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2014-2015学年吉林省长春市东北师大附中高一(下)期中数学试卷(理科)


2014-2015 学年吉林省长春市东北师大附中高一(下)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)在等差数列{an}中,a3=2,则{an}的前 5 项和为( A. 6 B. 10 C. 16 D. 32 考点: 专题: 分析: 解答: S5= 等差数列的性质;数列的求和. 等差数列与等比数列. 直接利用等差数列求和公式求解即可. 解:等差数列{an}中,a3=2, =5a3=10. )

故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质,数列求和,考查计算能力. 2. (5 分)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,则公比 q=( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 )

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重 考查了转化与化归的数学思想.我们根据 3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,结合 an=Sn﹣Sn﹣1,我们易 得 a3 与 a4 的关系,进而求出公比 q. 解答: 解:∵3S3=a4﹣2,① 3S2=a3﹣2,② ①﹣②得, 3a3=a4﹣a3, 即 a4=4a3, ∴q= =4.

故选 B 点评: 如果题目中已经告知:{an}为等比数列(如本题) ,我们只要求出数列的连续两项,然 后根据公比的定义代入计算,即可求解. 3. (5 分) 已知某等差数列共有 10 项, 其奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差为 ( A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 )

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 写出数列的第一、三、五、七、九项的和即 5a1+(2d+4d+6d+8d) ,写出数列的第二、 四、六、八、十项的和即 5a1+(d+3d+5d+7d+9d) ,都用首项和公差表示,两式相减,得到结 果.

解答: 解:



故选 C. 点评: 等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解,让每一个偶数项减去前一奇数 项,有几对得到几个公差,让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数. 4. (5 分)在等比数列{an}中 Tn 表示前 n 项的积,若 T5=1,则一定有( A. a1=1 B. a3=1 C. a4=1 D. a5=1 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由题意知 T5=(a1q ) =1,由此可知 a1q =1,所以一定有 a3=1. 2 3 4 2 5 解答: 解:T5=a1?a1q?a1q ?a1q ?a1q =(a1q ) =1, 2 ∴a1q =1, ∴a3=1. 故选 B. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
2 5 2



5. (5 分) (2009?淄博一模) 在三角形 ABC 中, A=120°, AB=5, BC=7, 则 A. B. C. D.

的值为 (



考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 方程思想. 分析: 首先利用余弦定理列出关于 AC 的方程,从而解出 AC 的值,然后利用正弦定理的变 形 sinB:sinC=b:c 求解. 2 2 2 解答: 解:在三角形 ABC 中,由余弦定理得 BC =AB +AC ﹣2AB?AC?cosA, ∵A=120°,AB=5,BC=7, ∴49=25+AC ﹣10×AC×cos120°, 2 即 AC +5AC﹣24=0, 解得 AC=3 或 AC=﹣8(舍去) , 由正弦定理可得 = = ,
2

故选 D. 点评: 本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,熟练掌握公式是解题的关键. 6. (5 分) (2014 春?鞍山期末) 已知锐角三角形的边长分别为 2, 4, x, 则 x 的取值范围是 ( A. B. C. D. )

考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值.

分析: 分两种情况来做,当 x 为最大边时,只要保证 x 所对的角的余弦值大于零即可;当 x 不是最大边时,则 4 为最大边,同理只要保证 4 所对的角的余弦值大于零即可. 解答: 解:设锐角三角形的边 x 对应的角为 θ, 当 x 为最大边时,由余弦定理可得应有 cosθ= >0,解得 x<2 ,

当 x 不是最大边时,则 4 为最大边,设 4 所对的角 α,由余弦定理可知应有 cosα= >0,解得 x>2 , 综上可得 x 的取值范围是 2 <x<2 , 故选:D. 点评: 此题考查了余弦定理,利用了分类讨论的思想,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 7. (5 分) (2010?湖北)在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( A. ﹣ B. C. ﹣ D. )

考点: 正弦定理. 分析: 根据正弦定理先求出 sinB 的值,再由三角形的边角关系确定∠B 的范围,进而利用 sin B+cos B=1 求解. 解答: 解:根据正弦定理 , 解得 , 可得,
2 2

