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江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案6苏教版选修2_2

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导数在研究函数中的应用——单调性
一、教学目标: 1.理解导数与单调性的关系,初步掌握用导数法研究函数的单调性. 2.体会导数方法在研究函数单调性中的有效性与一般性. 3.感受数学自身发展的一般规律. 二、教学重点、难点: 重点:探索导数与单调性的关系及利用导数求函数的单调区间. 难点:导数与函数单调性关系的探索过程. 三、教学方法与手段: 1.教学方法: 本节课运用“问题解决”课堂教学模式,采用发现式、启发式的教学方法.通过问题激发学生 求知欲,使学生主动参与教学实践活动,在教师的指导下发现、分析和解决问题,总结规律,培养 积极探索的科学精神. 2.教学手段: 本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量,通过数形结合,使抽象的知识直观化,形 象化,以促进学生的理解. 四、教学过程: (一)问题情境 (播放名曲:渔舟唱晚)气温的变化与我们的生活息息相关,在数学中,我们可以利用函数这一 重要的数学模型来研究客观世界的变化,例如,我们可以通过建立气 温与时间的函数关系来研究气 温的变化趋势.

问题 1:从函数图象可以看出,气温随时间的变化有着明显的上升与下降的变化趋势.那么, 函数图象的这种上升与下降的变化趋势我们可以用最近所学的哪种知识来刻画呢?在高一我们又可
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以用函数的哪种性质来刻画这 种变化趋势呢? 【设计意图】气温变化案例是必修 1 函数单调性的引入情境,也是选修 2-2 导数及其应用章头引 言案例,通过该情境,试图沟通必修 1 与选修 2-2 在研究函数单调性中的联系. 问题 2:导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势,而函数的单调性也是对函数变化趋势 的一种刻画,那么,既然它们都是刻画函数变化趋势的数学模型,它们之间存在怎样的联系?我们 能否用导数这一工具来研究函数的单调性呢? 这就是本节课的课题(揭示本节课的课题,板书“导数在研究函数中的应用- ----单调性” ) . 【设计意图】这是一个总领整个课堂的问题,试图唤醒学生的原认知结构,打通原有知识之间 的联系,引出本节内容. 问题 3:回到问 题:导数与函数的单调性有什么联系? 著名数学家波利亚曾说过:解决一个数学问题,应该先回到定义. 【设计意图】为研究导 数与函数单调性的关系提供了一个研究方法. (二)数学探究 请回顾单调增函数的定义. 如 果 对 于 区 间 I 内 的 任 意 两 个 值 x1 , x 2 , 当 x1 ? x 2 ( x1 ? x2 ) 时 , 都 有

f ?x1 ? ? f ?x2 ?( f ( x1 ) ? f ?x2 ? ),那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调增函数.
问题 4:请同学们观察 x 2 ? x1 与 f ?x2 ? ? f ?x1 ? 的符号之间的关系. 通过观察,我们发现可以将单调增函数的定义可以改写成:任意 x1 , x 2 ? I , x1 ? x 2 时,若

f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? 0 则函数 f ( x) 在区间 I 上单调增. x2 ? x1
问题 5:联想表达式

f ?x 2 ? ? f ?x1 ? 的含义,你能否从几何 角度来解释单调增函数的定义? x2 ? x1

【设计意图】定义是数学的根本,通过研究定义从另外一个角度阐述它的含义:说明对区间 I 上任意两点的割线斜率大于零则函数单调递增.这为研究导数与函数单调性关系做好铺垫. 问题 6:通过几何角度,我们发现割线的斜率与函数的单调性有着紧密的联系.那么,我们如 何联系起导数呢?导数的几何意义是什么?如何联系呢? (当 ?x ? 0 时,割线逼近切线) 回到导数的定义: 当 ?x ? 0 时,

?y f ?x 0 ? ?x ? ? f ?x 0 ? ? ? f ' ?x 0 ? ?x ?x

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问题 7:请思考

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 的几何意义. ?x

问题 8:你能从几何角度来解释该定义吗? 【设计意图】定义是数学的根本,通过研究定义,说明当 P, Q 两点无限逼近时,割线斜率逼近 切线斜率. 直观感受割线的斜率是沟通导数与单调性的桥梁.

问题 9:回到刚才的实验,你能发现 什么现象吗? (随着点 Q 沿曲线向点 P 运动,割线 PQ 在 P 点附近越来越逼近曲线,当点 Q 无限逼近 P 点时,割线 PQ 最终成为在 P 点附近最逼近曲线的直线切线 l ) 直观感受切线是 P 点附近最逼近曲线的直线.

