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(新课标)高考数学考点专练(15)数列求和(含答案)


数列求和
?1? ? ? a 9s ? s6 , s ?a ? ?a ? 1.已知 n 是首项为 1 的等比数列, n 是 n 的前 n 项和, 且 3 则数列 ? n ? 的前 5 项和为(
15 (A) 8 或 5 31 (B) 16 或 5 31 (C) 16 15 (D) 8

)

【命题立意】考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式. 【思路点拨】求出数列

{an } 的通项公式是关键.

1 ? q3 1 ? q 6 9? ? ? 9(1 ? q3 ) ? 1 ? q6 n ?1 a ? q ,则 1? q 1? q 【规范解答】选 C.设 n ,
1 1 ? ( )5 2 ? 31 ?T5 ? 1 1 1 16 ? an ? 2n?1 ? ? ( )n?1 1? 3 3 a 2 9 ? 1 ? q ? q ? 8, ? q ? 2 2 n 即 , , .
2.设{an}是等比数列,公比 q ?

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和.

Tn ?


17 Sn ? S2 n , n ? N *. T T n an?1 设 n0 为数列{ n }的最大项,则 0 =



【命题立意】考查等比数列的通项公式、前 n 项和、基本不等式等基础知识. 【思路点拨】化简

Tn 利用基本不等式求最值.

?Sn ?
【规范 解答】

a1 [1 ? ( 2 ) n ] 1? 2

, S 2n ?

a1 [1 ? ( 2 ) 2n ] 1? 2

, a n?1 ? a1 ( 2 ) n ,

17 ? Tn ?


a1 [1 ? ( 2 ) n ]

1? 2 a1 ( 2 ) n

?

a1 [1 ? ( 2 ) 2 n ] 1? 2 ? 1 1? 2 ?[ 16 ( 2)
n

? ( 2 ) n ? 17],

16
∵ ( 2)
n

? ( 2 ) n ? 8,

当且仅当 ( 2 )

2n

? 16即 2n ? 16 ,所以当 n=4,即 n0 ? 4 时, T4 最大.

【答案】4 3.设数列

a1 , a2 ,?, an ,? 中的每一项都不为 0.

证明:

?an ? 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n ? N ,都有

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1 1 1 n ? ??? ? a1a 2 a2 a3 an an?1 a1an?1

【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识,考查考生推理论证,运算求解能力. 【思路点拨】证明可分为两步,先证明必要性,适宜采用列项相消法,再证明充分性, 可采用数学归纳法或综合法. 【规范解答】已知数列 若数列

?an ? 中的每一项都不为 0,先证 " ? "

?an ? 为等差数列,设公差为 d ,

1 1 1 1 ? ( ? ) aa d an an ?1 , 当 d ? 0 时,有 n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] an an?1 d a1 a2 a2 a3 an an?1 ? a1a2 a2 a3 ? 1 1 1 1 an?1 ? a1 n [( ? )] ? ? d a1 an?1 d a1an?1 a1an?1

1 1 1 n ? ?? ? ? a a a2 a3 an an?1 a1an ?1 成立; 即对任何 n ? N ,有 1 2 1 1 1 n ? ?? ? ? a a a2 a3 an an?1 a1an ?1 也成立. 当 d ? 0 时,显然 1 2
再证 " ? "

1 1 1 n ? ?? ? ? an an?1 a1an ?1 ①, ? 对任意 n ? N ,有 a1a2 a2 a3 1 1 1 1 n ?1 ? ??? ? ? a1a2 a2 a3 an an?1 an?1an?2 a1an ? 2 ②, 1 n ?1 n ? a a a1an ? 2 - a1an ?1 由②-①得: n ?1 n ? 2
上式两端同乘 同理可得

a1an?1an?2 ,得 a1 ? (n ? 1)an?1 ? nan?2 ③,

a1 ? nan ? (n ?1)an?1 ④,

由③-④得:

2an?1 ? an ? an?2 ,所以 ?an ? 为等差数列.

【方法技巧】 1、在进行数列求和问题时,要善于观察关系式特点,进行适当的变形,如分组、裂项等 ,转化为常见的 类型进行求和; 2、对数列中的含 n 的式子,注意可以把式子中的 n 换为 n ? 1 或 n ? 1 得到相关的式子,再进行化简变形处 理;也可以把 n 取自然数中的具体的数 1,2,3…等,得到一些等式归纳证明.
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4.已知等差数列 (1)求

?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn .

an 及 Sn .
2

1 b ? an ? 1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (2)令 n
【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻 辑推理、等价变形和运算求解能力. 【思路点拨】(1)设出首项和公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出求 由(1)求出

an 及 Sn ;(2)

bn 的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.

