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2017-2018学年高中数学 第三章 三角恒等变形 2 第1课时 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数 北_图文

第1课时 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数

两角和与差的余弦、正弦公式 公式

简记

cos(α+βco)=sαcosβ+sinαsinβ cos(α-βco)=sαcosβ-sinαsinβ

. (Cα+β) . (Cα-β)

sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ . (Sα+β)

sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ . (Sα-β)

1.cos(α-β)与cos α-cos β相等吗?是否有相等的情况?
提示:一般情况下不相等,但在特殊情况下也有相等的时 候.例如:当取α=0°,β=60°时,cos(0°-60°)=cos 0°- cos 60°.
2.公式(Cα±β)和(Sα±β)中,对于角α与β的范围有没有规定?
提示:在公式中,角α与β没有规定,即对任意角α,β,公式 都恒成立.

1.求下列各式的值:

(1)sin 15°+cos 15°;(2)cos

25 12πcos

161π-sin

11 12πsin

5 6π.

[尝试解答] (1)法一:sin 15°=sin(45°-30°)

=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°



2 2×

23-

22×12=

6- 4

2 .

cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+

sin 45°sin 30°= 22× 23+ 22×12=

6+ 4

2 .

∴sin 15°+cos 15°=

6- 4

2+

6+ 4

2= 26.

法二:sin 15°+cos 15°



2(

2 2 sin

15°+

2 2 cos

15°)

= 2(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)



2sin(15°+45°)=

2sin

60°=

6 2.

(2)原式=cos(2π+1π2)cos(2π-π6)-sin(π-1π2)·sin(π-π6)

=cos

π 12cos

π6-sin

π 12sin

π6=cos(1π2+π6)=cos

π4=

2 2.

解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化,充分拆角、 凑角转化为和、差角的正弦、余弦公式,同时注意公式的活用、 逆用,“大角”要利用诱导公式化为“小角”.

1.求cos 105°+sin 195°的值.

解:cos 105°+sin 195°

=cos 105°+sin(90°+105°)

=cos 105°+cos 105°=2cos 105°

=2cos(60°+45°)

=2(cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°)

=2(12× 22- 23× 22)=

2- 2

6 .

2.已知π2<β<α<34π,cos(α-β)=1123,sin(α+β)=-35.求 cos 2β 的值.

[尝试解答] ∵π2<β<α<34π,∴0<α-β<π4,π<α+β<32π,

∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?=

1-????1123????2=153,

cos(α+β)=- 1-sin2?α+β?=-

1-????-35????2=-45.

∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=-45×1123+(-35)×153=-6635.

解答此类题目要注意以下两点: (1)拆拼角技巧 先分析已知角与所求角之间的关系,再决定如何利用已 知角表示所求角,避免对已知条件用公式,造成不必要的麻 烦.常见的拆角、拼角技巧: α=(α+β)-β;α=β-(β-α);2α=(α+β)+(α-β); β=α+2 β-α-2 β;

(2)确定相关角的范围
2β=(α+β)-(α-β);π4-α=π2-(π4+α)等. 若题目中给出了角的取值范围,解题时一定要重视角的 取值范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角 函数值.

2. 已知 cos????α-π6????=1123????π6<α<π2????,求 cos α.

解:由于 0<α-π6<π3,cos(α-π6)=1123,所以 sin(α-π6)=153.

所以 cos α=cos????????α-π6????+π6????=cos????α-π6????cos π6-sin????α-π6????sin

π 6

=1123×

23-153×12=12

3-5 26 .

3.知 α,β 是锐角,且 sin α=47 3,cos(α+β)=-1114.求 角 β.
[尝试解答] ∵α 是锐角,且 sin α=473, ∴cos α= 1-sin2α= 1-4732=17.

又∵cos(α+β)=-1114,α,β 均为锐角,
∴sin(α+β)= 1-cos2α+β=5143, ∴sin β=sin(α+β-α)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =5143×17-(-1114)×473= 23.∴β=π3.

1.解决该类问题实质上是转化为“给值求值”,关键也 是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结 合该函数的单调区间求得角.
2.解给值求角问题的步骤 (1)求解的某一个三角函数;(2)确定角的范围;(3)据范 围写出角.

3.已知 α,β 均为锐角,sin α= 55,cos β= 1100,求 α -β.
解:∵α,β 均为锐角,sin α= 55,cos β= 1100, ∴sin β=31010,cos α=255. ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β = 55× 1100-255×31010=- 22. 又-π2<α-β<π2.∴α-β=-π4.

在△ ABC 中,sin A=35,cos B=153,求 cos C 的值. [错解] ∵cos B=153,∴B 为锐角,

∴sin B= 1-cos2B=12.∵sin A=3,0<A<π,

13

5

∴当 A 为锐角时,cos A= 1-sin2A=4, 5

cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)

=sin Asin B-cos Acos B=1665;

当 A 为钝角时,cos A=- 1-sin2A=-4, ① 5

cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=5665.

[错因] 错解在于没有结合题中隐含的角的范围,判断 出 A 为钝角时不成立.在三角形中,一定要重视角的取值范 围和题目中隐含的信息.本题中,已知 sin A,cos B,在求 出 cos A,sin B 后,要想到用 sin(A+B)或 A,B 的范围进行 验证和选择.

[正解] ∵cos B=153,0<B<π,∴sin B= 1-cos2B=1123. ∵sin A=35,0<A<π,∴cos A=± 1-sin2A=±45. 当 A 为钝角时,∵sin A=35< 23,∴A>23π. 又∵cos B=153<12,∴B>π3,∴A+B>π. 这与三角形内角和 A+B+C=π 矛盾.∴cos A=45. cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+ sin Asin B=-45×153+35×1123=1665.

1.cos 24°cos 36°-cos 66°cos 54°的值是( )

A.0

B.12

C.

3 2

D.-12

解析:选 B 原式=cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36 °
=cos(24°+36°)=cos 60°=12.

2.若 cos α=-45,α 是第三象限的角,则 sin(α+π4)=

()

A.-7102

72 B. 10

C.-

2 10

2 D. 10

解析:选 A ∵α 是第三象限的角,且 cos α=-45,∴

sin α=-35,∴sin(α+π4)=sin αcos

π4+cos αsin

π 4

= 22(-35-45)=-7102.

3.已知 cos(α-β)=35,sin β=-153,且 α∈(0,π2),β∈

(-π2,0),则 sin α 等于( )

A.3635

B.6635

C.-3635

D.-6635

解析:选 A ∵β∈(-π2,0)且 sin β=-153,∴cos β=1123. 又∵α∈(0,π2),∴α-β∈(0,π)

又 cos(α-β)=35,∴sin(α-β)=45. ∴sin α=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =45×1123+35×(-135)=3635.

4.求值:sin 285°-cos 105°=________.

解析:原式=sin(360°-75°)-cos(180°-75°) =-sin 75°+cos 75° = 2(cos 45°cos 75°-sin 45°sin 75°)



2cos(45°+75°)=

2cos

120°=-

2 2.

答案:



2 2

5.(新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin(x+φ) -2sin φcos x 的 最大值为________.
解析:因为f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=cos φsin x- sin φcos x=sin(x-φ), 又-1≤sin(x-φ)≤1,所以f(x)的最大值为1.
答案:1

6.已知 sin(π4-α)=153,求cos2α-π4-siαn2α的值.

解:cocso2sα?-π4-siαn?2α=?cos

α-sin α??cos α+sin

2 2 ?cos

α+sin

α?

α?

= 2(cos α-sin α)=2( 22cos α- 22sin α)=2sin(π4-α)=

1103.



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