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2016届优化探究高三一轮人教A理科数学复习课时作业:第3章三角函数及解三角形3-7[来源:学优高考网71680]


A 组 考点基础演练 一、选择题 1.(2014 年高考江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 3a= 2sin2B-sin2A 2b,则 的值为( sin2A 1 A. 9 C.1 ) 1 B. 3 7 D. 2

?3a?2-a2 ?2 ? 2sin2B-sin2A 2b2-a2 2· 7 解析:由正弦定理可得 = = = . sin2A a2 a2 2
答案:D 2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3 sin B,则 A=( A.30° C.120° ) B.60° D.150°

b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 解析:由正弦定理可知 c=2 3b,则 cos A= = = 2bc 2bc 2bc = 3 ,所以 A=30° ,故选 A. 2 答案:A 3.(2015 年忻州联考)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 tan B= 2- 3 → → 1 BA= ,则 tan B 等于( 2 2,BC· 2 a +c -b
2

) B. 3-1 D.2- 3

A.

3 2

C.2

1 → → 1 解析:由余弦定理可得 a2+c2-b2=2accos B,再由BC· BA= ,可得 accos B= ,∴tan 2 2 2- 3 B= =2- 3. 1 2× 2 答案:D 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ABC 的面积,若 acos 1 B+bcos A=csin C,S= (b2+c2-a2),则角 B 等于( 4 )

A.90° C.45°

B.60° D.30°

解析:由正弦定理可得 sin Acos B+sin Bcos A=sin C· sin C,即 sin(A+B)=sin C· sin C, 1 因为 sin(A+B)=sin C,所以 sin C=1,则 C=90° ,∵S= bcsin A,b2+c2-a2=2bccos A, 2 1 1 代入已知可得, bcsin A= · 2bccos A,所以 tan A=1,A=45° ,则 B=45° ,故选 C. 2 4 答案:C 5.(2014 年高考江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a π -b)2+6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 3 3 C. 2 ) 9 3 B. 2 D.3 3

解析:∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.① π π ∵C= ,∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.② 3 3 由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 答案:C 二、填空题 6.(2014 年高考福建卷)在△ABC 中,A=60° ,AC=2,BC= 3,则 AB 等于________. 解 析 : 由 余 弦 定 理 知 , BC2 = AB2 + AC2 - 2AB· AC· cos 60° , 即 ( 3 )2 = AB2 + 22 - 2AB×2×cos 60° ,解得 AB=1. 答案:1 π 7.(2014 年高考湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= , 6 a=1,b= 3,则 B=________. 解析:依题意得,由正弦定理知: 3 3 π 2 = ,sin B= ,又 0<B<π,可得 B= 或 π. π sin B 2 3 3 sin 6 1

π 2 答案: 或 π 3 3 1 8.(2014 年高考北京卷)在△ABC 中,a=1,b=2,cos C= ,则 c=________;sin A 4 =________. 解析:c2=a2+b2-2abcos C

1 15 a c =1+4-1=4,∴c=2;cos C= ,则 sin C= ,由正弦定理,得 = ,得 sin 4 4 sin A sin C asin C 15 A= = . C 8 答案:2 三、解答题 9.四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. 解析:(1)由题意及余弦定理, BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos C=13-12cos C① BD2=AB2+DA2-2AB· DAcos A=5+4cos C② 1 由①,②得 cos C= ,故 C=60° ,BD= 7. 2 (2)四边形 ABCD 的面积 1 1 S= AB· DAsin A+ BC· CDsin C 2 2 1 1 ? =? ?2×1×2+2×3×2?sin 60° =2 3. 10.(2014 年高考安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b =3,c=1,△ABC 的面积为 2,求 cos A 与 a 的值. 1 2 2 解析:由三角形面积公式,得 ×3×1· sin A= 2,故 sin A= , 2 3 因为 sin2A+cos2A=1, 所以 cos A=± 1-sin2A=± 1 2 2?2 1- ? =± 3 ? 3 ? 15 8

1 ①当 cos A= 时,由余弦定理得 3 1 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×3×1× =8, 3 所以 a=2 2 1 ②当 cos A=- 时,由余弦定理得 3 1? a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×3×1×? ?-3?=12, 所以 a=2 3.

B 组 高考题型专练 1.已知△ABC 的面积为 A.3+ 3 C.2+ 3 3 π , AC= 3,∠ABC= ,则△ABC 的周长等于( 2 3 B.3 3 3 3 D. 2 )

1 3 解析: 由题知 AB· BC· sin B = ,则 AB· BC = 2 ,由余弦定理可得 3 = AB2 + BC2 - 2 2 π 2AB· BC· cos =AB2+BC2-2,所以 AB2+BC2=5,则(AB+BC)2=AB2+BC2+2AB· BC=9, 3 所以 AB+BC=3,则△ABC 的周长为 AB+BC+CA=3+ 3,故选 A. 答案:A 2.△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.以上均有可能 )

解析: 由题意可知 c>a,c>b,即 C 角最大, 所以 a3+b3=a· a2+b· b2<ca2+cb2, 即 c3<ca2 a2+b2-c2 π +cb2,所以 c2<a2+b2.由余弦定理的推论 cos C= >0,∴0<C< ,故△ABC 为锐角 2ab 2 三角形. 答案:A 15 3 3.在△ABC 中,已知 AB=3,A=120° ,且△ABC 的面积为 ,则 BC 的边长为 4 ________. 1 15 3 1 解析:由 S△ABC= AB· ACsin A,即 = ×3ACsin 120° ,得 AC=5,由余弦定理 BC2 2 4 2 =AB2+AC2-2AB· ACcos A=9+25+15=49,得 BC=7. 答案:7 4.(2015 年云南联考)在△ABC 中,BC=2 5,AC=2,△ABC 的面积为 4,则 AB 的长 为________. 1 解析:由已知 S△ABC= BC· ACsin C=4, 2 2 5 5 ∴sin C= ,cos C=± , 5 5 在△ABC 中,有 AB= BC2+AC2-2BC· ACcos C. 当 cos C= 5 5 时,AB=4;当 cos C=- 时,AB=4 2. 5 5

答案:4 或 4 2

5.(2015 年甘肃诊断)已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,向量 m =(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且 m⊥n. (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 3,求 a+c 的取值范围. 解析:(1)∵m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且 m⊥n. ∴(2a+c)cos B+bcos C=0, ∴cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0, ∴2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0, 即 2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A, 1 ∴cos B=- . 2 ∵0° ≤B≤180° , ∴B=120° . (2)∵b2=a2+c2-2accos 120° =a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-? 当且仅当 a=c 时取等号. ∴(a+c)2≤4,∴a+c≤2, 又 a+c>b= 3,∴a+c∈( 3,2). a+c?2 3 2 ? 2 ? =4(a+c) ,


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