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2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题(理科)【word版+答案】


2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测

数学试题卷(理科)
考生须知: 1. 本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名. 3. 所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效. 4. 考试结束,只需上交答题卷.

参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B) . 如果事件 A,B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率:
k P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k (k ? 0,1, 2,3,?, n) n

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若复数 z ? 2i ?

2 ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为( 1? i
B.

)

A.

2 2

2

C.

3

D. 2 )

2.设 a ?R,则“ a ? 4 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 l2 : 2x ? y ? a ? 0 平行”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 3.设函数 f ( x) ? 2 ,则下列结论中正确的是(
x

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2) )

A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f (?1)

4.设等差数列 ?a n ?的前 n 项和是 S n ,若 ?am ? a1 ? ?am?1 ( m?N*,且 m ? 2 ),则必定有( A. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 C. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 B. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 D. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0

高三数理试·第 1 页(共 4 页)

5.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( A. 4 C. 6 B. 5 D. 7

)
开始 n=5,k=0 n 为偶数

6.设函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1) 的定义域为 [m, n](m ?

1 n) ,值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的最小值为 ,则实数 a 的值为 3
( A. )



否 n=3n+1

n?

n 2

1 4

B.

1 2 或 4 3

k=k+1 否 n =1? 是 输出 k 结束 (第 5 题)

2 C. 3
2 2

2 3 D. 或 3 4

7.设双曲线

x y ? ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直 4 3

线 l 交双曲线左支于 A, B 两点,则 BF2 ? AF2 的最小值 为( A. )

19 2

B. 11

C. 12

D. 16

8.已知集合 A ? ( x, y ) x( x ? 1) ? y ( y ? 1) ? r ,集合 B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? r 2 ,若 A 实数 r 可以取的一个值是( A. )

?

?

?

?

?B ,则

2 ?1

B.

3

C. 2

D. 1 ?

2 2
)

?1 ? x ? 1 , x ? (??, 2) ? 9.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 1的零点的个数为( f ( x ? 2), x ?[2, ??) ? ?2
A. 4 10. 设等差数列 ?a n ?满足: B. 5 C. 6 D. 7

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 公差 d ? (?1, 0) . ? 1, sin(a4 ? a5 )
)

若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是( A. ?

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6

B. ?

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C.

? 7? 4? ? ? 6 , 3 ? ? ?

D.

? 4? 3? ? ? 3 , 2? ? ?

高三数理试·第 2 页(共 4 页)

二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 请将答案填在答题卷的横线上.

2 11.二项式 ?1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 ? ? ? x?

5

. (用数字

12.从 0,1,2,3 中任取三个数字,组成无重复数字的三位数中,偶数的个数是 回答).

13.无穷数列 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,? 的首项是 1,随后两项都是 2,接下来 3 项都是 3,再 接下来 4 项都是 4, 以此类推.记该数列为 ?a n ?, an?1 ? 20 ,an ? 21 , n ? ?, 若 则 14.若正数 x , y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 .

x ? 2y 的最小值为 xy



15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,若 a 2 ? b 2 ?

1 2 c .则直线 ax ? by ? c ? 0 被圆 x 2 ? 2

y 2 ? 9 所截得的弦长为



?y ? x ? 0 16.若整数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 2x ? y 的最大值为 ? .. ?x ? 0 ?
??



A

C
17.如图,在扇形 OAB 中, ?AOB ? 60? ,C 为弧 AB 上的一个动点.若 OC

? x O A y O,则 x ? 3 y 的取值范围是 ? B

? ?

? ?

O

(第 17 题)

B

三、解答题:本大题有 5 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤。 18.(本题满分 14 分)设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3sin 2x( x ? R). . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,锐角 A 满足 f ( A) ? 3 ? 2 3 , B ? 值.

?
12

, 求

a 的 c

19.(本题满分 14 分)已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球 ( x, y ? 0, 且 x ? y ? 6) ,乙箱中只 放有 2 个红球、1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x , y 的值; (Ⅱ)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E (? ) .

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20.(本题满分 14 分)已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (Ⅰ)设 bn ? (Ⅱ)设 cn ?

1 ,其中 n?N*. 4an

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ?的通项公式 an ;

4an 1 , 数列 ?cncn?2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? 对于 n ?1 cm cm?1

n?N*恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明理由.

21. (本题满分 15 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 右焦点到直线 l1 : 3x ? 2 a b 2

3 4 y ? 0 的距离为 . 5
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 : y ? kx ? m(km ? 0) 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且线段 AB 中点恰好在直线 l1 上,求△OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点).

22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x.
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,设切点为 P(m, n) ,求实数 m 的 值; (Ⅲ)设定义在 D 上的函数 y ? g ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? h( x), 当 x ? x0 时, 若

g ( x ) ? h( x ) 则称 P 为函数 y ? g ( x) 的 “转点” 当 a ? 8 时, . ? 0 在 D 内恒成立, x ? x0

试问函数 y ? f ( x) 是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说 明理由.

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高三数理试·第 7 页(共 4 页)

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