又∵b<a, ∴B<A,故 B 为锐角, ∴ ,

故选 D. 点评: 正弦定理可把边的关系转化为角的关系,进一步可以利用三角函数的变换,注意利用 三角形的边角关系确定所求角的范围. 8. (5 分) (2013 秋?丰城市校级期末)下列判断中正确的是( A. △ ABC 中,a=7,b=14,A=30°有两解 B. △ ABC 中,a=30,b=25,A=150°有一解 C. △ ABC 中,a=6,b=9,A=45°有两解 D. △ ABC 中,b=9,c=10,B=60°无解 考点: 解三角形. 专题: 计算题;解三角形. )

分析: 由正弦定理加以计算,可得 A 中的三角形为直角三角形,B、C 中的三角形都为钝角 三角形,有唯一解;而 D 中的三角形满足 sinC= <1,三角形可能是锐角或钝角三角形,

有两个解.由此可得本题的答案. 解答: 解:对于 A,若△ ABC 中,a=7,b=14,A=30°, 则 sinB= = =1,可得 B=90°,因此三角形有一解,得 A 不正确;

对于 B,若△ ABC 中,a=30,b=25,A=150°, 则 sinB= = = ,而 B 为锐角,可得角 B 只有一个解,

因此三角形只有一解,得 B 正确; 对于 C,若△ ABC 中,a=6,b=9,A=45°,则 sinB= 当 B 为锐角时满足 sinB= 的角 B 要小于 45°, = = ,

∴由 a<b 得 A<B,可得 B 为钝角,三角形只有一解,故 C 不正确; 对于 D,若△ ABC 中,b=9,c=10,B=60°, 则 sinC= = = <1, 满足条件,可得三角形有两解,故 D 不正确.

因此存在角 C=arcsin

或 π﹣arcsin

故选:B 点评: 本题给出三角形的两边和其中一边的对角,求三角形的解的个数.着重考查利用正弦 定理解三角形、三角形大边对大角等知识,属于中档题. 9. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)在△ ABC 中,B=30°,c= ( ) A. B. C. 或 D. 或 ,b=1,则△ ABC 的面积是

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由余弦定理列出关系式,将 cosB,b 及 c 的值代入求出 a 的值,再由 a,c,sinB 的值, 利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解:∵在△ ABC 中,B=30°,c= ,b=1, 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 1=a +3﹣3a, 解得:a=1 或 a=2, 当 a=1 时,S△ ABC= acsinB= ;当 a=2 时,S△ ABC= acsinB= .

故选 D 点评: 此题考查了正弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

10. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)三角形 ABC 中,BC=2,B= 则 tanC 为( A. ) B. 1 C. D.

,若三角形的面积为



考点: 正弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先利用三角形面积公式求得 c,进而利用余弦定理求得 cosC 的值,进而求得 C 的值, 从而求得 tanC 的值. 解答: 解: 由于三角形 ABC 中, 三角形的面积为 再由余弦定理可得 b =a +c ﹣2ac?cosB=4+1﹣4× =
2 2 2

= ,

=

, 解得 c=1.

∴cosC=

=

,∴C=

,∴tanC=



故选 C. 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题. 11. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)在△ ABC 中,如果 sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=2,则△ ABC 是( A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 分析:先通过合并同类项和辅角公式求得 sin(A+ )=sin(B+ )=1,确定角 A、



B 的值,从而确定三角形的形状. 解答: 解: :∵sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB =sinA(sinB+cosB)+cosA(sinB+cosB)=(sinB+cosB) (sinA+cosA) = sin(A+ ) ,C= sin(B+ , )=2sin(A+ )sin(B+ )=2,

∴,∴A=B=

∴△ABC 是等腰直角三角形, 故答案为:等腰直角三角形. 点评: 本题主要考查通过确定角的值判断三角形的形状,属于中档题. 12. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)△ ABC 中,若 a +b +c =2c (a +b ) ,则角 C 的度数是 ( ) A. 60° B. 45°或 135° C. 120° D. 30°
4 4 4 2 2 2

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 把已知等式 a +b +c =2c (a +b ) , 通过完全平方式、 拆分项转化为 (a +b ﹣c + 2 2 2 (a +b ﹣c ﹣ ab)=0.分两种情况,根据余弦定理即可求得 C 的度数. 4 4 4 2 2 2 解答: 解:∵a +b +c =2c (a +b ) , 2 2 2 2 2 2 4 2 2 ∴(a +b ) ﹣2c (a +b )+c ﹣2a b =0, 2 2 2 2 2 2 ∴(a +b ﹣c ) ﹣2a b =0, 2 2 2 2 2 2 ∴(a +b ﹣c + ab) (a +b ﹣c ﹣ ab)=0 2 2 2 2 2 2 ∴a +b ﹣c + ab=0 或 a +b ﹣c ﹣ ab=0 ∵cosC= ∴cosC=﹣ 或 , ,
4 4 4 2 2 2 2 2 2

ab)

