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2016届高三年级第三次四校联考讲评


2016 届 高 三 年 级 第 三 次 四 校 联 考

数学(理)试题
2016.3 命题:康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中 【满分 150 分,考试时间为 120 分钟】 一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合 M ? y y ? 2 x , x ? 0 , N ? ? x y ? lg x? ,则 M ? N 为 B A. (0,+ ? ) B. (1,+ ? ) C. [2,+ ? ) D.[1,+ ? )

?

?

【命题意图】本题考查了不等式的解法,集合运算,考查了学生解不等式的方法 【考纲要求】1.准确理解集合的概念及并、交、补运算; 2.掌握常见不等式的解法; 【解题思路】先解一元二次不等式,得出 N 集合,再利用交并补进行运算; 【试题变式】已知集合 M ? {x | log 2 x ? 3} , N ? {x | x ? 2n ? 1, n ? N} ,则 M ? N ? ( A. (0,8) 2.复数 z ? A. 1 B. { 3 , 5 , 7 } C. { 0 , 1 , 3 , 5 , 7 } D. {1 , 3 , 5 , 7 }



i ?1 ,则 |z |? C i
B. ?1+i C. 2 D. 1 ? i

【命题意图】本题考查了复数商的运算以及复数模的计算; 【考纲要求】1.准确理解复数和、差、积、商的运算法则; 2.熟练掌握 i 的周期性; 3 理解复数的几何意义; 【解题思路】分母实数化计算出复数 z ? 【试题变式】已知复数 z ? A. 1 ? i
n

i ?1 ,再根据模的计算公式得出答案 i

2i ,则 z ? z ? 1? i B. 2

C. 1 ? i

D.0

3.中、美、俄等 21 国领导人合影留念,他们站成两排,前排 11 人,后排 10 人,中国领导人站在第一排正 中间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,如果对其他领导人所站的位置不做要求,那么 不同的站法共有 B
18 A. A18 种 20 B. A20 种 2 3 10 C. A3 A18 A10 种 2 18 D. A2 A18 种

【命题意图】本题考查利用排列组合公式 【考纲要求】会利用排列组合计算简单的概率问题; 【解题思路】中美俄三个特殊元素有优先 【试题变式】一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当三种 颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 6 次球时停止取球的概率为 4.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 S 的值为 B

A.4

B.8

C.10

D.12

【命题意图】本题考查学生对程序框图条件结构,循环结构的认识,还结合了数列的知识 【考纲要求】1.了解算法的含义,了解算法的思想。 2.理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件、循环

(1) s ? 2, i ? 4, k ? 2
【解题思路】

(2) s ? 4, i ? 6, k ? 3 (3) s ? 8, i ? 8, k ? 4 输出s ? 8

【试题变式】阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 A.3 C.5 B.4 D .6

5.等比数列 ?an ? 中, a4 ? 2, a7 ? 5 ,则数列 ?lg an ?的前 10 项和等于 C A. 2 B. lg 50 C. 5 D. 10

【命题意图】本题考查了等比数列的性质; 【考纲要求】1.掌握等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式; 2.掌握等差、等比中项; 【解题思路】 a4 a7 ? a1a10 ? 10 , lg a1 ? lg a2 ? ?lg a10 ? lg(a1a10 ) 5 ? 5 【试题变式】已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 2 , S10 ? 120 . (1)求 an ; (2)若 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn an ? an?1
? ?

6.若非零向量 a, b 满足 a ? A.

?

?

B.

?
2

? ? ? ? ? ? 2 2 ? b ,且 (a ? b) ? (3a ? 2b) ,则 a 与 b 的夹角为 D 3 3? ? C. D. 4 4

【命题意图】考查模长、数量积的概念,两向量垂直的充要条件;

【考纲要求】1.理解向量基本概念 2.掌握向量运算及其意义 3.掌握向量平行和垂直的充要条件;

2 2 a ?b 2 ? b , cos? ? ? ,?? ? , 3 2 4 a?b ? ? ? ? ? ? 【试题变式】已知平面向量 a ? (1,2), a ? b ? 10, a ? b ? 5 3, 则 b =
【解题思路】由 (a ? b) ? (3a ? 2b) 得 a ? b ?

