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2014-2015学年山东省威海一中高一(下)期末数学试卷 Word版含解析

2014-2015 学年山东省威海一中高一(下)期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.sin240°的值为( ) A. B. C. ﹣ D. ﹣

2.下列向量与 =(1,2)共线的是( A. (2,1) B. (1,2) )

) C. (﹣1,﹣2) D. (2,﹣1)

3.如图程序框图输出的结果为(

A.

B.

C.

D.

4.已知非零向量 , 满足( + )⊥( ﹣ ) ,则( A. = B. | |=| | C. ⊥

) D. ∥

5.已知 tanα=3,则 cos2α=( A. B.

) C. ﹣ D. ﹣

6.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y

男生

377

370

z B. 18 C. 16 ) ,0)中心对称 , )单调递减 D. 12

A. 24

7.对于函数 y=sin(2x﹣

) ,下列说法正确的是(

A. 函数的最小正周期为 C. 函数在﹣ 处取得最大值

B. 函数关于( D. 函数在(﹣

8.某产品的广告费用支出 x(万元)与产品销售额 y(万元)之间的统计数据如表: 广告费用支出 x(万元)2 4 5 6 8 产品销售额 y(万元) 30 40 60 50 70 求得回归直线方程为 =bx+17.5,若投入 12 万元的广告费用,估计销售额为( A. 82.5 万元 B. 90 万元 C. 95.5 万元 )

D. 100.5 万元

9.袋中共有 6 个大小质地完全相同的小球,其中有 2 个红球、1 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,至少有一个黑球的概率为( ) A. B. C. D.

10.在△ ABC 中,角 A 为钝角,AB=1,AC=3,AD 为 BC 边上的高,已知 则 x 的取值范围为( A. ( , ) ) B. ( , ) C. ( , )

=x

+y



D. ( , )

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.855°转化为弧度数为 .

12. 已知 = (﹣2, ﹣1) ,= (λ, 1) , 若 和 的夹角为钝角, 则 λ 的取值范围是 13.某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率







14.| |=4, 与 ﹣ 的夹角为 30°,则| |的最小值为



15.一半径为 6 米的水轮如图,水轮圆心 O 距离水面 3 米,已知水轮每分钟转动 4 圈,水 轮上点 P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为 秒.

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.某单位对三个车间的人数统计情况如表:用分层抽样的方法从三个车间抽取 30 人,其 中三车间有 12 人. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)为了考察职工加班情况,从编号 000~199 中的一车间男职工中,用系统抽样法先后 抽取 5 人的全年加班天数分别为 75,79,82,73,81.已知 73 对应的编号为 145,75 对应 的编号是多少?并求这五个人加班天数的方差. 一车间 二车间 三车间 男职工 200 100 250 女职工 600 k 550 17.如图,两同心圆(圆心在原点)分别与 OA、OB 交于 A、B 两点,其中 A( |OB|= ,阴影部分为两同心圆构成的扇环,已知扇环的面积为 . ,1) ,

(1)设角 θ 的始边为 x 轴的正半轴,终边为 OA,求 值; (2)求点 B 的坐标.



18.已知 、 都是非零向量,且 +3 与 7 ﹣5 垂直, ﹣4 与 7 ﹣2 垂直,求 与 的 夹角. 19.从某学校的 800 名男生中抽 取 40 名测量身高,并制成如下频率分布直方图,已知 x: y:z=1:2:4. (1)求调查对象中身高介于[165,175)之间的人数; (2)估计该校男生中身高在 180cm 以上的人数; (3)从抽取的身高在[160,170)之间的男生中任选 3 人,求至少有 1 人身高在[160,165) 之间的概率.

20.如图:

是直径为

的半圆,O 为圆心,C 是

上一点,且

.DF⊥CD,

且 DF=2, ,E 为 FD 的中点,Q 为 BE 的中点,R 为 FC 上一点,且 FR=3RC. (Ⅰ)求证:面 BCE⊥面 CDF; (Ⅱ)求证:QR∥平面 BCD; (Ⅲ)求三棱锥 F﹣BCE 的体积.

