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必修一专题复习高一数学(讲义3)函数性质

必修一专题复习高一数学(讲义 3)

复习范围:必修 1 第一章——第三章

第一章 集合与函数的概念(3) 函数性质

知识点 1:分段函数

?x ? 2(x ? ?1)



1

已知

f

(x)

?

? ?

x

2

(?1 ? x ? 2) ,若 f (x) ? 3,则 x 的值是(



??0 (x ? 2)

??x2,x≤1, 变式 1、函数 f(x)=???x+6x-6,x>1,则 f(f(-2))=________.

知识点 2:函数的单调性 例 2 (1)f(x)=-2x2+4x-3 的增区间为________.

(2)f(x)=x+1 1的减区间为________.
方法 1、 y ? a ? c (c ? 0) x?b

1

方法二、图像变化 函数的图象变换 1.平移变换 (1)水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移 a 个单位而得到. (2)竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移 b 个单位而得到. 2.对称变换 (1)y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. (2)y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. (3)y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. (4)要得到 y=|f(x)|的图象,可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方,其余部分不变. (5)要得到 y=f(|x|)的图象,可将 y=f(x),x≥0 的部分作出,再利用偶函数的图象关于 y 轴的对称性,作出 x<0 时的 图象. 3.伸缩变换 (1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将 y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的 A 倍,横坐标不变而得到.
(2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 1 倍,纵坐标不变而得到. a

变式 1、 已知函数

的图像关于直线 对称,当 时,

,那么当 时,函数 的

递增区间是( )

A.

B.

C.

D.

(3)作出函数 f(x)=|x-3|+ x2+6x+9的图象,并指出其单调区间.

|x-b|的几何意义:数轴上表示数

x

的点与表示数

a

的点之间的距离 新疆 王新敞 奎屯

2

函数的单调性定义及证明

1、函数单调性定义

增函数

减函数

设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量

定义 x1 , x2 。

当 x1 ? x2 时,都有

, 当 x1, ? x2 时,都有



那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

图象 描述

自左向右看图象是

自左向右看图象是

注意:函数的单调性是函数的局部性质;

2、用定义判断函数单调性 (1) 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; (2) 作差 f(x1)-f(x2); (3) 变形(通常是因式分解和配方); (4) 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); (5) 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性).
例 3 利用单调性的定义证明函数 y=xx++12在(-1,+∞)上是减函数.

3

知识点 3:函数的奇偶性 例 4 定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又 f(7)=6,则 f(x)( ) A.在[-7,0]上是增函数,且最大值是 6 B.在[-7,0]上是减函数,且最大值是 6 C.在[-7,0]上是增函数,且最小值是 6 D.在[-7,0]上是减函数,且最小值是 6
变式 1、设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 x·f(x)<0 的解集是( ) A.{x|-3<x<0 或 x>3} B.{x|x<-3 或 0<x<3} C.{x|x<-3 或 x>3} D.{x|-3<x<0 或 0<x<3}

变式 2、函数 f(x)为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________.
变式 3、设定义在[-2, 2]上的偶函数 f (x) 在区间[0, 2]上单调递减,若 f (1? m) ? f (m) ,求实数 m 的取值范围。

变式 4、函数

ax ? b f(x)= 1? x2

是定义在(-1,1)上的奇函数

,且

f (1) ? 2

2 5

(1)、确定函数 f(x)解析式 (2)、用解不等式 f(t-1)+f(t)<0

4



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