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2016年全国硕士研究生入学考试数学一试题打印版


2016 年全国硕士研究生入学考试数学一试题

2016 年全国硕士研究生入学考试数学一试题
一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选 项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 若反常积分 0 (A) a ? 1且b ? 1

?

??

1 dx x a (1 ? x)b 收敛,则
(B) a ? 1且b ? 1 (C) a ? 1且a ? b ? 1 ( D) a ? 1且a ? b? ? 1

(2)已知函数

?2( x ? 1), x?1. f ( x) ? ? 则 f ( x) 的一个原函数是 ?ln x, x ? 1.

?( x ? 1) 2 , x?1. (B) f ( x) ? ? ? x(ln x ? 1) ? 1, x ? 1. ?( x ? 1) 2 , x?1. ?( x ? 1) 2 , x?1. (C) f ( x) ? ? (D) f ( x) ? ? x (ln x ? 1 ) ? 1 , x ? 1 . ? x(ln x ? 1) ? 1, x ? 1. ?
?( x ?1)2 , x?1. (A) f ( x) ? ? ?x(ln x ?1), x ? 1.
(3)若 y ? (1 ? x 则 q( x) ? (A) 3x(1 ? x 2 ) (B) ? 3x(1 ? x 2 ) (C)
2 2

) ? 1? x2



y ? (1 ? x2 )2 ? 1 ? x2 是微分方程 y ? p( x) y ? q( x) 的两个解,
x 1? x2
(D) ?

x 1? x2

(4)已知函数

? x, x ? 0, ? f ( x) ? ? 1 1 1 , ? x ? , n ? 1,2,?, 则 ? n ?n n ?1
(B) x ? 0 是 f ( x) 的第二类间断点 (D) f ( x) 在 x ? 0 处可导

(A) x ? 0 是 f ( x) 的第一类间断点 (C) f ( x) 在 x ? 0 处连续但不可导

(5)设 A,B 是可逆矩阵,且 A 与 B 相似,则下列结论错误的是 (A) A 与 B 相似 (C) A ? A 与 B ? B 相似
T T T T

(B) A 与 B 相似 (D) A ? A 与 B ? B 相似
?1 ?1

?1

?1

(6)设二次型

f ( x1, x2 , x3 ) ? x12 ? x22 ? x32 ? 4x1x2 ? 4x1x3 ? 4x2 x3 ,则 f ( x1, x2 , x3 ) ? 2 在空间直角坐标
(B)双叶双曲面 (C)椭球面 (D)柱面

下表示的二次曲面为 (A)单叶双曲面 (B)

2 2 (7)设随机变量 X~N ,记 p= P X ? u ? ? 则 (A)随着的增加而增加(B)随着的增加而增加(C)随着的增加而减少(D)随着的增加而减少
(8)随机实验 E 有三种两两不相容的结果 A1 , A2 , A3 且三种结果发生的概率均为

(u,? )(? ?0)

?

?

1 ,将实验 E 独立 3

重复做 2 次。X 表示 2 次实验中结果 A1 发生的次数。Y 表示 2 次实验中结果 A2 发生的次数。则 X 与 Y 的相关系数为 (A) (B) (C) (D)
-1-

2016 年全国硕士研究生入学考试数学一试题

二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) lim
x ?0

? t ln(1 ? t sin t )dt ?
0

x

1 ? cos x 2

___________

(10) 向量场 A( x, y, z) ? ( x ? y ? z) (11) 设函数 (12) 设函数

f (u, v) 可微,z ? z( x, y) 由方程 ( x ?1) z ? y 2 ? x2 f ( x ? z, y) 确定, 则 dz ( 0,1) ? ______
x 1 ? ax 2
,且

i ? xyj ? zk 的旋度 rot A ? ________
f '' (0) ? 1,则 a ? ________

f ( x ) ? a r c t ax n?

