9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 初三数学 >>

中考数学专项讲解 数形结合思想


中考网 http://www.yaozhongkao.com/

中考数学专项讲解 数形结合思想
知识梳理 数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相 结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、 生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.另外,由于使用了数 形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的. 华罗庚先生曾指出: “数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少 数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休. ”这充分说明了数形结合数学学习中的 重要性,是中考数学的一个最重要数学思想. 典型例题 一、在数与式中的应用 【例 1】实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简 a + a ? b =_________.
2

b b>0 ∴ 【分析】 由数轴上 a , 的位置可以得到 a <0, 且 a <b. 【解】

a 2 = ?a ,a ? b = b ? a .

a 2 + a ? b = ? a + ( b ? a ) = ?2 a + b

【例 2】 如下图是小明用火柴搭的 1 条、2 条、3 条“金鱼”……,则搭 n 条“金鱼”需 要火柴_________根.

【分析】 由图形可知,搭 1 条金鱼需要 8 根火柴棒,后面每多一条就多 6 根火柴棒,所 以搭 n 条金鱼共需 8+6(n-1)=(6n+2)根火柴棒. 【解】6n+2 在方程、 二、在方程、不等式中的应用 【例 3】 (08 聊城)已知关于 x 的不等式组 ?

?x ? a > 0 的整数解共有 2 个,则 a 的取值范 ?2 ? x > 0

围是___________. 【分析】解不等式组得解集为 ?

?x > a ,我们可以将 x<2 标注在数轴上,要使得不等式组 ?x < 2

有 2 个整数解,由图象可知整数解为 0,1,则 a 应在-1~0 之间,且可以等于-1,但不 能为 0,所以以的取值范围是-l≤ a <0.
京翰教育 1 对 1 家教 http://www.zgjhjy.com/

中考网 http://www.yaozhongkao.com/

【解】 1≤n<0 【例 4】 (08 南通)用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两 个一次函数的图象(如图所示), 则所解的二元一次方程组是 ( ) A. ?

?x + y ? 2 = 0 ?3 x ? 2 y ? 1 = 0

B. ?

?2 x ? y ? 1 = 0 ?3 x ? 2 y ? 1 = 0 ?x + y ? 2 = 0 ?2 x ? y ? 1 = 0 ?x = 1 , 只要将解进行代入检验即可. ?y =1

C. ?

?2 x ? y ? 1 = 0 ?3 x + 2 y ? 5 = 0

D. ?

【分析】 根据图象我们可以知道这个方程组的解为 ?

【解】D 【例 5】 已知二次函数 y= a x2+bx+c 的图象如图所示,若关于 x 的方程 a x2+bx+c-k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围为 ( )

A.k>3 B.k=3 C.k<3 D.无法确定 2 【分析】 如果根据 b -4 a c 的符号来判别解的情况,本题将无从入手,可将原方程变形

? y = ax 2 + bx + c ,由图象可知 为 a x +bx+c=k,从而理解成是两个函数的交点问题,即 ? ?y = k
2

只要 y=k<3 就一定定与抛物线有两个不同的交点,所以答案选 C. 【解】C 三、在函数中的应用 【例 6】 (08 安徽)如图为二次函数 y= a x2+bx+c 的图象,在下列说法中:

京翰教育 1 对 1 家教 http://www.zgjhjy.com/

中考网 http://www.yaozhongkao.com/

① a c<0 ②方程 a x2+bx+c=0 的根是 x1=-1,x2=3 ③ a +b+c>0 ④当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大 正确的说法有__________.(把正确的答案的序号都填在横线上) 【分析】 由图象可知, 开口向上, x 轴交于-1 和 3 两点, y 轴交于负半轴, a >0, 与 与 则 c<0;由对称性知对称轴 x=1,所以结论①②④正确. 【解】①②④ 【例 7】某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线如图 所示,为经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).要跳某个规定动作时, 正常情况下, 该运动员在空中的最高处距水面 10

2 米, 入水处距池边的距离为 4 米, 同时, 3

运动员在距水面高度为 5 米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就 会出现失误, (1)求这条抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是如图抛物线,且运动员在空中调整好 入水姿势时,距池边的水平距离为 3 导米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由. 【分析】(1)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式, 就要确定抛物线上三个点的坐标,如起跳点 O(0,0),入水点 (2,-10),最高点的纵点标为

2 . 3 3 3 3 米, x = 3 ? 2 = 1 时, 5 5 5

(2)求出抛物线的解析式后,要判断此次跳水会不会失误, 就是要看当该运动员在距池边水平距离为 3

该运动员距水面高度与 5 米的关系. 【解】(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为 A,入水点为 B,抛物线的解析式为 y= a x2+bx+c,由图可知,O,B 两点的坐标依次为(0,0)(2,-10),且顶点 A 的纵坐标为

25 ? ? ?a = ? 6 ?a = ? 3 ?c = 0 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 10 , ? 4a + 2b + c = ?10 , 则 解得 ?b = 或 ?b = ?2 3 3 ? 4ac ? b 2 2 ? ?c = 0 ?c = 0 ? ? = ? 4a ? 3 ? ? ?
∴?