21.函数 f(x)=sin(ωx+φ)+k, (ω>0,﹣ 处取得最小值﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间;

<φ<

)的最小正周期为 π,且在 x=﹣

(Ⅱ)将 f(x)的图象向左平移

个单位后得到函数 g(x) ,设 A,B,C 为三角形的三个

内角,若 g(B)=0,且 =(cosA,cosB) , =(1,sinA﹣cosAtanB) ,求 ? 的取值范围.

2014-2015 学年山东省威海一中高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.sin240°的值为( ) A. B. C. ﹣ D. ﹣

考点:运用诱导公式化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:sin240°=sin(180°+60°)=﹣sin60°=﹣ ,

故选:D. 点评:此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

2.下列向量与 =(1,2)共线的是( A. (2,1) B. (1,2)

) C. (﹣1,﹣2) D. (2,﹣1)

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析:根据向量共线的条件判断即可. 解答: 解: =(1,2) , 对于 A,2×2﹣1×1≠0,故不共线, 对于 B,是重合, 对于 C,1×(﹣2)﹣2×(﹣1)=0,故共线, 对于 D,1×(﹣1)﹣2×2≠0,故不共线, 故选:C 点评:本题考查了向量共线的条件,以及坐标的运算,属于基础题. 3.如图程序框图输出的结果为( )

A.

B.

C.

D.

考点:程序框图. 专题:图表型;点列、递归数列与数学归纳法;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 k,S 的值,当 k=11 时满足条件 K> 10,退出循环,输出 S 的值,利用裂项法即可得解. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=0,K=1 不满足条件 K>10,S= 不满足条件 K>10,S= 不满足条件 K>10,S= 不满足条件 K>10,S= 不满足条件 K>10,S= ,k=3 + + + + ,k=5 + + + ,k=7 + + + )= . ,k=9 + + ,k=11 + + =

满足条件 K>10,退出循环,输出 S= (1

故选:A. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图, 用裂项法求数列的和是解题的关键, 属于基础 题.

4.已知非零向量 , 满足( + )⊥( ﹣ ) ,则( A. = B. | |=| | C. ⊥

) D. ∥

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据垂直得出( ﹣ )?( 的平方的关系,转化为| |=| | 解答: 解:设 则 = , = = , , = , )=0,化简得出
2 2

=0,向量的平方与向量的模

∵( + )⊥( ﹣ ) , ∴( ﹣ )?( )=0,

向量的平方与向量的模的平方的关系,
2 2

=0,即| |=| |

故选:B

点评:本题考察了平面向量的数量积的运用, 关键利用垂直向量的性质, 向量的平方与向量 的模的平方的关系,属于容易题. 5.已知 tanα=3,则 cos2α=( A. B. ) C. ﹣ D. ﹣

考点:二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式求得 cos2α 的值. 解答: 解:∵tanα=3,则 cos2α= = = =﹣ ,

故选:D. 点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式的应用,属于基础题. 6.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级

女生 男生

373 377

x 370

y z B. 18 C. 16 D. 12

A. 24

考点:分层抽样方法. 分析:根据题意先计算二年级女生的人数, 则可算出三年级的学生人数, 根据抽取比例再计 算在三年级抽取的学生人数. 解答: 解: 依题意我们知道二年级的女生有 380 人, 那么三年级的学生的人数应该是 500, 即总体中各个年级的人数比例为 3:3:2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 . 故选 C. 点评:本题考查分层抽样知识,属基本题.