(放大 P 点附近的图象,我们可以发现切线与曲线是重合的,此时,我们可以用直线来代替曲线) 导数的本质思想: “以直代曲” ,通过这种思想,我们可以将曲线的问题转化到直线上去.例如, 在 p 点附近,我们可以用切线的斜率来刻画曲线经过点 P 时的上升或下降的“变化 趋势” . 问题 10: f ' ?x0 ? 时,曲线在 P 点处有上升趋势? 时,曲线在 P 点处有下降趋势?

f ' ? x0 ?

问题 11:若 f ' ?x0 ? ? 0 刻画的是曲线 f ( x) 在点 P0 处的上升趋势,那么我们如何用导数来刻画 函数在一个区间上的单调性呢? 问题 12:任意 x ? ?a, b? 有 ,则函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上单调递增.

问题 13:我们如何用导数来刻画函数在某区间上单调递减呢? 【设计意图】教材是施教的根本,本段通过课本上的“以直代曲”来解释导数是函数的“ 瞬时
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变化率”这个抽象的概念;通过由一点的变化趋势到一个区间的变化趋势,完成对 f ' ?x0 ? ? 0 到

f ' ( x) ? 0 的解释.
总结导数与函数单调性的关系如下: 一般地,我们有下面结论: 对于函数 y ? f ( x) 如果在某区间上 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上的增函数; 如果在某区间上 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上的减函数; 问题 14:为什么我们要引进导数这一工具来研究函数的单调性呢? 【设计意图】意图说明导数法在研究函数单调性时的有效性和一般性. 下面我们通过实例来体会导数法在研究函数单调性的有效性和一般性. (三)数学应用 例1 例2 确定函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 的单调区间. (教师板书) 确定函数 f ?x? ? x 3 ? 3x 的单调减区间. (进行分组竞赛) 【设计意图】通过教师板演例 1,示范用导数求解单调区间的过程;通过例 2 的学生分组竞赛, 说明导数法研究函数单调性的有效性. 例 3 确定下列函数的单调区间. (1) f ?x ? ? 2 x ? 6 x ? 7
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(2) f ?x? ? x ln x 【设计意图】通过学生板演,进一步完善用导数求函数单调性的步骤;并通过实例说明两个注意 点:单调区间中不能用“ ? ” 、单调区间为定义域的子区间.通过例 3(2)说明导数法在研究函数 单调性中的一般性. 导数求函数单调区间的 步骤: (1) 求函数 y ? f ( x) 的定义域; (2) 求导数 f ' ? x ? ; (3) 解不等式 f ' ?x? ? 0 ( f ' ?x? ? 0 ) . (4) 以上解集在定义域内的部分为单调增(减)区间. 例 4.请用导数证明 f ( x) ? sin x ? x 在区间 ?0, ? ? 上是减函数.
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【设计意图】通过实例,说明导数能简单明了的证明函数的单调性,同时也应对了导数法研究 单调性的一般性. 问题 15:请思考该函数在区间 ?? ? ,0? 、 ?? ? , ? ? 上的单调性? 问题 16:请思考该函数在区间 ?? ? , ? ? 上导函数的符号? 问题 17:结合以上问题判断,函数单调减时, f ' ?x? ? 0 一定成立吗? 问题 18:结合书本思考题判断,函数单调增时, f ' ?x? ? 0 一定成立吗? 结合生活实例"骑自行车"的位移函数的单调性与速度函数的正负关系来解释函数单调性与导 数符号的关系. 【设计意图】通过实例,说明 f ( x) 单调减(增)时 f ' ( x) ? 0 ? f ' ( x) ? 0? 不一定成立. (四)课堂小结 总结本堂课解决的两个问题: 1.如何用导数来研究函数的单调性(由直观的“形”到抽象的“数” ) ; 2.为什么要用导数来研究函数的单调性(由特殊的“实例”到一般“结论” ) . 感受:从直观到抽象,从特殊到一般的数学知识的发展规律. (五)思考升华 问题 19:你现在能画出例 3(1)函数的图象了吗? 问题 20:观察该函 数图象,思考点 f ' ?0 ?与 f ' (2) 的值,并思考这两个点的特殊之处. 【设计意图】通过实例,引出下一节的主要研究方向:极值. (六)课后巩固 布置作业:课本习题 1,2,3,4 (七)板书设计

导数在研究函数中的应用---单调性
一、以直代曲:曲线 二、导函数与单调性: 在某区间上: 若 f ' ( x) ? 0 则 f ?x ? 单调递增 若 f ' ( x) ? 0 则 f ( x) 单调递减 例3 直线 例1 例2

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