Q 抛物线的对称轴在 y 轴右侧,

b 25 10 25 10 > 0 .又Q 抛物线开口向下,∴ a = ? , b = ,c=0,∴ y = ? x 2 + x . 2a 6 3 6 3 3 3 8 6 (2)当运动员在空中距池边距离为 3 米时,即 x = 3 ? 2 = 时, y = ? ,∴ 此时 5 5 5 3 16 4 运动员距水面高为 10 ? = < 5 .因此,试跳会出现失误. 3 3
四、在概率统计中的应用
京翰教育 1 对 1 家教 http://www.zgjhjy.com/

中考网 http://www.yaozhongkao.com/

【例 8】(05 江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一 次问卷调查,要求读者选出自己最喜欢的一个版面,将所得数据整理后绘制成了如图所示 的条形统计图:

(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息; (2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图,并说明这两幅统计图各有什么特点; (3)请你根据上述数据,对该报社提出一条合理的建议. 【分析】 观察条形统计图可以计算出调查总人数,画扇形统计图需计算出第一版、第二 版的百分比和圆心角,分别为

1500 500 × 360° = 108° , × 360° = 36° ,建议可从不足 5000 5000

的方面提出. 【解】(1)参加调查的人数为 5000 人; (2)如图所示:条形统计图能清楚地表示出喜欢各版 面的读者人数.扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的 读者人数占所调查的总人数的百分比. (3)如:建议改进第二版的内容,提高文章质量,内容更贴近生活,形式更活泼些.

综合训练
1. “数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点 P 所表示的数是 2 ” ,这种说 明问题的方式体现的数学思想方法叫做 A.代入法 B.数形结合 ( C.换元法 D.分类讨论 )

2.(08 大连)如图,两温度计读数分别为我国某地今年 2 月份某天的最低气温与最高 气温,那么这天的最高气温比最低气温高 ( ) A.5℃ B.7℃ C.12℃ D.-12℃ 3. 某人从 A 地向 B 地打长途电话 6 分钟, 按通话时间收费, 分钟以内收费 2. 元, 3 4 此后每加 1 分钟加收 1 元, 则表示电话费 y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是 ( )

京翰教育 1 对 1 家教 http://www.zgjhjy.com/

中考网 http://www.yaozhongkao.com/

4.若 M ? ? ,y1 ? ,N ? ? ,y2 ? , ? ,y3 ? 三点都在函数 y =

? 1 ? 2

? ?

? 1 ? 4

? ?

?1 ?2

? ?

k (k<0)的图象上, x

则 y1,y2,y3 的大小关系为 ( ) A.y2>y3>y1 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 2 5.关于 x 的一元二次方程 x -x-n=0 没有实数根,则抛物线 y=x2-x-n 的顶点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限( ) 6.(08 临沂)若不等式组 ?

?3 x + a < 0 的解集为 x<0,则 a 的取值范围为 ?2 x + 7 > 4 x ? 1

(

)

A. a >0 B. a =0 C. a >4 D. a =4 7.(08 镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目: 函数 y=x2-x+m(m 为常数)的图象如图所示,如果 x= a 时,y<0;那么 x= a -1 时, 函数值 ( )

A.y<0 B.0<y<m C.y>m D.y=m 下面是福娃们的讨论,请你解答该题. 贝贝:我注意到当 x=0 时,y=m>0. 晶晶:我发现图象的对称轴为 x=

1 2

欢欢:我判断出 x1< a <x2. 迎迎:我认为关键要判断 a -1 的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 8.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=150°,OA=OB=2,则点 A、B 的坐标分别 是_________和_________.

9.在边长为 a 的正方形中,挖掉一个边长为 b 的小正方形( a >b)如图 1,把余下的部 分剪拼成一个矩形如图 2,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这 个等式是_______________.

京翰教育 1 对 1 家教 http://www.zgjhjy.com/

中考网 http://www.yaozhongkao.com/

10.(08 绍兴)如图,已知函数 y=x+b 和 y= a x+3 的图象交点为 P,则不等式 x+b> a x+3 的解集为__________.

11.方程组 ?

? y = 2x ?1 的解是__________. ? y = ? x ?1
2 2

12.(08 广州)如图,为实数 a 、b 在数轴上的位置,化简 a ? b ?