【规范解答】 (1)设等差数列

?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

a ? 3?( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 所以 n

3n+

n(n-1) ?2 2 2 = n +2n .
2

1 1 1 1 1 1 1 = ? ?( ) 2 a ? 2n+1 a ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) = 4 n n+1 , (2)由(1)知 n ,所以 bn= n =
n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1- + ? + ? + ) ? (1)= T 2 2 3 n n+1 = 4 n+1 4(n+1) , 所以 n = 4

即数列

?bn ?

n T 的前 n 项和 n = 4(n+1) .

【方法技巧】数列求和的常用方法: 1、直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意对公比 q ? 1 的讨论. 2、错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和 公式的推导过程的推广. 3、分组转化法:把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. 4、裂项相消法:主要用于通项为分式的形式,通项拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项,注 意一般情况下剩下正负项个数相同. 5、倒序相加法:把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).

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C , C ,?, Cn ,?是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与直线 5.设 1 2
切,对每一个正整数 n ,圆 (1)证明:

y?

3 x 3 相

Cn 都与圆 Cn?1 相互外切,以 rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列.

{rn } 为等比数列;

n { } r ? 1 ,求数列 rn 的前 n 项和. (2)设 1
【命题立 意】本题主要考查等比数列的基本知识,利用错位相 求和等基本方法,考查考生的抽象概括能力以及推理论证能力. 【思路点拨】 (1)求直线倾斜角的正弦,设 减法

Cn 的圆心为 (?n ,0) ,得 ?n ? 2rn ,同理得 ?n?1 ? 2rn?1 ,结合

两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即 比数列.

{rn } 中 rn ?1 与 rn 的关系,可证明 {rn } 为等

n {r } r (2)利用(1)的结论求 n 的通项公式,代入数列 n ,然后采用错位相减法求和.
【规范解答】

(1)将直线y=

3 3 1 x的倾斜角记为? ,则有tan? = ,sin ? ? , 3 3 2 1 ? sin ? ? ,得?n ? 2rn , ?n 2 rn

设Cn的圆心为(?n,0),则由题意得知

同理?n+1 ? 2rn+1,


??n+1 ? ?n ? rn ? rn+1

将?n ? 2rn和?n+1 ? 2rn+1,代入上式解得rn+1 ? 3rn ,

故?rn ?为公比q ? 3的等比数列。

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① ? ②,得 2Sn 1 ? 3? n 3 3 ?1 ?2 1? n ?n ? 1 ? 3 ? 3 ? ... ? 3 ? n ? 3 ? ? n ? 3? n ? ? (n ? ) ? 3? n , 2 3 2 2 3
? Sn ? 9 1 3 9 ? (2n ? 3) ? 31?n ? (n ? ) ? 31?n ? 4 2 2 4 .

【方法技巧】 1、对数列中的含 n 的式子,注意可以把式子中的 n 换为 n ? 1 或 n ? 1 得到相 关的式子,再进行化简变形处 理; 2、在进行数列求和问题时,要善于观察关系式特点,进行适当的处理,如分组、裂项相消、错位相减等 , 转化为常见的类型进行求和. 6.设各项均为正数的数列 (1)求数列

?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 ?

Sn

?是公差为 d 的等差数列.

?an ?的通项公式(用 n, d 表示) ;

S ? S n ? cSk 都成立。求证: (2) 设 c 为实数, 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 m
9 c 的最大值为 2 .
【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立 问题等有关知识,考 查探索、分析及论证的能力. 【思路点拨】 (1)先求

Sn ,然后利用 an与Sn 的关系求解; S (2)利用(1)中所求 n 利用基本不等式解决.

【规范解答】 (1)由题意知: d ? 0 ,

Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d

2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3(S2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d ) 2 ? a1 ] ? ( a1 ? 2d ) 2
化简,得:

a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2


Sn ? d ? (n ? 1)d ? nd , Sn ? n2d 2
当 n ? 2 时, 故所求

an ? Sn ? Sn?1 ? n2d 2 ? (n ?1)2 d 2 ? (2n ?1)d 2 ,适合 n ? 1 的情形.

an ? (2n ?1)d 2 .
m2 ? n2 k 2 恒成立.

