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2017-2018学年高中数学人教A版必修1:1.3函数的基本性质 第1课时预习导航学案

1.3 函数的基本性质 预习导航 课程目标 1.理解增函数和减函数的定义,明确定义中“任意”两 字的重要性,以及图象的特征. 2.知道函数单调性的含义,能够利用定义证明函数的单 调性. 3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函 数的单调性解决有关问题. 学习脉络 一、增函数和减函数 增函数 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某 个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 定义 f(x1)<f(x2) 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数. 区间 D 称为函数 f(x1)>f(x2) 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数. 区间 D 称为函数 f(x)的单调递增区间 图象特征 函数 f(x)在区间 D 上的图象 是上升的 f(x)的单调递减区间 函数 f(x)在区间 D 上的图象 是下降的 图示 名师点拨(1) 函数 f(x)在区间 D 上是增函数,x1,x2∈D,且 x1≠x2?(x1-x2)[f(x1) -f(x2)]>0? f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0. x1 ? x2 (2)函数 f(x)在区间 D 上是减函数,x1,x2∈D,且 x1≠x2?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0? f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0. x1 ? x2 自主思考 1 对于函数 f(x), 若区间[a, b]上存在两个数 x1, x2, 且 x1<x2, 有 f(x1)>f(x2) 成立,则能否说 f(x)在[a,b]上是减函数? 提示:不能. 对于自变量的选取一定是任意的,而不能是特殊值,如函数 y=x ,x∈[-1,1],- 1,0∈[-1,1], 显然-1<0, 且 f(-1)=1>0=f(0), 但并不能由此就说函数 y=x 在[-1,1] 上是减函数. 自主思考 2 已知函数 f(x)在定义域[a,b]上是增函数,且 f(x1)<f(x2),则 x1 与 x2 有怎 样的关系?若是减函数呢? 提示:当 f(x)是增函数时,x1,x2 满足 a≤x1<x2≤b; 当 f(x)是减函数时,x1,x2 满足 a≤x2<x1≤b. 二、单调性 2 2 名师点拨(1) 函数的单调性是函数的一个局部性质,即我们说函数单调性的时候一定 要指出是在哪个区间上,而不能笼统地说函数是单调的,有些时候,函数并不一定在整个定 义域上单调. (2)并不是所有的函数都具有单调性,例如,分段函数 y= ? 域为 R,但显然不具有单调性. (3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时, 不能用“∪”连接, 而应该用“和” 连接或用“,”隔开.如函数 y= ?1,x是有理数, ?0,x是无理数, 它的定义 1 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为函 x 数 y= 1 在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减. x (4)函数的单调区间,在书写时,只要在端点处有定义,用开区间或闭区间都可以,但 若在端点处没有定义,必须用开区间. (5)函数的单调性反映了函数值在某个区间上的变化趋势.例如,函数 f(x)在区间 D 上 是增(减)函数,则说明在区间 D 上,函数值随自变量的增大而增大(减少),图象是上升(下 降)的. 归纳总结 基本初等函数的单调性如下表所示: 函数 正比例函数 (y=kx,k≠0) 与一次函数 条件 单调递增区间 R 无 单调递减区间 无 R k>0 k<0 (y=kx+b, k≠0) 反比例函数 k>0 k<0 无 无 (-∞,0)和(0,+∞) (-∞,0)和(0,+∞) k ? ? ? y ? , k ? 0? x ? ? 二次函数 (y=ax +bx+ 2 a>0 ? b ? ? , ?? ? ? ? 2a ? b? ? ? ??, ? ? 2a ? ? c,a≠0) a<0 b? ? ? ??, ? ? 2a ? ? ? b ? ? , ?? ? ? ? 2a ?


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