7.对于函数 y=sin(2x﹣

) ,下列说法正确的是(

) ,0)中心对称 , )单调递减

A. 函数的最小正周期为 C. 函数在﹣ 处取得最大值

B. 函数关于( D. 函数在(﹣

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件利用正弦函数的图象和性质,可得结论. 解答: 解:对于函数 y=sin(2x﹣ 当 x= ) ,它的最小正周期为 =π,故排除 A;

时,y=0,故函数的图象关于(

,0)中心对称,故 B 满足条件;

函数在﹣ 在(﹣

处取得最小值为﹣1,故排除 C; , )上,2x﹣ ∈(﹣ ,0) ,函数 y=sin(2x﹣ )为增函数,故排除 D,

故选:B. 点评:本题主要考查正弦函数的图象和性质,属于基础题. 8.某产品的广告费用支出 x(万元)与产品销售额 y(万元)之间的统计数据如表: 广告费用支出 x(万元)2 4 5 6 8 产品销售额 y(万元) 30 40 60 50 70 求得回归直线方程为 =bx+17.5,若投入 12 万元的广告费用,估计销售额为( A. 82.5 万元 考点:线性回归方程. B. 90 万元 C. 95.5 万元 )

D. 100.5 万元

专题:概率与统计. 分析:根据所给的数据,做出 x,y 的平均数,即得到样本中心点,根据所给的线性回归方 程,把样本中心点代入,只有了一个变量,解方程得到结果.再将 x=12 代入,可得销售额 的预报值. 解答: 解:由题中表格数据得: =5, =50, ∴ = ﹣ =17.5=50﹣5b,

解得:b=6.5, ∴ =6.5x+17.5, 当 x=12 时, =6.5×12+17.5=95.5 万元, 故选:C 点评:本题考查线性回归方程,考查样本中心点的性质,考查线性回归方程系数的求法,是 一个基础题,本题运算量不大,是这一部分的简单题目 9.袋中共有 6 个大小质地完全相同的小球,其中有 2 个红球、1 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,至少有一个黑球的概率为( ) A. B. C. D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:从口袋中 6 个小球中随机摸出 2 个小球,共有 10 种选法,则没有黑球只有 3 种,根 据互斥事件的概率公式计算即可 解答: 解: 从口袋中 6 个小球中随机摸出 2 个小球, 共有 C6 =15 种选法, 则没有黑球 C3 =3 种, ∴每个小球被抽到的机会均等,从袋中任取两球,至少有一个黑球的概率为 1﹣ 故选:D. 点评:本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式,属于基础题. = ,
2 2

10.在△ ABC 中,角 A 为钝角,AB=1,AC=3,AD 为 BC 边上的高,已知 则 x 的取值范围为( A. ( , ) ) B. ( , ) C. ( , )

=x

+y



D. ( , )

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析: 便可得到 = , 这样即可得出 x+y=1, 而根据 .进行数量积的运算便可得到 3(x﹣y)cosA﹣

x+9y=0,带入 y=1﹣x 可求得 <0,从而可求出 解答: 解:如图, ∴ ∴ 又 ∴x+y=1; ; ∴ 将 y=1﹣x 带入上式并整理得: (6cosA﹣10)x=3cosA﹣9; ∴ ∵A 为钝角; ∴﹣1<cosA<0; ∴﹣8<3cosA﹣5<﹣5; ∴ ∴ ; ) . ; = ; ; ; ;

,由 A 为钝角便知﹣1<cosA

的范围,这便可求出 x 的取值范围. , 共线;

=3(x﹣y)cosA﹣x+9y=0;

∴x 的取值范围为( 故选 A.

点评:考查向量加法、减法的几何意义,共线向量、平面向量基本定理,以及向量垂直的充 要条件,数量积的运算及其计算公式,分离常数求变量范围的方法. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)

11.855°转化为弧度数为



考点:弧度与角度的互化. 专题:三角函数的求值. 分析:角度化为弧度,变换规则是度数乘以 解答: 解:∵1°= ∴855°= 故答案为: ×855= . , . 即可.

点评:本题考查了将角度制化为弧度制,属于基础题型.