(2)方法一:

Sm ? Sn ? cSk ? m d ? n d ? c ? k d ? m ? n ? c ? k ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

c?

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又 m ? n ? 3k且m ? n ,

2(m2 ? n2 ) ? (m ? n)2 ? 9k 2 ?

m2 ? n 2 9 ? k2 2,

c?


9 9 2 ,即 c 的最大值为 2 .

方法二:由

a1 ? d



Sn ? a1 ? (n ? 1)d

S ?n d . ,得 d ? 0 , n
2 2

于是,对满足题设的 m, n, k , m ? n ,有

S m ? S n ? (m 2 ? n 2 )d 2 ?

( m ? n) 2 2 9 2 2 9 d ? d k ? Sk 2 2 2 .

所以 c 的最大值

a?
方法三:任取实数

9 3 3 m ? k ? 1, n ? k ? 1 2 .设 k 为偶数,令 2 2 ,则 m, n, k 符合条件,

3 3 1 Sm ? Sn ? (m 2 ? n 2 )d 2 ? d 2 [( k ? 1) 2 ? ( k ? 1) 2 ] ? d 2 (9k 2 ? 4) 2 2 2 且 .

于是,只要 9k ? 4 ? 2ak ,即当
2 2

k?

2 1 S m ? S n ? d 2 ? 2ak 2 ? aS k 2a ? 9 时, 2 .

c?
所以满足条件的

9 2 ,从而

9 因此 c 的最大值为 2 .
7.在数列

?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k? N* , a 2k?1,a 2k ,a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k.
a 4 ,a 5 ,a 6 成等比 数列.

(1)证明

(2 )求数列

?an ? 的通项公式.
22 32 n2 3 ? ?? ? ?? ? 2n ? Tn ? ( 2 n ? 2) a2 a3 an ,证明 2 .

Tn ?
(3)记

【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识, 考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. 【思路点拨】 (1) (2)应用定义法证明、求解; (3)对 n 分奇数、偶数进行讨论. 【规范解答】 (1)由题设可知,

a2 ? a1 ? 2 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? 4 , a4 ? a3 ? 4 ? 8 , a5 ? a4 ? 4 ? 12 ,
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a6 a5 3 ? ? a6 ? a5 ? 6 ? 18 。从而 a5 a4 2 ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列.
(2)由题设可得 所以

a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N *
+

a2ka ? a? a2? a? ? a? ? a3?? a1 a1? ? ?2? a a a3 ? ?k ? ?a ? ... ?a1 ? ?? ?1 1 ? ka ?12? 2k a ?12 k? 12? 2k ? 32? 2k ?1 k ?1 1? k ?1 k? 3 ...

? 4k ? 4 ? k ?1? ? ... ? 4 ?1 ? 2k ? k ?1? , k ? N *
由 .

a1 ? 0 ,得 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? ,从而 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k 2 .

? n2 ? 1 , n为奇数 ? ? 2 an ? ? 2 n n2 ? ?1? ? 1 ? n , n为偶数 an ? ? ? ?a ? ?2 2 4 所以数列 n 的通项公式为 或写为 , n? N * .
(3)由(2)可知

a2k ?1 ? 2k ? k ?1?



a2k ? 2k 2 ,

以下分两种情况进行讨论: ①当 n 为偶数时,设 n=2m

? m ? N *?

若 m ? 1 ,则

2n ? ?

k2 ?2 k ? 2 ak ,
n

若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? ? m 4k 2 ? m?1 4k 2 ? 4k ? 1 k2 ? ? ? ? ? ? 2 a2 k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k k ?1 2k ? k ? 1? n 2 2 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? 2k ? k ? 1? k ?1 ? ? m ?1

1 1? 3 1 ? 2m ? 2? m ? 1 1 ? ? n2 ? ? ?? ? ? ? 2? m? 2 n.

所以

2n ? ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? ? 2n ? ? ? 2, n ? 4,6,8,.... 2 n ,从而 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

②当 n 为奇数时,设
n

n ? 2m ?1? m ? N *?
2


2

? 2m ? 1? k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? 3 1 ?? ? ? 4m ? ? ? ? a2 m ?1 2 2m 2m ? m ? 1? k ? 2 ak k ? 2 ak
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所以

2n ? ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5,7,.... 2 n ? 1 ,从而 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

3 ? 2n ? Tn ? 2. 综合①和②可知,对任意 n ? 2, n ? N *, 有 2

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