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向量的减法学案 高中数学 必修四 苏教版 Word版


互动课堂 疏导引导 1.向量减法的定义 (1)向量的减法实际上是加法的逆运算,已知向量 a、b, (如右图)作 OA =a, OB =b, 则 b+ AB =a,向量 BA 叫做向量 a 与 b 的差,记作 a-b,即 BA =a-b= OA - OB . 疑难疏引 ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起 点,被减向量的终点为终点的向量. ②一个向量 BA 等于它的终点,相对于点 O 的位置向量 OA 减去它的始点相对于点 O 的位 置向量 OB ,或简记为“终点向量减起点向量”,这里的点 O 是任意的一点. (2)相反向量的定义 与向量 a 方向相反且等长的向量叫作 a 的相反向量,记作-a.关于相反向量的结论有: ①0 的相反向量仍为 0;②a+(-a)=(-a)+a=0;③-(-a)=a;④一个向量与它的相反向量是共线向 量; ⑤|a|=|-a|. (3)利用相反向量定义向量的减法 在向量减法的定义中,b+ BA =a.在上式中两边同时加上(-b) ,则 BA =a+(-b).即说明一 个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.a+(-b)通常省略加号.就是 a-b.其实 向量的差也就是向量的和. 2.两个向量差的几何作法 (1)两个向量的差也可由平行四边形法则和三角形法则求得.用平行四边形法则时,两个已 知向量也是共同的起点, 和向量是始点与它们重合的那条对角线, 而差向量是另外一条对角 线,方向是从减向量指向被减向量;用三角形法则时,把减向量与被减向量的始点重合,则 差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点,可以简记为“连终点,方向指向被减”. (2)可以将两向量的差转化为求被减向量与减向量相反向量的和来求,即 a-b=a+(-b) , 再用向量求和的三角形法则或平行四边形法则来求. 3.两个重要的结论 (1) 以向量 AB =a, 则两条对角线的向量为 AC =a+b, AD =b 为邻边作平行四边形 AB CD , BD =b-a, DB =a-b. (2)||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b| 案例 已知两向量 a、b,求证:若|a+b|=|a-b|,则 a 的方向与 b 的方向垂直;反之也成立. 【探究】要证明 a 的方向与 b 方向垂直,只需证明以 a、b 为邻边的平行四边形为矩形,即 证两对角线长度相等即可. 【证明】 ①若|a+b|=|a-b|, 设 OA =a, 以 OA 、 则|a+b|=| OC |, OB =b, OB 为邻边作平行四边形, |a-b|=| BA |,又|a+b|=|a-b|, ∴| OC |=| BA |, 即平行四边形 OACB 的对角线相等, ∴平形四边形 OACB 为矩形, ∴a 与 b 的方向垂直. ②若 a 与 b 的方向垂直,如右图所示,设 OA =a, OB =b,以 OA 、 OB 为邻边的平行四边 形为矩形. ∴| OC |=| BA |,而 OC =a+b, BA =a-b, ∴|a+b|=|a-b|. 规律总结 此题的证明关键利用了两个向量和与差的几何意义, 同时指出了平行四边形两对 角线向量分别是邻边向量的和与差,本题求证的结论非常重要,应领会其实质. 活学巧用 【例 1】 如右图所示, O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点, 设 AB =a,DA =b, OC =c,试证明:b+c-a= OA . 分析:要证 b+c-a= OA , 可转化为证明 b+c= OA +a, 从而利用向量求和证明

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