? ?

?

?

A. 5 2 C. 3 2

B. 25 D. 2 5

?cos2 x ? sin 2 x ? a1 a2 ? =a1 a4 ? a2 a3 ,若 f ( x) ? ? 7.定义 2 ? 2 矩阵 ? ? ? cos( ? ? 2 x) ? a3 a4 ? ? ? 2
A. 图象关于 ?? ,0? 中心对称 C. 在区间 [? B. 图象关于直线 x ?

3? ? ,则 f ( x) C 1? ? ?

?
2

对称

?
6

, 0] 上单调递增

D. 是周期为 ? 的奇函数

【命题意图】本题考查 y=Asin(ω x+?)的性质;还考查图像的平移变换 【考纲要求】1.了解 y=Asin(ω x+?)的图像与性质 2.掌握函数图像平移变换 【解题思路】题目条件可得 g(x) ? -2cos2x 【试题变式】函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (其中 ? ?

?
2

)的图像如图所示,为了得到

g ( x) ? sin ?x 的图像,则只要将 f ( x) 的图像

? 个单位长度 6 ? B.向右平移 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 3 ? D.向右平移 个单位长度 3
A.向左平移 8. 设函数 f ( x) ? x sin x ? cos x 的图像在点 (t , f (t )) 处切线的斜率为 k ,则函数 k ? g (t ) 的图像为

A B C 【命题意图】本题考查导数计算和有解析式确定函数图像 【考纲要求】1.能利用导数公式求简单函数的导数

D

2.会根据函数解析式几函数性质确定函数图象 【解题思路】根据 k ? g (t ) =xcosx 【试题变式】函数 f(x)=(x﹣ )cosx(﹣π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为( D )

A. 9.不等式组 ?

B.

C.

D.

??2 ? x ? 2 ?x ? y ? 2 ? 0 表示的点集记为 M, 不等式组 ? 表示的点集记为 N, 在 M 中任取一点 2 ? 0? y?4 ? y?x
7 16 7 32 9 32

P,则 P∈N 的概率为 B A.

9 16

B.

C.

D.

【命题意图】本题考查线性规划,定积分,几何概型 【考纲要求】1.会画平面区域,并计算面积; 2.掌握线性规划中目标函数的常见题型:截距、斜率、两点间距离、点到直线的距离; 【解题思路】画出可行域,由积分计算曲边梯形的面积为

27 6
向区域 ? 内随机投一点 P , ?,

?y ? ?x ? 1 ? y ? x ? 1, ? ? 【试题变式】 已知区域 ? ? {( x, y ) ? y ? 0, } , M ? ?( x, y) ? y ? 0 ? x ? 1, ?x ? 0 ? ? 点 P 落在区域 M 内的概率为 ( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 3 4 3 2
10. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 7 B. 7

1 2

1

1 3

C. 7

2 3

D. 8

正视图

侧视图

2 1

【命题意图】本题考查由三视图还原几何体的空间图形,并计算体积和 积; 【考纲要求】1.能根据三视图得到空间几何体的形状; 2.会计算简单几何体的体积和表面积; 【解题思路】根据三视图能判断该几何体是正方体截去两个三棱锥 【试题变式】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 4 B.5 C. 6 D.7

俯视图

表面

x2 y2 11. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右两个焦 a b









F1 , F2 , A, B 为其左、右,两个顶点,以线段 F1 F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M ,
且 ?MAB ? 30 ,则双曲线的离心率为B
?

A.

21 2

B.

21 3

C.

19 3

D.

