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高中数学选修教材归纳推理教学设计


《归纳推理》教学设计 四川省万源市第三中学校 黄少林
一、教学内容分析 《归纳推理》是人教 A 选修 2-2 第二章第一节内容。推理与证明思想贯穿于高中数学的 整个知识体系。 本节内容将归纳推理的一般方法进行了必要的总结和归纳, 同时也对后继知 识的学习起到引领的作用。 二、学生学习情况分析 授课对象是高二 2 班的学生。学生思维较活跃,具有一定的归纳推理能力。并且学生从 小学起接触过很多运用归纳推理进行探索的实例, 所以对本节课的教学内容来说并不缺乏认 知基础。 三、设计思想 以启发学生主动学习,积极探求为主,创设一个以学生为主体,师生互动,共同探索的 教与学的情境。让学生带着问题通过自主学习、课堂讨论、相互合作等方式,使学生在解决 问题的过程中不知不觉实现知识的传递、迁移和融合。 四、教学目标 知识技能目标:理解归纳推理的概念,掌握归纳推理的一般步骤,会进行一些简单的归纳推 理。 过程方法目标:学生通过积极主动地参与课堂活动,经历归纳推理概念的获得过程,从理性 上认识归纳推理。 情感态度目标:学生通过主动探究、合作学习、相互交流,培养不怕困难、勇于探索的优良 作风。 五、教学重点和难点 教学重点:引导学生“从理性上认识归纳推理” 教学难点:归纳推理概念的形成过程 六、教学过程设计 1、听故事,引课题 从前有一位富翁想吃苹果,打发他的仆人到果园去买,并告诉他:"要甜的,好吃的,你才 买。 "仆人到了果园,园主说:"我这里树上的苹果个个都是甜的,你尝一个看。 "仆人说:"我尝 一个怎能知道全体呢 我应当个个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠。 "于是仆人自己动手摘 苹果,摘一个尝一口,甜的就都买回去. 想一想:故事中仆人的做法实际吗?换作你,你会怎么做? 设计意图:首先,听比让学生自己看更能让学生专注。其次,通过这则故事自然合理地过度 到这节课的主题“推理” ,让学生体会“数学来源于生活” ,创造和谐积极的学习气氛。 2、知识构建 问题 1:什么叫推理? 学生思考片刻后由教师从这个推理案例说明推理的含义: 根据一个或几个已知的判断来 确定一个新的判断的思维过程就叫推理. 今天我们就来研究推理的一种常用方法,这就是归纳推理。
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问题 2:那么怎样的推理是归纳推理呢?先看下面的几个推理案例:

案例 1:猪是用肺呼吸的; 狗是用肺呼吸的; 牛是用肺呼吸的; 羊是用肺呼吸的; 猪、狗、牛、羊都是爬行动物。 猜想: 所有的爬行动物都是用肺呼吸的

案例 2:三角形的内角和是 180 ; 凸四边形的内角和是 2×180 ; 凸五边形的内角和是 3×180 ; 凸六边形的内角和是 4×180 ; 三角形、凸四边形、凸五边形都是凸多边形 猜想:凸 n 边形的内角和是(n-2)×180
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o

案例 3: 铜能导电; 铝能导电; 金能导电; 银能导电; 铜、铝、金、银都是金属。 猜想:金属都能导电

案例 4:当 n=1 时,n -n+11=11,是质数; 当 n=2 时,n -n+11=13,是质数; 当 n=3 时,n -n+11=17,是质数; 当 n=4 时,n -n+11=23,是质数; 1,2,3,4 都是正整数 猜想:当 n 取任意正整数时,n -n+11 是质数
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师生一起将上述推理进行“符号化” ,即将具体的、不同的对象进行抽象、概括,统一 用字母表示:如将猪、三角形、n=1 均用 S1 表示,狗、凸四边形、n=2 均用 S2 表示,牛、凸 五边形、n=3 均用 S3 表示,??;爬行动物、凸多边形、正整数均称为 S 类事物,从而 S1、 S2、S3 均为 S 类事物中的对象;将“用肺呼吸” 、 “内角和为边数-2 个 180 ” 、 “n -n+11 是质 数”均称为性质 P,于是就得到了归纳推理的一般结构形式 前提 S1 具有(或不具有)性质 P S2 具有(或不具有)性质 P S3 具有(或不具有)性质 P ???????????? Sn 具有(或不具有)性质 P 结论
o 2

