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2.3等差数列的前n项和公式(2)


2.3 等差数列的前 n 项和公式(2) 课前预习 学前温习 1.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{ an }的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 或 Sn= .

2.等差数列的前 n 项和公式与二次函数的关系 新课感知 1.在等差数列{ an }中,若 a1 >0,d<0,则 Sn 是否存在最大值?若存在,如何求? 2. 已知 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项和,求证: S 6 , S12 ? S 6 , S18 ? S12 也成等差数列。 由此推广,你能得到什么结论? 课堂学习 知识精讲 1.等差数列的前 n 项和有如下的性质. (1)若{an}为等差数列,前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也为等差数列.
?Sn? ? (2)等差数列{an}中,数列? ? n ?仍为等差数列.

(3)等差数列{an}中,若 Sm=Sp(m≠p),则 Sm+p=0. (4)在等差数列{an}中, ①若项数为偶数 2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1 为中间两项);S 偶-S 奇=nd; S奇 an S偶=an+1. S奇 n ②若项数为奇数 2n-1,则 S2n-1=(2n-1)an;S 奇-S 偶=an;S偶=n-1. an S 2 n ? 1 (5)若数列{ an }与{bn}均为等差数列,且前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,则bn= .

T2 n ?1

2.求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方法: (1)利用二次函数的最值特征求解. Sn=n a1 + - 2 d? d ? a - d=2n2+? 1 2? ? ?n

d? ?1 a1?? d?1 a1? ? ??2 ? ?2 =2? ?n-?2- d ?? -2?2- d ? .
1

1 a1 由二次函数的对称性及 n∈N*知, 当 n 取最接近2- d 的正整数时, Sn 取到最大值(或最小值), 1 a1 值得注意的是最接近2- d 的正整数有时有 1 个,有时有 2 个. (2)根据项的正负来定. 若 a1 >0,d<0,则数列前 n 项和有最大值,可由 an ≥0,且 an?1 ≤0,求得 n 的值 若 a1 <0,d>0,则数列前 n 项和有最小值,可由 an ≤0,且 an?1 ≥0,求得 n 的值 课堂点拨 1、在等差数列{ an }中,

a1 ? 25 , s17

? s9 ,求 sn

的最大值.

2、已知数列{ an }为等差数列,其前 12 项和 354,在前 12 项中,偶数项之和与奇数项 之和的比为 32∶27,求这个数列的通项公式. Sn 2n an 3、两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若Tn=3n+1,求bn. 当堂达标 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9

2、设 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,若 a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a97 ? 50 , 则 a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 的值为 A. 78 B. 82 C. 148 D. ( 182 )

3. 设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 (A)

S3 1 S ? ,则 6 ? ( S6 3 S12
(D)

)

3 10

(B)

1 3

(C) 8

1 9

4. 已知数列 {an } 、{bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 ,

a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ),则数列 {cn } 的前 10 项和等于(
A.55 B.70 C.85 D.100



S10 S8 5.等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,a1=-11,10- 8 =2,则 S11=( ) A.-11 B. 11

2

C.10

D。-10 。

6. 等差数列 ?an ? 中, S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 ?

7.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 8、.已知等差数列{ an }中, a1 =-3,11 a5 =5 a8 -13, (1)求公差 d 的值; (2)求数列{ an }的前 n 项和 Sn 的最小值. 升

1 9.等差数列{an}的奇数项的和为 51,偶数项的和为 422,首项为 1,项数为奇数,求此数列 的末项及通项公式.

10. 一个等差数列的前 10 项之和为 100,前 100 项之和为 10,求前 110 项之和.

学后复习 1. 设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则 S6 等于( ) A.12 B.18 C.24 D.42

An 7n+45 an 3. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且Bn= n+3 ,则使得bn为整数 的正整数 n 的个数是( A.2 B.3 ) C.4 D.5 )

4.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 9 , a4 ? a5 ? a6 ? 27 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A. 36 B. 45 C. 63 D. 81

3

5. 设 Sn 是等差数列{an} (n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5=________ 6.已知{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ 前 n 项和,求 Tn.
Sn } n

7. 设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值

8.在项数为 2n 的等差数列中,各奇数项之和为 75,各偶数项之和为 90,末项与首项之差为 27,则 n 之值是多少?

9.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ;(Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

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