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凭祥市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

凭祥市第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题 班级__________ 一、选择题
1. 若数列{an}的通项公式 an=5( )2n﹣2﹣4( )n﹣1(n∈N*),{an}的最大项为第 p 项,最小项为第 q 项, 则 q﹣p 等于( A.1 A. ? 0,2016 ) B.2 C.3 D.4 ) D. ?1, 2017? C. ?1, 2016?

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 若函数 y ? f ? x ? 的定义域是 1, 2016 ,则函数 g ? x ? ? f ? x ? 1? 的定义域是(

?

B. ?0, 2015?

?

?

3. 设函数 y ? f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实根,则这 6 个实根的和为( ) A. 18 B. 12 C. 9 D. 0

【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识,意在考查运算求解能力. 4. 已知 a, b, c 为 ?ABC 的三个角 A, B, C 所对的边,若 3b cos C ? c(1 ? 3cos B) ,则 sin C:sin A.2︰3 B.4︰3 C.3︰1 D.3︰2 ) D. y ? x ? z 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理,意在考查转化能力、运算求解能力. 5. 已知 x, y , z 均为正实数,且 2x ? ? log 2 x , 2? y ? ? log2 y , 2? z ? log2 z ,则( A. x ? y ? z A.45 B.90 B. z ? x ? y C.120 D.360 C. z ? y ? z ) 6. 由两个 1,两个 2,两个 3 组成的 6 位数的个数为(

A ?(



7. 若复数满足 A.1

1? i 7 ? i (为虚数单位),则复数的虚部为( z B. ? 1
2

) C. D. ? i

8. 已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F ,定点 A(0, 2) ,若射线 FA 与抛物线 C 交于点 M ,与抛 物线 C 的准线交于点 N ,则 | MN |:| FN | 的值是( A. ( 5 ? 2) : 5 9. 若 f′(x0)=﹣3,则 A.﹣3 B.﹣12 C.﹣9 ) B. 2 : 5 =( ) C. 1: 2 5 ) D.﹣6 D. 5 : (1 ? 5)

10.执行如图所示的程序框图,输出的结果是(

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A.15 B.21 C.24 11.在空间中,下列命题正确的是(

D.35 )

A.如果直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,那么 m∥n B.如果平面 α 内的两条直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β C.如果平面 α 外的一条直线 m 垂直于平面 α 内的两条相交直线,那么 m⊥α D.如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么必有 m⊥β 12. F2 是椭圆的两个焦点, 已知 F1、 满足 A.(0,1) B.(0, ] =0 的点 M 总在椭圆内部, 则椭圆离心率的取值范围是 ( C.(0, ) D.[ ,1) )

二、填空题
13.设某双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为 27 36
. 个直角三角形.

( 15,4) ,则此双曲线的标准方程是

14.如图,△ ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面 ABC,此图形中有

15.已知 x,y 满足条件

,则函数 z=﹣2x+y 的最大值是



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16.抛物线 y2=﹣8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是



x ? 1? x ? 0 ? 17.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f(x)= { e x ,若函数 y=f(f(x) 2 x ? 2 x ? 1( x ? 0)
﹣a)﹣1 有三个零点,则 a 的取值范围是_____.

三、解答题
18.(本小题满分 12 分) 一个盒子里装有编号为 1、2、3、4、5 的五个大小相同的小球,第一次从盒子里随机抽取 2 个小球,记下球的 编号,并将小球放回盒子,第二次再从盒子里随机抽取 2 个小球,记下球的编号. (Ⅰ)求第一次或第二次取到 3 号球的概率; (Ⅱ)设 ? 为两次取球时取到相同编号的小球的个数,求 ? 的分布列与数学期望.

19.(本小题满分 12 分)
3?3 ? a ? 2 1 x ? 9 x 无极值点. 设 p :实数满足不等式 3a ? 9 ,:函数 f ? x ? ? x 3 ? 3 2

(1)若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求实数的取值范围;
1? 1? ? ? (2)已知“ p ? q ”为真命题,并记为,且: a 2 ? ? 2m ? ? a ? m ? m ? ? ? 0 ,若是 ?t 的必要不充分 2 2? ? ? ?

