解:因为 ? ?x ?x 1 1 [3 ? 2 2 ?x ? 3 ? 2(?x) 2 ? (?x) 3 ] 4?x ? 2?x 2 ? ?x 3 1 2 3 =4+2Δ x+ ?x , ?3 ? 3 ?x ?x 1 2 当 Δ x 趋近于 0 时,4+2Δ x+ ?x 就趋近于 4, 3 1 3 8 8 所以曲线 y= x 上点 P(2, ) 处的切线斜率为 4 ,切线方程为 y ? ? 4( x ? 2) ,即 3 3 3 16 4x ? y ? ?0 3 问题探究 3 2 问题:某钢管厂生产钢管的利润函数为 P(n)=-n +600n +67 500n-1 200 000,其中 n 为工厂 2 每月生产该钢管的根数,利润 P(n)的单位是元


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