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函数的极值与导数经典教案


3.3.2 函数的极值与导数
[教材分析]:
《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》 ,初步具备了运用导数 研究函数的能力后学习的,并为《函数的最大(小)值与导数》奠定了知识与方法的基础, 起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

[学情分析]:
学生已经初步学习了运用导数研究函数,但还不够深入,因此在学习上还有一定困难。 本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。

[教学目标]:
知识与技能: ? 了解函数极值的定义,会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系,增强学 生的数形结合意识,提升思维水平; ? 掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法; ? 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。 过程与方法: ? 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。 情感态度与价值观: ? 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性; ? 培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神; ? 激发学生的民族自豪感,培养学生的爱国主义精神。

[教学重点和教学难点]:
教学重点:掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。 教学难点:函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

[教法学法分析]:
教法分析和教学用具: 本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。 并 利用信息技术创设实际问题的情境。 发挥学生学习的主动性, 使学生的学习过程成为在我引 导下的“再创造”过程。 学法分析 通过用导数研究函数的极值, 提高了学生的导数应用能力。 通过用导数求不超过三次的 多项式函数的极大值和极小值,得到求极值的一般方法。

教学过程 教学内容 设计意图 一、自主学习: 课前将学案发给学生,让学生明确学习目标,带着问题对课 培养学生的自主学习能力,
本进行预习,并解答这些问题,落实基础知识。通过检查学 案,了解学生自主学习的情况,设计导学思路与措施。 二、成果展示: 对自主学习的情况先在组内进行交流,对自主学习的问题组 内达成共识。以小组为单位进行汇报展示。

三、合作探究: 展示北京奥运会奖牌榜:北京奥运会中国跳水队获得全部 8
对学生解决 不了的问题,重点 讲解思路与方法, 引导学生最终去 解决问题,以生成 新目标、新知识、 新能力。 分组讨论—小组 枚金牌中的 7 枚。 用高台跳水的例子研究: (1)当 t<a 时 h(t)的单调性是 ___________ (2)当 t>a 时 h(t)的单调性是 ___________ (3)当 t=_______时运动员距 水面高度最大,h(t)在此点的 导数是_______
h ? (t ) ? 0

为 学 生 的 终 身 学 习 奠 定基 础。 培养学生互相合作的精神, 提高学生语言表达的能力, 增强学生学习的自信心。 激发学生的民族自豪感,培 养学生的爱国主义精神 . 引 起学生兴趣,激起学生的求 知欲。

t ? a t ?a t ? a

用高台跳水的例子发展学生 的数学应用意识,发挥学生 的主体作用。
1

汇报—教师点拨。 (4)导数的符号有什么变化规律? 用几何画板制作动画演示在 t=a 附近: 1、函数值的比较:h(t)-h(a)的正负号; 2、动点切线斜率(即导数)的发展变化. 如图, 函数 y= f ( x) 在 a,b,c,d,e,f,g,h 等点的函数值与这些点附 分 组 讨 论 — 小 组 近 的 函 数 值 有 什 么 关 系 ? y= f ( x) 在 这 些 点 的 导 数 值 是 汇报—教师点拨。 ________,在这些点附近, y= f ( x) 的导数的符号有什么规律?