条件,求正整数 m 的值.

20.设集合 A={x|0<x﹣m<3},B={x|x≤0 或 x≥3},分别求满足下列条件的实数 m 的取值范围.

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(1)A∩B=? ; (2)A∪B=B.

21.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1,底面三角形 ABC 为正三角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=2,AA1=4,E 为 AA1 的中点,F 为 BC 的中点 (1)求证:直线 AF∥平面 BEC1 (2)求 A 到平面 BEC1 的距离.

22. (本题满分 12 分)在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为矩形, 直线 AF ? 平面 ABCD ,EF // AB ,

AD ? 2, AB ? AF ? 2EF ? 1,点 P 在棱 DF 上.
(1)求证: AD ? BF ; (2)若 P 是 DF 的中点,求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (3)若 FP ?

1 FD ,求二面角 D ? AP ? C 的余弦值. 3

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23.已知函数

且 f(1)=2.

(1)求实数 k 的值及函数的定义域; (2)判断函数在(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.

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凭祥市第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:设 ∴an=5t ﹣4t= ∴an∈ ∴q﹣p=2﹣1=1, 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 2. 【答案】B 【解析】 ,
2

=t∈(0,1],an=5( )2n﹣2﹣4( )n﹣1(n∈N*), ﹣ ,

当且仅当 n=1 时,t=1,此时 an 取得最大值;同理 n=2 时,an 取得最小值.

3. 【答案】A. 【解析】 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ? f ( x) ? f (6 ? x) ,∴ f ( x) 的图象关于直线 x ? 3 对称, ∴ 6 个实根的和为 3 ? 6 ? 18 ,故选 A. 4. 【答案】C 【解析】由已知等式,得 c ? 3b cos C ? 3c cos B ,由正弦定理,得 sin C ? 3(sin B cos C ? sin C cos B) ,则

sin C ? 3sin( B ? C ) ? 3sin A ,所以 sin C : sin A ? 3 :1 ,故选 C.
5. 【答案】A 【解析】

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考 点:对数函数,指数函数性质. 6. 【答案】B 【解析】解:问题等价于从 6 个位置中各选出 2 个位置填上相同的 1,2,3,
2 2 2 所以由分步计数原理有:C6 C4 C2 =90 个不同的六位数,

故选:B. 【点评】本题考查了分步计数原理,关键是转化,属于中档题. 7. 【答案】A 【解析】 试题分析: i 4 ? 1, i 2 ? ?1?i 7 ? i3 ? ?i ,因为复数满足 虚部为,故选 A. 考点:1、复数的基本概念;2、复数代数形式的乘除运算. 8. 【答案】D 【解析】

i ?1 ? i ? 1? i 7 ? i ,所以 ? ?i i,? z ? i ? 1 ,所以复数的 z z

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考点:1、抛物线的定义; 2、抛物线的简单性质. 【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质,属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况 下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛物线 上的点到准线距转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题 得到解决.本题就是将 M 到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 9. 【答案】B =﹣3, ′ x0) ∵f( 【解析】 解: 则 ( 故选:B. 【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义,属于基础题. 10.【答案】C 【解析】【知识点】算法和程序框图 【试题解析】 否, 则输出 S=24. 故答案为:C 11.【答案】 C 否, 否, 是, )=4f′(x0)=4×(﹣3)=﹣12, = [4 ]=4

【解析】解:对于 A,直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,则 m 与 n 可能平行,可能异面,故不正确; 对于 B,如果平面 α 内的两条相交直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β,故不正确; 对于 C,根据线面垂直的判定定理可得正确; 对于 D,如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么可能 m⊥β,也可能 m 和 β 斜交,; 故选:C.

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【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用,考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的 位置关系,同时考查了推理能力,属于中档题. 12.【答案】C 【解析】解:设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a,b,c, ∵ =0, ∴M 点的轨迹是以原点 O 为圆心,半焦距 c 为半径的圆. 又 M 点总在椭圆内部,
2 2 2 2 ∴该圆内含于椭圆,即 c<b,c <b =a ﹣c . 2 ∴e =

< ,∴0<e<



故选:C. 【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容,解题时要注意公式的选取,认真解答.

