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向量的应用第二课时学案2 高中数学 必修四 苏教版 Word版


互动课堂 疏导引导 1.力向量 力向量与前面学过的向量不同,它不是自由向量,不仅包括大小和方向,而且还有作 用点,大小相同,方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不同的两个力,但力是 具有大小和方向的量,在不计作用点的情况下,可利用向量运算法则进行计算,例如,求作 用于同一点的两个力的合力,可用向量求和用的平行四边形法则(此方法已为物理实验证 明) ,如图. 案例 3 在重 300 N 的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅直线的两侧,与铅直线的夹角分 别为 30° ,60° (如图) ,求重物平衡时,两根绳子拉力的大小. 【探究】注意到两根绳子的夹角为 90° ,因此可将问题转化到解直角三角形,作 使∠AOC=30° =∠BOC=60° ,∠OAO=90° . | OA |=| OC |cos30° =150 3 N, | AC |=| OC |sin30° =150 N, | OB |=| AC |=150 N. OACB, 2.速度向量 速度向量是具有大小和方向的量,质点在运动中时刻都有对应的速度向量,如东北风 50 m/s 可用下图中有向线段表示. 规律总结 (1)力,速度,加速度,位移都是向量,向量的加减法即以上向量的合成与分 解. (2)动量 mv 是数乘向量. (3)功即力 F 与所产生位移 s 为数量积. (4)学习本节课要注意两个方面的问题:一方面是如何把物理问题转化为数学问题,也就 是将物理量之间的关系抽象成数学模型, 另一方面就是如何利用建立起来的数学模型解释和 回答相应的物理现象. 活学巧用 【例 1】 如图所示,求两个力 f1,f2 的合力 f 的大小和方向(精确到一位小数). 解析:由题意可设 f1=(a1,a2) , f2=(b1,b2). 则 a1=300cos30° =259.8, a2=300sin30° =150, b1=-200cos45° =-141.4, b2=200sin45° =141.4, 所以 f1+f2=(259.8,150)+(-141.4,141.4) =(118.4,291.4), 故|f|= 118 .42 ? 291.42 =314.5. 设 f 与 x 轴的正向夹角为 θ,则 tanθ= 291 .4 =2.461 1. 118 .4 由 f 的坐标知为第一象限角,于是 θ=67°53′. 【例 2】一条渔船距对岸 4 km,以 2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船 的实际航程为 8 km,求河水的流速. 解析:如图所示,设河水流速为 v1,实际航向与水流方向的夹角为 α,则 sinα= 所以 α=30°. |v1|= 4 1 ? . 8 2 2 ? 2 3 (km/h),即水的流速大小为 2 3 km/h. tan 30 ? 【例 3】 今有一小船位于 d=60 m 宽的河边 P 处,从这里起,在下游 l=80 m 的 L 处河流变 成“飞流直下三千尺”的瀑布,若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行) ,水速大小为 5 m/s,如图所示,为使小船能安全渡河,船速不能小于多少?划速最小时划速方向如何? 解析:设该船的划速为|v 划|,方向与上游河岸夹角为 α,如图 所示,将|v 划|正交分解为|v1|,|v2|, 则|v1|=|v 划|cosα,|v2|=|v 划|sinα. 船同时参与两个运动,设船到达对岸时,极其靠近河流与瀑布交界处,由 d l , ? v2 v水 ? v1 即 60 80 , ? v划 sin


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