用信息技术辅助教学,突破 难点。

y

再用两个例子使学生经历直 观感知、观察发现、归纳类 比的思维过程,引导学生创 新与实践。 培养学生大胆创新、勇于探 索、互相合作的精神。

a
y

O b

x

c d

e

f O g

h

i

j

x

定义: 在 x=a 附近,f ( x) 先减后增,f ' ( x) 先___后___,f ' ( x) 学生展示: 连续变化,于是有 f ' (a) =0. f ( a ) 比在点 x=a 附近其它点的 函 数 值 都 小 。 我 们 把 点 a 叫 做 函 数 y= f ( x) 的 __________, f ( a ) 叫做函数的___________. 在 x=b 附近, f ( x) 先增后减, f ' ( x) 先___后___, f ' ( x) 连 续变化,于是有 f ' (b) =0. f (b) 比在点 x=b 附近其它点的函 数值都大。我们把点 b 叫做函数 y= f ( x) 的__________, f (b) 叫做函数的___________. 极小值点和极大值点统称为_____________,极大值和极小值 统称为_____________。 极值是函数的局部性质,反映了函数值在某一点附近的大小 四、教师点拨: 1、 变化情况; 2、极值点是自变量的某个值,极值指的是其函数值; 3、函数的极值与导数的关系。 (1) 如果 f ' ( x0 ) =0, 并且在 x0 附近的左侧 f ' ( x) >0 ,右侧

根据探究,总结极小值点、 极小值、 极大值点、 极大值、 极值点、极值的定义。培养 学生的归纳能力。

通过教师的点拨,帮助学生 构建知识体系, 巩固、 完善、 深化对知识、规律内涵的认 识。

f ' ( x) <0, 那么 f( x0 )是极大值。
(2) 如果 f ' ( x) =0, 并且在 x0 附近的左侧

体会导数方法在研究函数性 质中的一般性和有效性。

f ' ( x) <0 ,右侧

f ' ( x) >0, 那么 f( x0 )是极小值。

五、巩固提高:
对学案中的例题 和习题,先让学生 做,并让尽可能多 的学生板演,在学 生相互点评的基 础上,教师引导学

典型例题:求函数 f ( x) ? 解: f ' ( x) =(

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值。 3
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1 3 x -4x+4)′=x2-4=(x+2)(x-2) 3
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令 f ' ( x) =0,解得 x1=2,x2=-2 下面分两种情况讨论:

通过典型例题巩固学生对新 知识的理解。 通过对典型例题的板演,让 学生明确求极值的方法,突 出本节课的重点。培养学生 规范的表达能力,形成严谨 的科学态度。
2

生总结思路方法 技巧,并进行变式 训练予以拓展。

(1) 当 f ' ( x) >0,即 x>2,或<-2 时; (2) 当 f ' ( x) <0,即-2<x<2 时。 当 x 变化时, f ' ( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(??,?2)
+ 单调递增 ↗

-2 0

(-2,2) - 单调递减 ↘

2 0

? 2, ???
+ 单调递增 ↗
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f ( x)

28 3

?

4 3

教师板演:

∴当 x=-2 时,f ( x) 有极大值, 并且及极大值为 f (?2) =

28 3 4 当 x=2 时, f ( x) 有极小值并且及极小值为 f ( 2) =- 。 作图时先作出两个极值点, 3
函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的图像如图所示 3
y 1 f(x)= x3-4x+4 3

再根据单调性作图。通过作 图,使学生掌握数形结合思 想及作图的一般步骤。

学生总结:
-2
O

2 x

学生总结解题方法,培养归 纳能力。

分组讨论:

解题方法总结: 求函数 y=f(x)极值(极大值、极小值)的方法: (1)求导 ; (2)求极值点 ; (3)讨论单调性 ; (4)列表 ; (5)写出极值. 变式训练: 求出函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 5 的极值。 拓展提高: 拓展(1)、导数为 0 的点一定是函数的极值点吗? 如 f ( x) ? x 3 若 f ( x0 ) 是极值,则 f ' ( x0 ) =0。 反之, f ' ( x0 ) =0, f ( x0 ) 不一定是极值 y=f(x)在一点的导数为 0 是函数 y=f(x)在这点取得极值的必要 条件。 函数 y=f(x)在点 x0 取极值的充分条件是: ①函数在点 x0 处的导数值为 0 ②在点附近的左侧导数大于(小于)零,右侧小于(大于) 零。