∵0°<C<180°, ∴C=45°或 135°. 故选 B. 点评: 本题考查了余弦定理,以及因式分解的应用,解决本题的关键是将原式转化为(a +b 2 2 2 2 ﹣c + ab) (a +b ﹣c ﹣ ab)=0.
2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一 项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数 列{an}是等和数列,且 a1=﹣1,公和为 1,那么这个数列的前 2011 项和 S2011= 1004 . 考点: 数列的求和. 专题: 计算题;新定义;等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 an= ;从而求前 n 项和即可.

解答: 解:∵数列{an}是等和数列,且 a1=﹣1,公和为 1, ∴an= ;

∴S2011=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2009+a2010)+a2011 =1005×1+(﹣1) =1004. 故答案为:1004. 点评: 本题考查了学生对新定义的接受能力与应用能力,属于基础题. 14. (5 分) (2010 春?如皋市期末)在△ ABC 中,已知 A=60°,AB=5,BC=7,则△ ABC 的面 积为 10 . 考点: 解三角形.

专题: 计算题;解三角形. 分析: 作 AC 边上的高 BD,根据直角三角函数求出高,然后求出 AD,CD,运用三角形面 积公式求解. 解答: 解:作 AC 边上的高 BD,因为在△ ABC 中,已知 A=60°,AB=5,BC=7, 所以 BD= 所以 AC=8, △ ABC 的面积= AB?AC?sin60°= ×5×8× 故答案为:10 . =10 . ,AD= ;CD= = ,

点评: 考查了解三角形,三角形面积的计算,也可以利用正弦定理解答. 15. (5 分) (2015 春?吉林校级期中)一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的 南偏西 75°距塔 64 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行 速度为 8 海里/小时. 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 根据题意可求得∠MPN 和,∠PNM 进而利用正弦定理求得 MN 的值,进而求得船航 行的时间,最后利用里程除以时间即可求得问题的答案. 解答: 解:如图所示,∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°. 在△ PMN 中, ∴MN= ∴v= =8 =32 = , ,

(海里/小时) . .

故答案为:8

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.解答关键是利用正弦定理建立边角关系,考查 了学生分析问题和解决问题的能力. 16. (5 分) (2008?浙江)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C、若( cosA=acosC,则 cosA= . b﹣c)

考点: 正弦定理的应用;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系,再运用两角和与差的正弦公式 化简可得到 sinBcosA=sinB,进而可求得 cosA 的值. 解答: 解:由正弦定理,知 由( b﹣c)cosA=acosC 可得 ( sinB﹣sinC)cosA=sinAcosC, ∴ sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA =sin(A+C)=sinB, ∴cosA= 故答案为: 点评: 本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用.考查对三角函数公式的记忆 能力和综合运用能力. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分) (2010?哈尔滨模拟)如图,H、G、B 三点在同一条直线上,在 H、G 两点用测 角仪器测得 A 的仰角分别为 α、β,CD=α,测角仪器的高是 h,用 a、h、α、β 表示建筑物高 度 AB. .

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 根据题意可知∠DAC=α﹣β,进而利用正弦定理求得 AC,进而求得 AE,最后根据 AB=AE+EB 求得答案. 解答: 解:在△ ACD 中,∠DAC=α﹣β, 由正弦定理 ∴ ∴AB=AE+EB=ACsinα+h= 点评: 本题主要考查了解三角形中的实际应用.解题的关键是利用正弦定理,完成了边角问 题的互化. 18. (12 分) (2011?金东区校级模拟)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,a=2bsinA

(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 ,c=5,求 b. 考点: 正弦定理的应用;余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析:(1) 根据正弦定理将边的关系化为角的关系, 然后即可求出角 B 的正弦值, 再由△ ABC 为锐角三角形可得答案. (2)根据(1)中所求角 B 的值,和余弦定理直接可求 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由 a=2bsinA, 根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA,所以 由△ ABC 为锐角三角形得
2 2




2

(Ⅱ)根据余弦定理,得 b =a +c ﹣2accosB=27+25﹣45=7. 所以, . 点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.在解三角形中正余弦定理应用的很广泛, 一定要熟练掌握公式.

19. (12 分) (2015 春?吉林校级期中)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 S3, S4 的等 比中项为 S5; S3, S4 的等差中项为 1,求数列{an}的通项公式.

