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高中数学:3.1.1《变化率与导数-变化率问题》课件(新人教A版选修1-1)1


牛顿

莱布尼兹

问题一:工资增长率

下面是一家公司的工资发放情况:
其中,工资的年薪s(单位:10元)与时间

t(单位:年)成函数关系。
用y表示每年的平均工资增长率. 试分析公司的效益发展趋势?

公司的工资发放情况 1 2 3 4 5 年份 年 薪 2000 2100 2300 2600 3000 第1年到第2年的平均工资增长率
s(2) ? s(1) y1 ? ? 100 2 ?1

第2年到第3年的平均工资增长率
s(3) ? s(2) y2 ? ? 200 3? 2

问题二:气球膨胀率

观看

动画

0.62dm

第 一 次
0.16dm

观察小新接连两次 吹气球时, 气球的膨胀程度。

第 二 次

气球的体积V(单位:L)与半径r(单

位:dm)之间的函数关系是:
4 3 V (r ) ? ?r 3

用V 表示r得:
r (V ) ?
3

3V 4?

★当V从0增加到1L时,

气球的半径增加了

r (V ) ?

3

3V 4?

r(1)-r(0)≈0.62(dm)
r (1) ? r (0) 气球的平均膨胀率为 ? 0.62(dm) 1? 0

★当V从1增加到2L时,气球的半径增加了

r(2)-r(1)≈0.16(dm)
r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 2 ?1

3V r (V ) ? 3 4?

可以看出,随着气球的体积逐渐变大,
气球的平均膨胀率逐渐变小了。

思考
当气球的空气容量从V1增加到V2时,

气球的平均膨胀率是多少?

平均变化率的定义 如果上述三个问题中的函数关系用f(x)

表示,那么问题中的变化率可用式子
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

上式称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。

习惯上记: △x=x2-x1 △f=f(x2)-f(x1) 则平均变化率可表示为

f ( x2 ) ? f ( x x2 ? x1

另一种形式 则平均变化率为

x2=x1 +△x
f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?x

思考?
?

观察函数f(x)的图象
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1) f(x1) A x O x1 x2

f(x2 ) ? f ( x1 ) 平均变化率 y x2 ? x1 f(x )
2

B

表示什么?
直线AB的斜 率

练习1、求函数y=5x2+6在区间[2,2+△x]

内的平均变化率。
△ y=[5(2+ △x)2+6]-(5×22+6) =20△x+5△x2
?y ?20?5?x 所 ?x

以 平



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