二、填空题
13.【答案】 【解析】

y2 x2 ? ?1 4 5

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 y 轴上,且 c 2 ? 36 ? 27 ? 9 ,故焦点坐标为 ?0,?3? 由双曲 试题分析:由题意可知椭圆 27 36
线的定义可得 2a ? 曲线的标准方程为

? 15 ? 0? ? ?4 ? 3?
2

2

?

? 15 ? 0? ? ?4 ? 3?
2

2

? 4 ,故 a ? 2 , b 2 ? 9 ? 4 ? 5 ,故所求双

y2 x2 y2 x2 ? ? 1 .故答案为: ? ?1. 4 5 4 5

考点:双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 14.【答案】 4 △PAB 是直角三角形, ∠ACB=90° 【解析】 解: 由 PA⊥平面 ABC, 则△PAC, 又由已知△ABC 是直角三角形, 所以 BC⊥AC,从而易得 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥PC,所以△PCB 也是直角三角形, 所以图中共有四个直角三角形,即:△PAC,△PAB,△ABC,△PCB. 故答案为:4 【点评】本题考查空间几何体的结构特征,空间中点线面的位置关系,线面垂直的判定定理和性质定理的熟练 应用是解答本题的关键. 15.【答案】 4 .

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【解析】解:由约束条件

作出可行域如图,

化目标函数 z=﹣2x+y 为 y=2x+z,由图可知,当直线 y=2x+z 过点 A(﹣2,0)时, 直线 y=2x+z 在 y 轴上的截距最大,即 z 最大,此时 z=﹣2×(﹣2)+0=4. 故答案为:4. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 16.【答案】 (﹣4, ) . =2.

2 【解析】解:∵抛物线方程为 y =﹣8x,可得 2p=8,

∴抛物线的焦点为 F(﹣2,0),准线为 x=2. 设抛物线上点 P(m,n)到焦点 F 的距离等于 6, 根据抛物线的定义,得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线的距离, 即|PF|=﹣m+2=6,解得 m=﹣4,
2 ∴n =8m=32,可得 n=±4

, ). ).

因此,点 P 的坐标为(﹣4, 故答案为:(﹣4,

【点评】本题给出抛物线的方程,求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标.着重考查了抛物线的定义与 标准方程等知识,属于基础题. 17.【答案】 [1 ? , 3) ? ?3 ? ? 【解析】当 x<0 时,由 f(x)﹣1=0 得 x2+2x+1=1,得 x=﹣2 或 x=0,

1 e

? ?

1? e?

第 10 页,共 17 页

当 x≥0 时,由 f(x)﹣1=0 得

x ? 1 ? 1 ? 0 ,得 x=0, ex

由,y=f(f(x)﹣a)﹣1=0 得 f(x)﹣a=0 或 f(x)﹣a=﹣2, 即 f(x)=a,f(x)=a﹣2, 作出函数 f(x)的图象如图:

x ? 1 ≥1(x≥0), ex 1? x y′= x ,当 x∈(0,1)时,y′>0,函数是增函数,x∈(1,+∞)时,y′<0,函数是减函数, e 1 x=1 时,函数取得最大值: 1 ? , e 1 1 当 1<a﹣2 ? 1 ? 时,即 a∈(3,3+ )时,y=f(f(x)﹣a)﹣1 有 4 个零点, e e 1 1 当 a﹣2=1+ 时,即 a=3+ 时则 y=f(f(x)﹣a)﹣1 有三个零点, e e 1 当 a>3+ 时,y=f(f(x)﹣a)﹣1 有 1 个零点 e 1 当 a=1+ 时,则 y=f(f(x)﹣a)﹣1 有三个零点, e 1 a ? 1? 1 当{ e 时,即 a∈(1+ ,3)时,y=f(f(x)﹣a)﹣1 有三个零点. e a ? 2 ?1
y= 综上 a∈ [1 ? , 3) ? ?3 ? ? ,函数有 3 个零点. 故答案为: [1 ? , 3) ? ?3 ? ? . 点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

1 e

? ?

1? e?

1 e

? ?

1? e?

