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高考数学关键题型整理与分析:第4部分 复数


第四部分 复数 31、复数问题实数化时,设复数 z ? a ? bi ,不要忘记条件 a, b ? R .两复数 z1 ? a ? bi , z 2 ? c ? di, (a, b, c, d ? R) , z1 ? z 2 的条件是 a ? c, b ? d .这是复数求值的主要依据.根据 条件,求复数的值经常作实数化处理. [举例]若复数 z 满足: z ? z ? ( z ? z )i ? 3?i ,则 z ? _____. 2?i 2 2 分析:设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,原式化为 a ? b ? 2ai ? 1 ? i ,得 ? ?a 2 ? b 2 ? 1 ?2a ? ?1 ,求得 1 3 z?? ? i. 2 2 32、实系数一元二次方程若存在虚根,则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实 根不能用判别式判断. [举例]若方程 x 2 ? bx ? 2 ? 0(b ? R) 的两根 ? , ? 满足 | ? ? ? |? 2 ,求实数 b 的值. 分析:在复数范围内 | ? ? ? | 2 ? (? ? ? ) 2 不一定成立,但 | (? ? ? ) 2 |?| ? ? ? | 2 一定成立. 对于二次方程,韦达定理在复数范围内是成立的. ? 2 2 则 b ? 4 或 b ? 12 ,所以 b ? ?2 或 b ? ?2 3 . ?? ? ? ? ?b , | (? ? ? ) 2 |?| b 2 ? 8 |? 4 , ?? ? 2 ? 33、 | z1 ? z 2 | 的几何意义是复平面上 z1 , z 2 对应点之间的距离, | z ? z 0 |? r 的几何意义是 复平面上以 z 0 对应点为圆心, r 为半径的圆. [举例]若 | z ? 2i | ? | z ? z 0 |? 4 表示的动点的轨迹是椭圆,则 | z0 | 的取值范围是___. 分析: 首先要理解数学符号的意义: z ? 2i | ? | z ? z 0 |? 4 表示复数 z 对应的动点到复数 2i | 与 z 0 对应的两定点之间的距离之和等于 4.而根据椭圆的定义知,两定点之间的距离要小于 定值 4,所以有 | z 0 ? 2i |? 4 ,而此式又表示 z 0 对应的点在以 2i 对应点为圆心,4 为半径的 圆内,由模的几何意义知 | z 0 |? [0,6) . 34、对于复数 z ,有下列常见性质: (1) z 为实数的充要条件是 z ? z ; (2) z 为纯虚数的 充要条件是 z ? z ? 0 且 z ? 0 ; (3) z ? z ?| z |2 ; (4) | z1 z2 |?| z1 || z2 | . 本卷第 1 页(共 2 页) [举例]设复数 z 满足: (1) z ? 分析:由 z ? 4 ? R, (2) | z ? 2 |? 2 ,求复数 z . z 4 4 4 ? R, 则 z ? ? z ? ? ( z ? z )(| z | 2 ?4) ? 0 ? z ? z 或 | z |? 2 .当 z ? z z z z 时,则 z ? R ,由 | z ? 2 |? 2 得 z ? 4 或 z ? 0 (舍去) ;当 | z |? 2 时,可求得 z ? 1? 3i . 综上知: z ? 4, z ? 1 ? 3i . 本卷第 2 页(共 2 页)


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