通过变式训练,进一步突出 重点。使学生从感性认识升 华到理性认识。

通过 拓展 1, 突出判断极值 点的条件,从而突破难点。

通过拓展 2 帮助学生理解极 值是函数的局部性质。

拓展 3 给的图像是导函数的 图像,进一步让学生区分如
3

拓展(2)、极大值一定比极小值大吗? 不一定 极值是函数的局部性概念 拓展(3)、 下图是导函数 y ? f ' ( x) 的图象, 试找出函数 y=f(x) 的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点。 y

何用导函数的图像判断函数 的极大值与极小值。从而突 出重点、突破难点。

自主完成:
x2 x3

a x1 O

x4 x5

x6

bx

我分层设计练习题,让各层 面学生都能学有所获,不断 增强学习的信心。

当堂练习:
1.求下列函数的极值: (1) f ( x) ? x 3 ? 27 (2) f ( x) ? 6 ? 12x ? x 3 2.函数 f ( x) ? ? x 3 是否有极值?

[板书设计]:
课题:函数的导数与极值 探究汇报 (1)x<a, f ( x) ↘ f ' ( x) ? 0 x>a, f ( x) ↗ f ' ( x) ? 0 x=a,最高, f ' (a) ? 0 (2)x<b, f ( x) ↗ f ' ( x) ? 0 x>b, f ( x) ↘ f ' ( x) ? 0 x=b,最高, y f ' (b) ? 0 定义: 典型例题求函数…的极值。 求极值的步骤: (1)求导 ; 解: f ' ( x) =x2-4 如 果 f ' ( x0 ) =0, 并且在 x0 (2)求极值点 ; =(x+2)(x-2) … 附近的左侧 f ' ( x) >0 ,右 (3)讨论单调性 ; 令 f ' ( x) =0, 解得 x1=2, 侧 f ' ( x) <0, 那么 f( x0 )是极 (4)列表 ; x2=-2 大值。 下 面 分 两 种 情 况 讨 (5)写出极值. 如 果 f ' ( x0 ) =0, 并且在 x0 拓展提高 论:… (1) … … 附近的左侧 f ' ( x) <0 ,右 (2) … … 侧 f ' ( x) >0, 那么 f( x0 )是极 变式训练: (3) … … 求出函数…的极值。 小值。 当堂练习: … 极小值点和极大值点统称为 … … 极值点,极大值和极小值统 称为极值。
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a

Ob

x

通过板书,给同学们留下深刻的印象,帮助学生构建清晰的知识体系。 我的说课到此结束,谢谢大家。

2008 年 12 月 12 日

3.3.2 函数的极大值和极小值
一.教学目标
4

(一)知识目标 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; (二)能力目标 掌握利用导数判别可导函数极值的方法; (三)情感目标 体验导数知识和数学方法的作用,逐步形成科学地分析、解决问题的能力;

二、教学重点
利用导数判别可导函数极值的方法.

三、教学难点
对极大、极小值概念的理解,对可导函数极值点的必要条件和充分条件的理解.

四、教学过程
(一)引入课题 上节课我们利用导数来研究函数的单调性, 这节课我们要利用导数来研究函数的另一种 性质——函数的极值. (二)传授新知 1.我们观察一下两张图象中,点 a 与点 b 处的函数值.与它们附近点的函数值有什么 关系?

图1

图2

从图 1 可以看出, 点 a 处的函数值 f(a)比点 a 附近的点的函数值大; 而从图 2 可以看出, 点 b 处的函数值 f(b)比点 b 附近的点的函数值小. 如果 x ? c 是函数 y=f(x)在某个开区间( u , v )上的最大值点,即不等式 f (c) ? f ( x) 对 一切 x ? (u, v) 成立,就说函数 f(x)在 x ? c 处取到极大值 f (c) ,并称 c 为 f(x)的一个极大值 点, f (c) 为 f(x)的一个极大值. 如果 x ? c 是函数 y=f(x)在某个开区间( u , v )上的最小值点,即不等式 f (c) ? f ( x) 对 一切 x ? (u, v) 成立,就说函数 f(x)在 x ? c 处取到极小值 f (c) ,并称 c 为 f(x)的一个极小值 点, f (c) 为 f(x)的一个极小值. 极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称极值点.
5