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设等差数列{an}的首项 a1=a,公差为 d,则 Sn=na+ d,再由等比数列和等

差数列的中项的性质,列方程,解方程可得 a,d,再由等差数列的通项公式即可得到. 解答: 解:设等差数列{an}的首项 a1=a,公差为 d, 则 Sn=na+ d,依题意,有

,即为



∴a=1,d=0 或 a=4,d=﹣ ∴an=1 或 an= ﹣ n, ﹣



经检验,an=1 和 an=

n 均合题意. ﹣ n.

∴所求等差数列的通项公式为 an=1 或 an=

点评: 本题考查等差数列和等比数列的性质,同时考查等差数列的通项和求和公式的运用, 属于中档题. 20. (12 分) (2010?淄博一模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan﹣2n(n﹣1) . (Ⅰ)求数列数列{an}的通项公式 an, (Ⅱ)设数列 的前 n 项和为 Tn,求证 .

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)由 Sn=nan﹣2n(n﹣1)结合通项和前 n 项和的关系,转化为 an+1﹣an=4(n≥2) 再由等差数列的定义求解,要注意分类讨论. (II)利用裂项求和法求出 增, 则 ,从而证得结论. = ,又易知 Tn 单调递

解答: 解: (I)由 Sn=nan﹣2n(n﹣1) 得 an+1=Sn+1﹣Sn=(n+1)an+1﹣nan﹣4n 即 an+1﹣an=4…(4 分)∴数列{an}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列∴an=4n﹣3.…(6 分) (II) = = 又易知 Tn 单调递增, 故 得 , .…(12 分) = …(10 分)

点评: 本题主要考查数列的转化与通项公式和求和方法,这里涉及了通项与前 n 项和之间的 关系及裂项求和法,这是数列考查中常考常新的问题,要熟练掌握. 21. (12 分) (2015?广州校级二模)在△ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c, 已知 c=2, .

(1)若△ ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinB=2sinA,求△ ABC 的面积. 考点: 解三角形;三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 2 2 分析: (1)由 c 及 cosC 的值,利用余弦定理列出关于 a 与 b 的关系式 a +b ﹣ab=4,再由已 2 2 知三角形的面积及 sinC 的值,利用三角形的面积公式得出 ab 的值,与 a +b ﹣ab=4 联立组成 方程组,求出方程组的解即可求出 a 与 b 的值;

(2)利用正弦定理化简 sinB=2sinA,得到 b=2a,与(1)得出的 a +b ﹣ab=4 联立组成方程 组,求出方程组的解得到 a 与 b 的值,再由 sinC 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角 形 ABC 的面积. 解答: 解: (1)∵c=2,cosC= , ∴由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC 得:a +b ﹣ab=4, 又△ ABC 的面积等于 ∴ , ,sinC= ,
2 2 2 2 2

2

2

整理得:ab=4, (4 分) 联立方程组 ,

解得 a=2,b=2; (6 分) (2)由正弦定理,把 sinB=2sinA 化为 b=2a, (8 分) 联立方程组 ,

解得: 又 sinC= ,





则△ ABC 的面积

. (10 分)

点评: 此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以 及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 22. (12 分) (2012?矿区校级模拟)如图,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60°,半径为 2,在 弧 AB 上有一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C,设∠AOP=θ,求△ POC 面积 的最大值及此时 θ 的值.

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 计算题. 分析: 根据 CP∥OB 求得∠CPO 和和∠OCP 进而在△ POC 中利用正弦定理求得 PC 和 OC, 进而利用三角形面积公式表示出 S(θ)利用两角和公式化简整理后,利用 θ 的范围确定三角 形面积的最大值. 解答: 解:因为 CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°﹣θ,∴∠OCP=120°. 在△ POC 中,由正弦定理得

= 又

,∴ =

=

,所以 CP=

sinθ.

,∴OC=

sin(60°﹣θ) .

因此△ POC 的面积为 S(θ)= CP?OCsin120°= ? = = = = sinθsin(60°﹣θ)= ( (
2

sinθ?

sin(60°﹣θ)×

sinθ(

cosθ﹣ sinθ)

sinθcosθ﹣ sin θ) sin2θ+ cos2θ﹣ )

,θ∈(0°,60°) . .

所以当 θ=30°时,S(θ)取得最大值为

点评: 本题主要考查了三角函数的模型的应用.考查了考生分析问题和解决问题的能力.



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