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2019_2020学年高中数学第三章直线与方程3.3.3点到直线的距离、两条平行直线间的距离练习新人教A版

第 27 课时 点到直线的距离、两条平行直线间的距离

对应学生用书 P73

知识点一

点到直线的距离

1.若点(1,a)到直线 x-y+1=0 的距离是3 2 2,则实数 a 为(

)

A.-1 B.5

C.-1 或 5 D.-3 或 3

答案 C

|1-a+1| 3 2

解析 由点到直线的距离公式得

2 =2,

∴a=-1 或 5.

2.已知两点 A(1,1)和 B(-1,4)到直线 x+my+3=0 的距离相等,则 m 为( )

2 26 A.0 或-3 B.3或-5

C.-23或23 D.0 或23

答案 B

解析 由题意知直线 x+my+3=0 与 AB 平行或过 AB 的中点,则有-1m=-4- 1-11或1-2 1+

m×1+2 4+3=0,∴m=23或 m=-65.

知识点二

两平行线间的距离

3.两条平行直线 3x-4y-3=0 和 mx-8y+5=0 间的距离是( ) A.1101 B.85 C.175 D.45 答案 A

解析 由两直线平行,得 m=6,所以 mx-8y+5=0 可化成 3x-4y+52=0,因此两条平

行线间的距离 d=???-332+-4252???=1110,故选 A.

4.已知直线 l 与两直线 l1:2x-y+3=0 和 l2:2x-y-1=0 平行且距离相等,则 l 的 方程为________.

答案 2x-y+1=0

解析 设所求的直线方程为 2x-y+c=0(c≠3,c≠-1),分别在 l1:2x-y+3=0 和

l2:2x-y-1=0 上取点 A(0,3)和 B(0,-1),则此两点到 2x-y+c=0 的距离相等,即

|-3+c|

|1+c|

22+ - 2= 22+ - 2,

解得 c=1,故直线 l 的方程为 2x-y+1=0.

知识点三

距离公式的应用

5.已知点 P(m,n)是直线 2x+y+5=0 上任意一点,则 m2+n2的最小值为________.

答案 5

解析 因为 m2+n2是点 P(m,n)与原点 O 间的距离,所以根据直线的性质,原点 O 到直

线 2x+y+5=0 的距离就是

m2+n2的最小值.根据点到直线的距离公式可得 d=

5 22+12=

5.故答案为 5. 6.已知直线 l1:x+y-1=0,现将直线 l1 向上平移到 l2 的位置,若 l1,l2 和两坐标轴围
成的梯形的面积为 4,求直线 l2 的方程(如图).

解 ∵l1∥l2,可设 l2 的方程为 x+y-m=0. l2 与 x 轴,y 轴分别交于 B,C, l1 与 x 轴,y 轴分别交于 A,D, 得 A(1,0),D(0,1),B(m,0),C(0,m). ∵l2 在 l1 的上方,∴m>1. ∵S 梯形 ABCD=S△OBC-S△AOD,∴4=12m2-12,

解得 m=3 或 m=-3(舍去). 故所求直线的方程为 x+y-3=0.

对应学生用书 P73

一、选择题

1.已知两点 A(3,2)和 B(-1,4)到直线 mx+y+3=0 的距离相等,则 m 的值为( )

A.0 或-12 B.12或-6

11

1

C.-2或2 D.0 或2

答案 B 解析 依题意得|3mm+2+51|=|-mm2++71|,即|3m+5|=|m-7|,∴(3m+5)2=(m-7)2,展开

合并同类项得

8m2+44m-24=0,即

2m2+11m-6=0,解得

1 m=2或

m=-6.

2.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,则 x2+y2 的最小值是( )

A.8 B.2 2 C. 2 D.16

答案 A 解析 由题知所求即为原点到直线 x+y-4=0 的距离的平方,即

+0- 12+12

2 16 =2=

8.故选 A.

3.若动点 A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y-11=0 和 l2:x+y-1=0 上移动, 则 AB 中点 M 所在直线的方程为( )

A.x-y-6=0 B.x+y+6=0

C.x-y+6=0 D.x+y-6=0

答案 D

解析 由题意,得点 M 所在的直线与直线 l1,l2 平行,所以设为 x+y+n=0,此直线到

|n+11| |n+1|

直线 l1 和 l2 的距离相等,所以



,解得 n=-6,所以所求直线的方程为 x+y

2

2

-6=0.故选 D.