2.观察课本图 3-13 到 3-18,看出函数在极值点的导数为零. 观察课本图 3-23, 看出如果函数的曲线在局部最高点处有切线, 这切线应与 x 轴平行.同样, 如果函数的曲线在局部最低点处有切线,这切线应与 x 轴平行.换句话说,函数在极值点的 导数为零.(这里的前提是函数在极值点有导数) 3.可导函数极值点的导数为 0,那么反过来,导数为 0 的点一定是极值点吗? 举个例子: y ? x 3 , f ?(0) =0,但 x=0 不是极值点. y=|x|,在 x=0 处取到极小值,但 f ?(0) 不存在. 也就是说若 f ?(c ) 存在, f ?(c ) =0 是 f(x)在 x ? c 处取到极值的必要条件,但不是充分条件. 通常,若 f ?(c ) =0,则 x ? c 叫作函数 f(x)的驻点. 4.判别可导函数 f(x)极大、极小值的方法 (1)求导数 f′(x); (2)求 f(x)的驻点,即求 f′(x)=0 的根; (3)检查 f′(x)在驻点左右的符号,如果在驻点左侧附近为正,右侧附近为负,那么 函数 y ? f ( x) 在这个驻点处取得极大值;如果在驻点左侧附近为负,右侧附近为正,那么 函数 y ? f ( x) 在这个驻点处取得极小值. 5.几点注意: (1)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (2)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个 (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值, 极小值也未必小于极大值. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取 得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点
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(三)讲解例题 例 1 求函数 f ( x ) = x ? sin x 的驻点和极值点. 分析: f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 , f ( x ) 的驻点集合是: x ? (2k ? 1)? k ? Z .

?

?

f ?( x) 在驻点左右的符号均为正,所以函数 f ( x) 没有极值.
例 2 求函数 g ( x) ? x (3 ? x) 的极大值和极小值.
2

分析: g ?( x) ? 6x ? 3x

2

x

(- ? ,0)

0

(0,2)

2

(2,+ ? )

6

g ?( x )
g(x)

— 0

+ 4



故函数 g(x)的极小值为 g(0)=0, 极大值为 g(2)=4. (四)技能训练 P121 练习 1、2. 答案:1.(1)函数的驻点是 x ?

3 3 7 ,极小值点是 x ? ,极小值为 ? . 2 2 2

(2) 函数的驻点集合是 ? x x ? n? ? (?1) n

? ?

?

? ,n ? Z?, 6 ?

函数的极大值点是 x ? 2k? ?

?
6

,极大值为

3 ? ? k? ? , k ? Z . 2 12

函数的极小值点是 x ? 2k? ? (3)函数无驻点,无极值点.

5? 3 5? ,极小值是 ? ,k ?Z . ? k? ? 6 2 12

?2 (4) 函数的驻点是 x ? ?2, x ? 0 ,函数的极大值点是 x ? ?2 ,极大值为 4e ,

函数的极小值点为 x ? 0 ,极小值为 0. 2. f ( x) 在 x ? c 处不一定能取到极值. 例如, f ( x) ? x 3 , f ?( x) ? 3x 2 , f ??( x) ? 6 x, f ?(0) ? f ??(0) ? 0 ,但 f ( x) ? x 3 是增函数, 无极值; f ( x) ? x 4 , f ?( x) ? 4 x3 , f ??( x) ? 12x 2 , f ?(0) ? f ??(0) ? 0, 但 f ( x) ? x 4 在 x ? 0 处取得极小值。 (五)课堂小结 本节课学习了函数在某点取得极值的必要条件和充分条件以及利用导数求可导函数的 极值的步骤. 注意极大、极小值与最大、最小值的区别.

五、布置作业
课本 P126 习题 8:第 1 题(1)-(10)

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