12.已知 =(﹣2,﹣1) , =(λ,1) ,若 和 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是 λ>﹣ 且 λ≠2 . 考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题. 分析:根据两个向量的夹角是钝角, 则两个向量的夹角的余弦小于零, 从而得到两个向量的 数量积小于零,用坐标形式表示向量的数量积,解不等式,得到变量的范围. 解答: 解:∵ 与 的夹角为钝角, 与 不共线

∴cos< , ><0.且 ∴ ? <0.且﹣λ+2≠0 ∴﹣2λ﹣1<0.且 λ≠2 ∴λ>﹣ 且 λ≠2. 故答案为:λ>﹣ 且 λ≠2

点评:两个向量的数量积是一个数量, 它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积, 结 果可正、可负、可以为零,其符号由夹角的余弦值确定. 13.某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为



考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:根据几何概型的概率公式,分别求出正方形和圆的面积进行计算即可. 解答: 解:设正方形的边长为 a,则正方形的对角线为 a, 即圆的直径 2R= a, 则半径 R= a, = = ,

则投中正方形区域的概率 P=

故答案为: 点评:本题主要考查几何概型的概率的计算,求出对应的面积是解决本题的关键.

14.| |=4, 与 ﹣ 的夹角为 30°,则| |的最小值为 2 . 考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:设 值. 解答: 解:设 , ,则 ,如图,则∠A=30°, , ,则 ,由几何意义得知当 OB⊥AB 时 OB 最短,求出最

所以当 OB⊥AB 时 OB 最短,即| |的最小值为:|OA|×sin30°=

=4× =2;

故答案为:2. 点评:本题考查了平面向量是几何意义的运用;关键是画出图形,利用几何意义解答. 15.一半径为 6 米的水轮如图,水轮圆心 O 距离水面 3 米,已知水轮每分钟转动 4 圈,水 轮上点 P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为 5 秒.

考点:在实际问题中建立三角函数模型. 专题:三角函数的求值. 分析:由已知可得水轮上点 P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转 120°, 即 个 周期,进而根据水轮每分钟转动 4 圈,求出周期,可得答案. 解答: 解:过 O 作水平的垂线,垂足为 Q,如下图所示:

由已知可得:OQ=3,OP=6, 则 cos∠POQ= ,即∠POQ=60°, 则水轮上点 P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转 120°,即 个周期, 又由水轮每分钟转动 4 圈,可知周期是 15 秒, 故水轮上点 P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为 5 秒, 故答案为:5 点评:本题考查的知识点是三角函数的周期, 在实际问题中建立三角函数模型的问题. 难度 不大,属于基础题. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.某单位对三个车间的人数统计情况如表:用分层抽样的方法从三个车间抽取 30 人,其 中三车间有 12 人. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)为了考察职工加班情况,从编号 000~199 中的一车间男职工中,用系统抽样法先后 抽取 5 人的全年加班天数分别为 75,79,82,73,81.已知 73 对应的编号为 145,75 对应 的编号是多少?并求这五个人加班天数的方差. 一车间 二车间 三车间 男职工 200 100 250 女职工 600 k 550

考点:极差、方差与标准差. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论. (Ⅱ)根据系统抽样的定义进行求解即可. 解答: 解: ( I)由题意得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ( II)由题意得,抽取间距 d= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,解得 k=300.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣(4 分) 设 7 的编号是 m, 则 145=m+(4﹣1)×40, 解得 m=25 所以 75 对应的编号是 25.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) = (75+79+82+73+81)=78;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) s = [(75﹣78) +(79﹣78) +(82﹣78) +(73﹣78) +(81﹣78) ]=12﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评:本题主要考查样本平均数和方差的计算以及分层抽样, 系统抽样的应用, 根据相应的 公式是解决本题的关键. 17.如图,两同心圆(圆心在原点)分别与 OA、OB 交于 A、B 两点,其中 A( |OB|= ,阴影部分为两同心圆构成的扇环,已知扇环的面积为 . ,1) ,
2 2 2 2 2 2

(1)设角 θ 的始边为 x 轴的正半轴,终边为 OA,求 值; (2)求点 B 的坐标.



考点:任意角的三角函数的定义;弧度制的应用. 专题:三角函数的求值.