( a ? b)

2



13.(02 南京)(1)阅读下面材料:点 A、B 在数轴上分别表示实数 a 、b,A、B 两点之 间的距离表示为 AB .当 A、B 两点中有一点在原点时, 不妨设点 A 在原点,如图 1, AB = OB = b = a ? b ; 当 A、B 两点都不在原点时, ①如图 2,点 A、B 都在原点的右边 AB = OB ? OA = b ? a = b ? a = a ? b ; ②如图 3, A、 都在原点的左边,AB = OB ? OA = b ? a = ?b ? ( ? a ) = a ? b ; 点 B ③如图 4,点 A、B 在原点的两边, AB = OB + OA = a + b = a + ( ?b ) = a ? b .

(2)回答下列问题: ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_______,数轴上表示-2 和-5 的两点之间 的距离是_______,数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是________; ②数轴上表示 x 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是_________,如果 AB = 2 ,那么 x 为__________; ③当代数式 x + 1 + x ? 2 取最小值时,相应的 x 的取值范围是____________.
京翰教育 1 对 1 家教 http://www.zgjhjy.com/

中考网 http://www.yaozhongkao.com/

14.(08 苏州)某厂生产一种产品,图①是该厂第一季度三个月产量的统计图,图②是 这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图,统计员在制作图①、图②时漏填了 部分数据.

根据上述信息,回答下列问题: (1)该厂第一季度_________月份的产量最高. (2)该厂一月份产量占第一季度总产量的___________%. (3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样, 抽检结果发现样品的合格率为 98%. 请 你估计:该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)

15.(08 恩施)如图所示,C 为线段 BD 上一动点,分别过点 B、D 作 AB⊥BD,ED⊥ BD,连接 AC、EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8;设 CD=x. (1)用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长; (2)请问点 C 满足什么条件时,AC+CE 的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 x + 4 +
2

(12 ? x )

2

+ 9 的最小值.

16.如图,已知抛物线与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3)。 (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P,使得△PDC 是 等腰三角形?若存在,求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点 M 是抛物线上一点,以 B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点 M 的坐标.

京翰教育 1 对 1 家教 http://www.zgjhjy.com/

中考网 http://www.yaozhongkao.com/

参考答案
1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C 8. ? 3, 1

(

)

(2,0) 9. a 2-b2=( a +b)( a -b)

10.x>1 11.(0,-1) 12.原式=- a -b-(b- a )=-2b 13.①3 3 4 ② x +1 1 或-3 ③-l≤x≤2

14.(1)三 (2)30 (3)(1900-38%)×98%=4900 15.(1)

(8 ? x )

2

+ 25 + x 2 + 1

(2)当 A、C、E 三点共线时,AC+CE 的值最小 (3)如下图所示, BD=12, 作 过点 B 作 AB⊥BD, 过点 D 作 ED⊥BD, AB=2, 使 ED=3, 连结 AE 交 BD 于点 C.AE 的长即为代数式 x + 4 +
2

(12 ? x )

2

+ 9 的最小值.

过点 A 作 AF∥BD 交 ED 的延长线于点 F, 得矩形 ABDF, AB=DF=2, 则 AF=BD=12. 所 以 AE 12 + ( 3 + 2 ) = 13 即 x + 4 +
2 2 2

(12 ? x )

2

+ 9 的最小值为 13.

16.(1) Q 抛物线与 y 轴交于点 C(0,3),∴ 设抛物线解析式为 y= a x2+bx+3( a ≠0) 根据题意,得 ?

?a ? b + 3 = 0 ? a = ?1 ,解得 ? , ∴ 抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. 9a + 3b + 3 = 0 b=2 ? ?

(2)存在. 由 y=-x2+2x+3 得,D 点坐标为(1,4),对称轴为 x=1. ①若以 CD 为底边,则 PD=PC,设 P 点坐标为(x,y),根据勾股定理, 得 x2+(3-y) 2=(x-1) 2+(4-y) 2,即 y=4-x.又 P 点(x,y)在抛物线上,

∴ 4-x=-x2+2x+3,即 x2-3x+1=0. 解得 x = ∴ y = 4? x =

3± 5 3? 5 ,因 <1,应舍去. 2 2

? 3+ 5 5? 5 ? 5? 5 ,即点 P 坐标为 ? ? 2 , 2 ?. ? 2 ? ?

②若以 CD 为一腰,因为点 P 在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点 P 与 点 C 关于直线 x=1 对称,此时点 P 坐标为(2,3).
京翰教育 1 对 1 家教 http://www.zgjhjy.com/

中考网 http://www.yaozhongkao.com/

? 3+ 5 5? 5 ? 或(2,3). ∴ 符合条件的点 P 坐标为 ? ? 2 , 2 ? ? ? ?
(3)由 B(3, 0),C(0, 3),D(1, 4),根据 勾股定理, 得 CB= 3 2 ,CD= BD= 2 5 .∴ CB2+CD2=BD2=20,∴ ∠BCD=90°,

2,

设对称轴交 x 轴于点 E,过 C 作 CM⊥DE,交抛物线于点 M,垂足为 F,在 Rt△DCF 中, 由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标 M 为(2,3),∴ DM∥BC, ∴ 四边形 BCDM 为直角梯形,由∠BCD=90°及题意可知,以 BC 为一底时,顶点 M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以 CD 为一底或以 BD 为一底,且顶点 M 在抛 物线上的直角梯形均不存在. 综上所述,符合条件的点 M 的坐标为(2,3)坐标.

