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第二章 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 课时活页训练


1.若动点 P 到 F1(-5,0)与到 F2(5,0)的距离的差为± 8,则 P 点的 轨迹方程是( ) 2 2 x y x2 y2 A.25+16=1 B.25-16=1 x2 y 2 x2 y2 C.16+ 9 =1 D.16- 9 =1 解析:选 D.由题意知 P 点的轨迹是双曲线. 因为 c=5,a=4,所以 b2=c2-a2=25-16=9. 因为双曲线的焦点在 x 轴上, x2 y2 所以 P 点的轨迹方程为16- 9 =1. 2.已知两定点 F1(-5,0),F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a, 则当 a=3 和 a=5 时,P 点的轨迹为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线 解析:选 C.由题意,|F1F2|=10,当 a=3 时,|PF1|-|PF2|=2a=6 <10,此式中没有加绝对值,此时点 P 的轨迹是双曲线的一支;当 a =5 时,|PF1|-|PF2|=10=|F1F2|,点 P 的轨迹为以 F2 为端点,沿 x 轴 向右的一条射线. 3 3.已知椭圆 C1 的离心率为5,焦点在 x 轴上且长轴长为 10,若 曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的差的绝对值等于 4,则曲线 C2 的标准方程为( ) 2 2 x y x2 y2 A. 4 - 5 =1 B. 5 - 4 =1 x2 y2 x2 y2 C.52-42=1 D.42-52=1 解析:选 A.由题意知椭圆 C1 的两个焦点为(-3,0),(3,0).设曲线

x2 y2 C2 的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0),则有 a2+b2=9,且 2a=4.∴a2 =4,b2=5,故选 A. x2 y2 4.若双曲线16- 9 =1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 15,则点 P 到 点(-5,0)的距离是( ) A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23 解析:选 D.设 F1(-5,0),F2(5,0),若 P 在左支上,则|PF2|-|PF1| =2a=8,所以|PF1|=|PF2|-8=15-8=7;若 P 在右支上,则|PF1|- |PF2|=2a=8,所以|PF1|=|PF2|+8=15+8=23.故点 P 到点(-5,0)的 距离是 7 或 23. a2 25 5.已知双曲线的焦距为 26, c = 13 ,则双曲线的标准方程是 ________. 解析:∵2c=26,∴c=13, ∴a2=25. ∴b2=144. x2 y2 y2 x2 即双曲线的标准方程为25-144=1 或25-144=1. x 2 y2 y2 x2 答案:25-144=1 或25-144=1 6. “ab<0”是“方程 ax2+by2=c 表示双曲线”的________条件. 解析:若 ab<0,c=0,则方程不表示双曲线. 答案:必要不充分 x2 y2 7.已知方程 + =1 表示的图形是:(1)双曲线;(2)椭圆; 2-k k-1 (3)圆.试分别求出 k 的取值范围. 解:(1)方程表示双曲线需满足(2-k)(k-1)<0, 解得 k>2 或 k<1. 即 k 的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞).

?2-k>0, ? (2)方程表示椭圆需满足?k-1>0, ?2-k≠k-1. ?
3 解得 1<k<2 且 k≠2. 3 3 即 k 的取值范围是(1,2)∪(2,2).

3 (3)方程表示圆需有 2-k=k-1>0,即 k=2. x2 y 2 8.设双曲线与椭圆27+36=1 有共同的焦点,且与椭圆相交,在 第一象限的交点 A 的纵坐标为 4,求此双曲线的方程. x2 y2 解:法一:由椭圆方程27+36=1, 得椭圆的两个焦点为 F1(0,-3),F2(0,3). 因为椭圆与双曲线在第一象限的交点 A 的纵坐标为 4, 所以这个交点为 A( 15,4). y2 x2 设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),

?42-( 15) =1, b2 由题意得?a ?a2+b2=32.
2 2

? 2 ?a =4. 解得? 2 ? ?b =5.

y2 x 2 故所求双曲线方程为 4 - 5 =1. 法二:由椭圆方程,得 F1(0,-3),F2(0,3),A( 15,4). ∴2a=||AF1|-|AF2|| = ( 15)2+(4+3)2- ( 15)2+(4-3)2=4. ∴a=2,b2=c2-a2=5. y2 x 2 故所求双曲线方程为 4 - 5 =1.

x2 x2 2 椭圆m2+y =1(m>1)与双曲线n2-y2=1(n>0)有公共焦点 F1, F2,P 是它们的一个交点,求△F1PF2 的面积. 解:根据椭圆与双曲线焦点都在 x 轴上,不妨设 P 在第一象限, F1 是左焦点,F2 是右焦点,则由椭圆与双曲线的定义有 ?|PF1|+|PF2|=2m, ?
? ?|PF1|-|PF2|=2n, ?

可解得|PF1|=m+n,|PF2|=m-n,

即|PF1|2+|PF2|2=2(m2+n2). 又∵两者有公共焦点,设半焦距为 c. 则 m2-1=c2,n2+1=c2,∴m2+n2=2c2. ∴|F1F2|2=4c2=2(m2+n2), ∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴∠F1PF2=90° . 2 2 2 2 2 又∵m -1=n +1=c ,∴m -n =2. 1 ∴S△F1PF2=2|PF1||PF2| 1 =8[(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2] 1 =2(m2-n2)=1. ∴△F1PF2 的面积为 1.


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