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2015高考理科数学《数列的概念及简单表示法》练习题


2015 高考理科数学《数列的概念及简单表示法》练习题
[A 组 一、选择题 1.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.-12 D.-15 ) 基础演练·能力提升]

解析:a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10×(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+… +[(-1)9×(3×9-2)+(-1)10×(3×10-2)]=3×5=15. 答案:A 2.数列{an}的通项 an= A.3 10 C. 1 19 1 90

n n +90
2

,则数列{an}中的最大值是( B.19 D. 10 60 1 90 ≤

)

解析:因为 an=

,运用基本不等式得,

n+
时,an= 1 最大. 19

n

n+

1 ,由于 n∈N*,不难发现当 n=9 或 10 2 90

n

答案:C 1 3.(2014 年银川模拟)设数列{an}满足:a1=2,an+1=1- ,记数列{an}的前 n 项之积为 Tn,则

an

T2 013 的值为(
A.- C. 1 2 1 2

) B.-1 D.2

1 解析:由 a2= ,a3=-1,a4=2 可知,数列{an}是周期为 3 的周期数列,从而 T2 013=(-1)671= 2 -1. 答案:B 4. 已知每项均大于零的数列{an}中, 首项 a1=1 且前 n 项和 Sn 满足 Sn Sn-1-Sn-1 Sn=2 SnSn-1(n ∈N*且 n≥2),则 a81=( )
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A.638 C.640

B.639 D.641

解析:由已知 Sn Sn-1-Sn-1 Sn=2 SnSn-1可得, Sn- Sn-1=2,∴{ Sn}是以 1 为首项,2 为公 差的等差数列,故 Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选 C. 答案:C 5.(2014 年长沙模拟)已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数 x,y 都有 f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则

an 为(

) B.n ?3? D.? ?n-1 ?2?

A.2n-1 C.2n-1

解析:由题意知 f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n∈N*),∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减 3 得,2an=3an-1(n≥2),又 n=1 时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1,∴数列{ an}是首项为 1,公比为 的 2 ?3? 等比数列,∴an=? ?n-1. ?2? 答案:D 6. (2014 年石家庄模拟)已知数列{an}满足: a1=1, an+1= ?1 ? (n∈N*). 若 bn+1= (n-λ )? +1?, an+2 ?an ?

an

b1=-λ ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数 λ 的取值范围为(
A.λ >2 C.λ <2 解析:由已知可得 1 B.λ >3 D.λ <3

)

2 1 1 ?1 ? 1 = +1, +1=2? +1?, +1=2≠0,则 +1=2n,bn+1=2n(n-λ ), an+1 an an+1 an ?an ? a1

bn=2n-1(n-1-λ )(n≥2,).b1=-λ 也适合上式,故 bn=2n-1(n-1-λ )(n∈N*).由 bn+1>bn,得
2n(n-λ )>2n-1(n-1-λ ),即 λ <n+1 恒成立,而 n+1 的最小值为 2,故 λ 的取值范围为 λ <2. 答案:C 二、填空题 7. (2014 年沈阳模拟 )数列{an}满足: a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*), 则数列{an}的通项公式 an=________. 解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把 n 换成 n-1 得,a1
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+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3 +3,两项相减得 an=3 . 答案:3n 8.根据下图 5 个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第 n 个图中有________个点.

n

n

解析:观察图中 5 个图形点的个数分别为 1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第 n 个图中 点的个数为 (n-1)×n+1=n2-n+1. 答案:n2-n+1 ?7? 9.已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)? ?n,则当 an 取得最大值时,n 等于________. ?8? ?an≥an-1, 解析:由题意知? ?an≥an+1,

? ? ∴? ? ?

n+

?7?n ? ? ?8? ?7? ?8?

n+ n+

?7?n-1 ? ? , ?8? ?7?n+1 ? ? . ?8?

n+2 ? ?n

?n≤6, 解得? ?n≥5. 答案:5 或 6 三、解答题

∴n=5 或 6.