(13)

? -1 0 0 ? -1 行列式 0 0 ?
4 3 2

0 0 ? _________ -1 ? ?1
2

(14) 设 1 2 3 n 为来自总体 N (u, ? ) 的简单随机样本,样本均值 x ? 9.5 ,参数 u 的置信度为 0.95 的双侧置信区间上限为 10.5,则 u 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为_________ 三、解答题:15~23 小题,共 94 分,请将解答写在答题纸指定位置上,解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 已知平面区域 D ? ?(r ,? ) 2 ? r ? 2(1 ? cos? ),?

x , x , x ?x

? ?

? ?? ? ? ? ? ,计算二重积分 ?? xdxdy。 2 2? D

(16)(本题满分 10 分) 设函数 y ( x) 满足方程 (Ⅰ)证明:反常积分 (Ⅱ)若 y(o) ? 1 ,

y'' ? y' ? ky ? 0 。其中 0 ? k ? 1 。

?

??

0

y ( x)dx 收敛。

y ' (o) ? 1 ,求 ?0?? y( x)dx 的值。

(17)(本题满分 10 分)

?f ( x, y ) ? (2 x ? 1)e 2 x ? y 。且 f (0, y) ? y ? 1。 lt 是从点 (0,0) 到点 (1, t ) 的 ?x ?f ( x, y) ?f ( x, y) dx ? dy ,并求 I (t ) 的最小值。 光滑曲线,计算曲线积分 I (t ) ? ? l ?x ?y
设函数 f ( x, y ) 满足 (18)(本题满分 10 分) 设有界区域 ? 由平面 2 x ? y ? 2 z ? 2 与三个坐标平面围成, ? 为 ? 整个表面的外侧,计算曲

面积分 I

? ?? ( x2 ? 1)dydz? 2 ydzdx? 3zdxdy。
?

-2-

2016 年全国硕士研究生入学考试数学一试题

(19)(本题满分 10 分)
' 已知函数 f ( x) 可导。 且 f (0) ? 1,0 ? f ( x) ?

1 。 设数列 ?xn ? 满足 xx?1 ? f ( xn )(n ? 1,2?) 证明: 2

(Ⅰ)级数

? (x
n ?1

?

n ?1

? xn ) 绝对收敛。
n ??

(Ⅱ) lim
n ??

xn 存在,且 0 ? lim xn ? 2 .

(20) (本题满分 11 分)

2 ? ? 1 ? 1 ? 1? ? 2 ? ? ? ? A ? 2 a 1 , B ? 1 a ? ? ? ? 设矩阵 ? ?1 1 a ? ? ? a ?1 ? 2 ? ? ? ? ?
当 a 为何值时,方程 AX ? B 无解,有唯一解,有无穷多解?在有解时,求此方程。 (21) (本题满分 11 分)

?0 ? A ? ?2 已知矩阵 ?0 ?
(Ⅰ)求

?1 ?3 0

1? ? 0? 0? ?
2

A 99 。

(Ⅱ)设 3 阶矩阵 B ? (a1 , a2 , a3 ) 满足 B

100 ? BA ,记 B ? (?1, ?2 , ?3 ) 。将 ?1, ?2 , ?3 分别表示为

a1, a2 , a3 的线性组合。
(22) (本题满分 11 分) 设二维随机变量

( X , Y ) 在 区 域 D ? ( x, y) 0 ? x ? 1.x ? y ? x
2

?

?

上服从均匀分布,令

?1, X ? Y . U ?? ?0, X ? Y .
(Ⅰ)写出 ( X , Y ) 的概率密度。 (Ⅱ)问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由: (ⅠⅠⅠ)求 Z ? U ? X 的分布函数 (23) (本题满分 11 分)

F ( z)

设总体 X 的概率密度为

? 3x 2 ,0 ? x ? ? . ? f ( x,0) ? ? ? 3 , 其 中 ? ? (0,??) 为 未 知 参 数 , ?0, 其它. ?

X 1 , X 2 , X 3 为来自总体 X 的简单随机样本,令 T ? m a xX (1 , X 2 , X 3 ) (Ⅰ)求 T 的概率密度。 (Ⅱ)确定 a ,使得 aT 为 ? 的无偏估计。

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