4.直线 2x+3y-4=0 关于点(2,1)对称的直线方程是( )

A.3x-2y-4=0 B.2x+3y+6=0

C.3x-2y-10=0 D.2x+3y-10=0

答案 D |4+3-4| |4+3+C|
解析 设所求直线的方程为 2x+3y+C=0,由题意可知 22+32 = 22+32 .

∴C=-4(舍)或 C=-10,

故所求直线的方程为 2x+3y-10=0.

5.若动点 A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动, 则 AB 的中点 M 到原点距离的最小值为( )

A.3 2 B.2 C. 2 D.4

答案 A

解析 由题意,知点 M 在直线 l1 与 l2 之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程

|c+7| |c+5|

为 x+y+c=0,则



,即 c=-6,∴点 M 在直线 x+y-6=0 上,∴点 M 到原

2

2

|-6| 点的距离的最小值就是原点到直线 x+y-6=0 的距离,即 =3 2.
2

二、填空题 6.如果已知两点 O(0,0),A(4,-1)到直线 mx+m2y+6=0 的距离相等,那么 m 可取不

同实数值的个数为________.

答案 3

6

|4m-m2+6|

解析 解方程 m2+m4= m2+m4 (m≠0),

得 m=6 或 m=-2 或 m=4.

7.直线 l 在 x 轴上的截距为 1,又点 A(-2,-1),B(4,5)到 l 的距离相等,则 l 的方

程为________.

答案 x-y-1=0 或 x=1

解析 显然 l⊥x 轴时符合要求,此时 l 的方程为 x=1.设 l 的斜率为 k,则 l 的方程为

y=k(x-1),即 kx-y-k=0.

∵点 A,B 到 l 的距离相等,

|-2k+1-k| |4k-5-k|



k2+1 = k2+1 ,

∴|1-3k|=|3k-5|,∴k=1,∴l 的方程为 x-y-1=0. 8.已知平面上一点 M(5,0),若直线上存在点 P 使|PM|=4,则称该直线为“切割型直 线”.下列直线是“切割型直线”的有________. ①y=x+1 ②y=2 ③y=43x ④y=2x+1

答案 ②③ 解析 可通过求各直线上的点到点 M 的最小距离,即点 M 到直线的距离 d 来分析.①d =5+1=3 2>4,故直线上不存在点到点 M 的距离等于 4,不是“切割型直线”;②d=2<4, 2

所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点 M 的距离等于 4,是“切割型直线”;③d=

20

11

32+42=4,直线上存在一点,使之到点 M 的距离等于 4,是“切割型直线”;④d=

= 5

11 5 5 >4,故直线上不存在点到点 M 的距离等于 4,不是“切割型直线”.故填②③.

三、解答题 9.已知直线 l1:ax+by+1=0(a,b 不同时为 0),l2:(a-2)x+y+a=0. (1)若 b=0 且 l1⊥l2,求实数 a 的值; (2)当 b=3 且 l1∥l2 时,求直线 l1 与 l2 间的距离. 解 (1)当 b=0 时,l1:ax+1=0, 由 l1⊥l2 知 a-2=0,解得 a=2. (2)当 b=3 时,l1:ax+3y+1=0,



l1∥l2

时,联立???a- - ??3a-1≠0,

=0,

解得 a=3,

此时,l1 的方程为 3x+3y+1=0,

l2 的方程为 x+y+3=0,即 3x+3y+9=0,则

|9-1| 4 2 它们之间的距离为 d= 32+32= 3 .

10.过点 M(2,4)作两条互相垂直的直线,分别交 x,y 轴的正半轴于点 A,B,若四边形 OAMB 的面积被直线 AB 平分,求直线 AB 的方程.
xy 解 设直线 AB 的方程为a+b=1(a>0,b>0),

∴A(a,0),B(0,b). ∵MA⊥MB,

∴(a-2)×(-2)+(-4)×(b-4)=0,

即 a=10-2b.

∵a>0,b>0,∴0<b<5,0<a<10.

∵直线 AB 的一般式方程为 bx+ay-ab=0,

|2b+4a-ab|

∴点 M 到直线 AB 的距离 d=

a2+b2 .

∴△MAB 的面积 S1=12d|AB|=12|2b+4a-ab|=|b2-8b+20|=b2-8b+20,△OAB 的面积

S2=12ab=5b-b2.

∵直线 AB 平分四边形 OAMB 的面积, ∴S1=S2,可得 2b2-13b+20=0,

解得???b=4, ??a=2

或???b=52, ??a=5.

∴所求直线 AB 的方程为 x+2y-5=0 或 2x+y-4=0.



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