Q CF=DF=1,∴ ∠CDF=45°,

京翰教育 1 对 1 家教 http://www.zgjhjy.com/



更多相关文章:
中考数学专题复习数形结合思想.doc
中考数学专题复习数形结合思想 - 中考数学专题复习数形结合思想 一、知识
中考数学专项讲解 数形结合思想.doc
中考数学专项讲解 数形结合思想_初三数学_数学_初中教育_教育专区。中考复习专题 中考网 http://www.yaozhongkao.com/ 中考数学专项讲解 数形结合思想知识梳理 数...
初中数学中的数形结合思想.doc
浅谈初中数学中的数形结合思想在解决初中数学问题过程...如 1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、...初中数学专题之数形结合 6页 1下载券 “数形...
中考数学数形结合专题.doc
第九讲数形结合思想中考热点分析】 数形结合思想数学中重要的思想方法, 它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联 系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,...
中考数学总复习专题数形结合思想试题.doc
中考数学总复习专题数形结合思想试题 - 专题数形结合思想 kb 1.(20
中考数学专项讲解_数形结合思想.doc
中考数学专项讲解_数形结合思想 - 中考数学专项讲解 数形结合思想 知识梳理 数
中考数学总复习专题数形结合思想课件.ppt
中考数学总复习专题数形结合思想课件 - 专题数形结合思想 数形结合是研究数
中考复习专题题型数形结合思想_图文.ppt
中考复习专题题型数形结合思想_初三数学_数学_初中教育_教育专区。考前励志我自信,我胜利;我 拼搏,我成功。 专题数形结合思想 知识解析数形结合思想是数学中...
中考数学复习指导:数形结合思想中考举例.doc
中考数学复习指导:数形结合思想中考举例 - 数形结合思想中考举例 数学思想方法与
2018届中考数学数形结合思想在几何中的应用专题练习 精品.doc
2018届中考数学数形结合思想在几何中的应用专题练习 精品 - 专题练习 数形结合思想在几何中的应用 一. 填空题 一. 若A(-5,3)、B(3,3),则以AB为底边、...
第一讲 中考数学专题复习数形结合思想.doc
中考数学专题复习数形结合思想一、知识梳理 数形结合是把抽象的数学语言与直观的
中考数学专题讲座 数形结合思想.doc
中考数学专题讲座 数形结合思想 - 中考数学专题讲座 数形结合思想 概述:数形结合思想是教学中的一种重要思想,在解题过程中,?能画出图形的要尽量画出图 形,图形...
中考试题专题复习---数形结合思想.doc
中考试题专题复习---数形结合思想 - 专题复习---数形结合思想 教学目标: 通过数形结合思想的复习,进一步提高学生应用数学思想的意识,掌握一些数 学方法...
中考数学数形结合思想.doc
中考数学数形结合思想 - LS 数形结合思想 1.(2012 年四川自贡)伟伟从
最新人教版中考数学复习专题3 数形结合思想课件_图文.ppt
最新人教版中考数学复习专题3 数形结合思想课件 - 专题数形结合思想 数形结合思想是在相对新颖的数学情境中综合运用数学思 想、方法 、知识以解决问题,涉及的...
2018中考数学总复习专题数形结合思想试题.doc
2018中考数学总复习专题数形结合思想试题 - 专题数形结合思想 kb 1
数形结合思想.doc
数形结合思想_初三数学_数学_初中教育_教育专区。数形结合思想讲解 数形结合 一、复习内容:数形结合 数形结合思想是数学中重要的思想方法. 所谓数形结合就是...
2014年中考数学思想应用问题第1讲:数形结合思想_图文.ppt
2014年中考数学思想应用问题第1讲:数形结合思想 - 数学思想应用问题 第1讲┃ 数形结合思想 ? 数形结合思想是数学中重要的思想方法.它根据数学问 题中条件和...
...2018年中考数学方法技巧:专题一-数形结合思想训练(....doc
【浙教版】2018年中考数学方法技巧:专题一-数形结合思想训练(含答案) - 方法技巧专题数形结合思想训练 数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质...
中考数学专题复习(数形结合).doc
中考数学专题复习(数形结合) - 中考数学专题复习:数形结合思想 【知识梳理】
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图