第 11 页,共 17 页

(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函 数的图象,然后数形结合求解.

三、解答题
18.【答案】 【解析】解: (Ⅰ)事件“第一次或第二次取到 3 号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到 3 号球”, ∴所求概率为 P ? 1 ?
2 2 C4 C4 16 ? ? (6 分) 2 2 C5 C5 25 1 1 2 C32 3 C2 ? C3 C2 3 1 , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? ,(9 分) 2 2 2 C5 10 C5 5 C5 10

(Ⅱ) ? ? 0,1, 2, P(? ? 0) ? 故 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3 10

3 5

1 10
(10 分)

∴ E? ? 0 ?

3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? (12 分) 10 5 10 5

19.【答案】(1) a a ? 1或2 ? a ? 5 ;(2) m ? 1 . 【解析】

?

?

第 12 页,共 17 页

(1)∵“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,∴ p 与只有一个命题是真命题.
?a ? 2 若 p 为真命题,为假命题,则 ? ? a ? 1 .………………………………5 分 ?a ? 1或a ? 5 ?a ? 2 ? 2 ? a ? 5 .……………………………………6 分 若为真命题, p 为假命题,则 ? ?1 ? a ? 5

于是,实数的取值范围为 a a ? 1或2 ? a ? 5 .……………………………………7 分

?

?

第 13 页,共 17 页

考点: 1、不等式;2、函数的极值点;3、命题的真假;4、充要条件. 20.【答案】 【解析】解:∵A={x|0<x﹣m<3},∴A={x|m<x<m+3}, (1)当 A∩B=?时;如图:

则 解得 m=0,



(2)当 A∪B=B 时,则 A?B, 由上图可得,m≥3 或 m+3≤0, 解得 m≥3 或 m≤﹣3. 21.【答案】 【解析】解:(1)取 BC1 的中点 H,连接 HE、HF, 则△BCC1 中,HF∥CC1 且 HF= CC1 又∵平行四边形 AA1C1C 中,AE∥CC1 且 AE=CC1

第 14 页,共 17 页

∴AE∥HF 且 AE=HF,可得四边形 AFHE 为平行四边形, ∴AF∥HE, ∵AF?平面 REC1,HE?平面 REC1 ∴AF∥平面 REC1.… (2)等边△ABC 中,高 AF= = ,所以 EH=AF=

由三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱,得 C1 到平面 AA1B1B 的距离等于 ∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE,∴EC1=EB,得 EH⊥BC1 可得 S△ = BC1?EH= × × = ,

而 S△ABE= AB×BE=2 由等体积法得 VA﹣BEC1=VC1﹣BEC, ∴ S△ 即 × ×d= S△ABE× ×d= ×2× ,(d 为点 A 到平面 BEC1 的距离)

,解之得 d= .…

∴点 A 到平面 BEC1 的距离等于

【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行,并求点到平面的距离.着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定 定理和等体积法求点到平面的距离等知识,属于中档题. 22.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量,突出考查逻辑推 理能力及利用坐标系解决空间角问题,属中等难度.

第 15 页,共 17 页

(3)因为 AB ? 平面 ADF ,所以平面 ADF 的一个法向量 n1 ? (1,0,0) .由 FP ? 且此时 P (0,

1 FD 知 P 为 FD 的三等分点 3

2 2 2 2 , ) .在平面 APC 中, AP ? (0, , ) , AC ? (1,2,0) .所以平面 APC 的一个法向量 3 3 3 3

n2 ? (?2,1,?1) .……………………10 分
所以 | cos ? n1 , n2 ?|?

| n1 ? n2 | | n1 || n2 |

?

6 ,又因为二面角 D ? AP ? C 的大小为锐角,所以该二面角的余弦值为 3

6 .……………………………………………………………………12 分 3
23.【答案】 【解析】解:(1)f(1)=1+k=2; ∴k=1, (2)为增函数; ,定义域为{x∈R|x≠0};

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证明:设 x1>x2>1,则:

= = ∵x1>x2>1; ∴x1﹣x2>0, ∴f(x1)>f(x2); ∴f(x)在(1,+∞)上为增函数. , ; ;

第 17 页,共 17 页



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