分析: (1)根据三角函数的定义结合三角函数的诱导公式进行化简即可求 的值; (2)利用两角和差的正弦公式,余弦公式进行求解即可. 解答: 解: (1)由 A( ,1)得|OA|= , 则 sinθ= ,cosθ= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)



=

=

=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)设∠AOB=α, ∵扇环的面积为 ∴ = . = ,解得 α= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣(8 分) 由题意知 B( cos(θ+ ) , sin(θ+ ) ) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣(9 分) ∵ cos(θ+ )= cosθcos ﹣sinθsin = ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) sin(θ+ 即 B( )= , sinθcos +cosθsin = ,

)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评:本题主要考查三角函数值的计算, 利用三角函数的定义以及两角和差的三角公式是解 决本题的关键.

18.已知 、 都是非零向量,且 +3 与 7 ﹣5 垂直, ﹣4 与 7 ﹣2 垂直,求 与 的 夹角. 考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:根据互相垂直的两个向量数量积为零,得( +3 )?(7 ﹣5 )=0 且( ﹣4 )? (7 ﹣2 )=0.由此结合数量积的运算性质,化简整理得| |=| |且 2 ? = 夹角公式,得到 、 的夹角余弦值,即得 与 的夹角大小. 解答: 解:由题意,得
2

,再运用向量

( +3 )?(7 ﹣5 )=0 且( ﹣4 )?(7 ﹣2 )=0, 即7 7
2 2

+16 ? ﹣15
2

2

=0…①,

﹣30 ? +8

=0…②
2

①﹣②得 2 ? =

,代入①式得

2

=

2

,| |=| |

∴cosθ=

=

= ,

∵θ∈[0°,180°],∴θ=60° 即 与 的夹角为 60°. 点评:本题给出关于向量 、 的几个线性组合, 在已知两对向量互相垂直的情况下求向量 与 的夹角大小.着重考查了平面向量数量积的公式及其运算性质等知识,属于基础题.

19.从某学校的 800 名男生中抽 取 40 名测量身高,并制成如下频率分布直方图,已知 x: y:z=1:2:4. (1)求调查对象中身高介于[165,175)之间的人数; (2)估计该校男生中身高在 180cm 以上的人数; (3)从抽取的身高在[160,170)之间的男生中任选 3 人,求至少有 1 人身高在[160,165) 之间的概率.

考点:频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据频率分布直方图先求出 x,即可求调查对象中身高介于[165,175)之间 的人数; (2)根据频率分布直方图进行即可即可; (3)利用列举法结合古典概型的概率公式进行求解即可. 解答: 解: (1)∵x:y:z=1:2:4, ∴(x+2x+4x+0.05+0.06+2x)×5=1,

解得 x=0.01, ∴(y+z)×5×40=200×6x=12 即调查对象中身高介于[165,175)之间有 12 人.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣(3 分) (2)800×(0.05+0.02)×5=280 人﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (3)身高在[160,165)之间的人数为:40×0.01×5=2 人,设为 A1,A2﹣﹣﹣﹣(7 分) 身高在[160,170)之间的人数为:40×0.02×5=4 人, 设为 B1 B2,B3,B4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 从 6 人中任选 3 人共有: (A1A2B1) ( A1A2B2) (A1A2B3) (A1A2B4) (A1B1B2) (A1B1B3) (A1B1B4) (A1B2B3) (A1B2B4) (A1B3B4) (A2B1B2) (A2B1B3) (A2B1B4) (A2B2B3) (A2B2B4) (A2B3B4) (B1B2B3) (B1B2B4) (B1B3B4) (B2B3B4)20 种情况,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 其中至少有 1 人身高在[160,165)之间有 16 种情况,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) ∴至少有 1 人身高在[160,165)之间的概率为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评:本题主要考查频率分布直方图和概率的求解,利用列举法是解决本题的关键.