S1、S2、??、Sn 都是 S 类事物的对象

S 类事物都具有(或 不具有)性质 P

由某类事物的部分对象具有某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳) 。 设计意图:给出四个例子让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比做出合理分类,并抽象 概括出归纳推理的概念,完成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃。帮助学生构
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建和完善自己的认知结构进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。 3、初步运用(分组讨论) (1) .正项数列{an}满足 a1=1,an+1 =an +1(n 为正整数),试归纳出数列{an}的通项公式。 (2) .已知下列不等式: 2 2+1 2 2+2 2 2+3 < , < , < ,?试归纳出一般性的结论。 3 3+1 3 3+2 3 3+3 设计意图:分组讨论降低了概念学习的难度,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究。 给学生创建一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境。感受数学美和发现规律的喜悦, 激发学生更积极地去寻找规律、认识规律。 对上述问题,让学生充分思考,并引导其对猜想的结论进行检验,看是否符合归纳推理 的形式。检验方法就是将一般性结论特殊化后可以得到已知的各个特例。在此基础上提出 问题 3:上述的归纳推理是怎样进行的呢(即:如何进行归纳推理)?
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实验、 观察
4、进一步的认识

概括、 推广

猜测一般性结 论

问题 4:猜测的一般结论是否成立呢?即归纳推理的可靠性如何? 让学生充分思考, 既可以从归纳推理的前提与结论之间的关系分析, 也可以从思维过程 中的语句的含义上看,如果学生不能发现,还可以引导学生对案例 4 进行考察。这种考察可 以使学生知道:否定一个猜想只要举一个反例就可以了。 当 n=1 时,n -n+11=11,是质数;当 n=2 时,n -n+11=13,是质数; 当 n=3 时,n -n+11=17,是质数; 当 n=4 时,n -n+11=23,是质数; 当 n=5 时,n -n+11=31,是质数;当 n=6 时,n -n+11=41,是质数; 当 n=7 时,n -n+11=53,是质数; 当 n=8 时,n -n+11=67,是质数; 当 n=9 时,n -n+11=83,是质数; 当 n=10 时,n -n+11=101,是质数; 当 n=11 时,n -n+11=121,不是质数; 设计意图:激发学生的好奇心与求知欲,同时,通过“猜想——验证——再猜想”说明科学 的进步与发展处在一个螺旋上升的过程。 至此,下一个问题就可以自然地提出来了: 问题 5:归纳推理所得到的结论并不可靠,为什么还要学习归纳推理呢? 案例 5:哥德巴德赫猜想:任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数的和 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7=5+5, 12=5+7
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14=3+11=7+7, 16=3+13, 18=5+13=7+11,20=3+17=7+13
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由案例 5 说明:归纳推理是一种具有创造性的推理。象“瑞雪兆丰年”等农谚,就是人 们根据长期的实践经验进行归纳的结果, 而物理学中的波义耳—马略特定律、 化学中的门捷 列夫元素周期表、天文学中的开普勒行星运动定律等,也都是在实验和观察的基础上,通过 归纳发现的。 设计意图:通过欣赏一些伟大猜想产生的过程,体会归纳推理的一般步骤,进一步感受归纳 推理的作用。带领学生走进归纳推理的领域。学生主动探究、自我发现,培养勇于探索的优 良作风。 5、课堂小结 归纳推理的概念; 归纳推理思维过程; 归纳推理三个特点: 设计意图:让学生自己小结,这是一个多维整合的过程,是一个高层次的自我认识过程。 6、课后作业(利用网络资源,阅读了解) 1. 马定理 2.陈氏定律 3.四色定律 4.费马素数费 设计意图:提高学生数学思维的情趣,了解数学文化,对数学充满信心的积极态度,培养爱 国精神。 七、板书设计 归纳推理 归纳推理概念 初步应用 案例 2 案例 4

案例 1

案例 3

哥德巴德赫猜想

八、教学反思 整个教学过程,以问题为教学出发点, 激发学生的学习动机,激励学生去解决问题。顺 应合理的逻辑结构和认知结构,符合学生的认知规律和心理特点。重视思维训练,发挥学生 的主体作用。在教学过程中,要特别注重以下几个方面: (1)突出概念形成过程的教学,让学生真正参与知识的建构。 (2)突出学生主体原则,给学生以更多的创造空间,注重学生参与知识的形成过程,动手、 动口、动脑相结合,使他们“听”有所思, “学”有所获,增强学习数学的信心,体验学习 数学的乐趣。

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