10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n -3n; (2)Sn=4n+b. 解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-5. 又∵a1=-1,适合 an=4n-5,∴an=4n-5. (2)当 n=1 时, a1=S1=4+b.
2

n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3·4n-1,
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因此,当 b=-1 时,a1=3 适合 an=3·4 ∴an=3·4n-1.

n-1



当 b≠-1 时,a1=4+b 不适合 an=3·4n-1, ?4+b,n=1, ∴an=? n-1 ?3·4 ,n≥2. 综上可知当 b=-1 时,an=3·4n-1; ?4+b,n=1, 当 b≠-1 时,an=? n-1 ?3·4 ,n≥2. 11.已知数列{an}满足 a1=1,an= an-1+3n-2(n≥2). (1)求 a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式. 解析:(1)由已知:{an}满足 a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2), ∴a2=a1+4=5,a3=a2+7=12. (2)由已知 an=an-1+3n-2(n≥2)得:

an-an-1=3n -2,由递推关系,
得 an-1-an-2=3n-5,…,a3-a2=7,a2-a1=4, 叠加得:

an-a1=4+7+…+3n-2


n-
2

+3n-



3n2-n-2 , 2

∴an=

3n2-n (n≥2). 2 3×12-1 =1, 2 3n2-n . 2

当 n=1 时,1=a1=

∴数列{an}的通项公式 an=

12.(能力提升)(2014 年合肥质检)已知数列{an}满足:a1=1,2n-1an=an-1(n∈N,n≥2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于 解析:(1)an= 1 ? 1 000

an an-1 a3 a2 · ·…· · ·a1 an-1 an-2 a2 a1
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?1? ?1? ?1? ?1? =? ?n-1·? ?n-2·…·? ?2·? ?1 ?2? ?2? ?2? ?2? ?1? ?1? =? ?1+2+…+(n-1)=? ? 2 ? ? ?2? (2)当 n≤4 时, 当 n≥5 时,

n-
2

n

?1?n ,∴an=? ? ?2?

n-
2

. ≥ 1 , 64

n-
2

n n

?1? ≤6,an=? ? ?2?

n-
2

n n

n-
2

?1? ≥10,an=? ? ?2? 1 . 1 000 [B 组

n-
2



1 . 1 024

∴从第 5 项开始各项均小于

因材施教·备选练习]

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1.(2014 年石家庄模拟)已知数列 an: , , , , , , , , , ,…,依它的前 10 项的 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 规律,则 a99+a100 的值为( A. 37 24 7 B. 6 C. 11 15 D. 7 15 )

1 2 解析: 通过将数列的前 10 项分组得到第 一组有一个数 , 分子分母之和为 2; 第二组有两个数 , 1 1 1 3 2 1 ,分子分母之和为 3;第三组有三个数 , , ,分子分母之和为 4;第四组有四个数,依次类推, 2 1 2 3

a99,a100 分别是第十四组的第 8 个,第 9 个数,分子分母之和为 15,所以 a99= ,a100= ,故选 A.
答案:A 2.(2014 年济南模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}满足

7 8

6 9

b3=3,b5=9.
(1)分别求数列{an },{bn}的通项公式; (2)设 cn=

bn+2 1 (n∈N*),求证:cn+1<cn≤ . an+2 3
①, ②,

解析:(1)由 an+1=2Sn+1

得 an =2Sn-1+1(n≥2,n∈N*)

①-②得 an+1-an=2(Sn-Sn-1), ∴an+1=3an(n≥2,n∈N *), 又 a2=2S1+1=3,∴a2=3a1,∴an=3n-1.
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∵b5-b3=2d=6,∴d=3, ∴bn=3n-6. (2)∵an+2=3n+1,bn+2=3n, ∴cn= 3n n = , 3n+1 3n 1-2n <0, 3n+1

∴cn+1-cn=

1 ∴cn+1<cn<…<c1= , 3 1 则 cn+1<cn≤ . 3

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