20.如图:

是直径为

的半圆,O 为圆心,C 是

上一点,且

.DF⊥CD,

且 DF=2, ,E 为 FD 的中点,Q 为 BE 的中点,R 为 FC 上一点,且 FR=3RC. (Ⅰ)求证:面 BCE⊥面 CDF; (Ⅱ)求证:QR∥平面 BCD; (Ⅲ)求三棱锥 F﹣BCE 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)证明 BD⊥DF,DF⊥BC,利用直线与平面垂直的判定定理证明 BC⊥平面 CFD,然后证明面 BCE⊥面 CDF. (Ⅱ)连接 OQ,通过证明 RQ∥OM,然后证明 QR∥平面 BCD. (Ⅲ)利用 vF﹣BCE=vF﹣BCD﹣vE﹣BCD 求解几何体的体积即可. 解答: (本小题满分 12 分) 2 2 2 证明: (Ⅰ)∵DF=2, , ,∴BF =BD +DF ,

∴BD⊥DF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) 又 DF⊥CD,∴DF⊥平面 BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∴DF⊥BC, 又 BC⊥CD,∴BC⊥平面 CFD,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ∵BC?面 BCE ∴面 BCE⊥面 CDF.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (Ⅱ)连接 OQ,在面 CFD 内过 R 点做 RM⊥CD, ∵O,Q 为中点,∴OQ∥DF,且 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)

∵DF⊥CD∴RM∥FD,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 又 FR=3RC,∴ ∵E 为 FD 的中点,∴ ,∴ ,

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

∴OQ∥RM,且 OQ=RM ∴OQRM 为平行四边形,∵RQ∥OM﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 又 RQ?平面 BCD,OM?平面 BCD,∴QR∥平面 BCD.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) (Ⅲ)∵ ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) ,∴∠DBC=30°,∴在直角三角形 BCD 中有 , , ﹣

点评:本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用直线与平面平行的判定定理以及几何体 的体积的求法,考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力.

21.函数 f(x)=sin(ωx+φ)+k, (ω>0,﹣ 处取得最小值﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)将 f(x)的图象向左平移

<φ<

)的最小正周期为 π,且在 x=﹣

个单位后得到函数 g(x) ,设 A,B,C 为三角形的三个

内角,若 g(B)=0,且 =(cosA,cosB) , =(1,sinA﹣cosAtanB) ,求 ? 的取值范围.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由周期求得 ω,再根据函数在 x=﹣ 处取得最小值﹣2 求得 φ,可得 f(x)

的解析式,从而利用正弦函数的单调性求得 f(x)的单调递增区间. (Ⅱ)有条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式,由 g(B) =0 求得 B 的值.利用两个向量的数量积公式求得 ? 的解析式,利用三角恒等变换化简它 的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得 ? 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得 1+k=﹣2,∴k=﹣1. ∵f(﹣ 结合﹣ 令 2kπ﹣ )=sin(﹣ <φ< ≤2x﹣ +φ)﹣1=﹣2,∴φ﹣ =2kπ﹣ ,即 φ=2kπ﹣ )﹣1. ,k∈Z. =π,∴ω=2,函数 f(x)=sin(ωx+φ)+k 的最小值为﹣

,可得 φ=﹣ ≤2kπ+

,∴f(x)=sin(2x﹣ ≤x≤kπ+ ,

,求得 kπ﹣

可得 f(x)的单调递增区间为[kπ﹣ (Ⅱ)将 f(x)的图象向左平移 (2x+ )﹣1 的图象,

,kπ+

],k∈Z. )﹣ ]﹣1=sin

个单位后得到函数 g(x)=sin[2(x+

由 g(B)=sin(2B+ 由

)﹣1=0,求得 sin(2B+

)=1,∴B=

. sinA

=(cosA,cosB)=(cosA, ) . <A+

) , =(1,sinA﹣

cosA) ,可得 ? =cosA+

﹣ cosA=sin(A+ ∵0<A< ∴ ? ,∴

<π,0<sin(A+

)≤1

的取值范围为(0,1].

点评:本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域,函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象变换规律,两个向量的数量积公式,三角恒等变换,属于中档题.



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