19 2

【命题意图】本题考查双曲线,圆以及直线的综合 【考纲要求】1.熟练掌握双曲线的基本性质 2.联立方程解交点 【解题思路】直线和圆联立可得 M(a,b),在直角三角形 MAB 中可得

b 2 3 21 ? ,e ? a 3 3

【试题变式】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,左焦点为 F ,上顶 a 2 b2

点为 B .若 ?BAO ? ?BFO ? 90

0

,则椭圆的离心率是

5 ?1 2

2 12.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? ln x(a ? 0, b ? R) ,若对任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,则 A

A. ln a ? ?2b B . ln a ? ?2b C. ln a ? ?2b D. ln a ? ?2b 【命题意图】本题考查根据导数构造函数,并考查了函数的极值和最值 【考纲要求】1.掌握导数与函数的单调性 2.理解函数的奇偶性,单调性、对称性;
2 【解题思路】由 f ( x) ? ax ? bx ? ln x(a ? 0, b ? R) ,若对任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) 可得 2a+b=1,构造

函数 g(x)=lnx-4x+2,求的 g(x)的最小值为 1-ln4<0,所以选 A 【试题变式】定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 , f ?( x) 为 f ( x) 的 导函数,已知 y ? f ?( x) 的图像如图所示,若两个正数 a 、 b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 A. ( ,?? ) C. (0, ) y

b ?1 的取值范围是 a?2 1 4 1 5 D. ( , ) 4 2
B. ( ?? , ) ? ( ,?? )

5 2

5 2

O

x

1 4

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.已知随机变量 X 服从正态分布 X~N(2,σ ), P(X<4)=0.84, 则 P(X≤0)的值为 【命题立意】本题考查正态分布的图像体征及简单的概率计算。 【讲评价值】通过该题让学生熟悉正态分布的图形及体征,掌握概率的计算。 【解题思路】可知其正态曲线如图所示,对称轴为直线 x=2,则 P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<4)=1 -0.84=0.16.
2



【易错点】 1.不熟悉正态分布的图像和性质; 2.计算出错 【试题变式】
2 2 3 14.若 ( ax ? ) 的展开式中 x 项的系数为 20,则 a ? b 的最小值为________.
2 6

b x

【命题立意】本题考查二项式的系数的性质、展开式通项及简单的均值定理的应用,考查学生的运算、 求解能力。 【讲评价值】1.二项式系数性质的应用,要区分“系数”和“二项式系数” 。 2.求展开式的特殊项用通项。 【解题思路】Tr+1=C6(ax )
3 3 3

r

2

b ( ax 2 ? ) 6 x

6-r

?b? =Cra6-rbrx12-3r,令 12-3r=3,则 r=3. ?x? 6 ? ?

r

∴C6a b =20,即 ab=1. ∴a +b ≥2ab=2, 即 a +b 的最小值为 2.
r n ?r r 【易错点】 粗心出错,二项展开式中 Tr ?1 ? Cn a b 表示第 r ? 1 项,非 r 项
2 2 2 2

【试题变式】若 ( x +

1 n ) 展开式中只有第五项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于_________. x

15. 已知在 ? ABC 中, B ? 2 A, ?ACB 的平分线 CD 把三角形分成面积比为 4:3 的两部分,则 . 【命题立意】本题考查利用正弦定理解三角形。 【讲评价值】1.面积比和对应边的比的关系 2.二倍角的三角函数之间的函数关系式和正弦定理的综合考查。 【解题思路】1.将面积比转化为对应边的比 2.两个三角形里列出等式,求解答案

cos A ?

2 3

【易错点】 1.不会转化 2.计算错误、公式记忆错误、粗心大意。 【试题变式】在 ? ABC 中, sin A ? cos A ?

2 , b ? c ? 2 ? 1(c ? b) b ? c ? 2 ? 1(c ? b) , ? ABC 2

的面积为

1? 3 ,则 a 的值为 4



16.一个空心球玩具里面设计一个棱长为 4 的内接正四面体, 过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中 点作球的截面,则该截面圆的面积是 .

【命题立意】本题考查四面体、球及简单组合体的结构特征、棱锥的体积、球的性质及球的表面积公式、 正、余弦定理。考查学生的空间想象能力及运算求解能力,化归、模型思想,是一道立体几

何综合题. 【讲评价值】1.球与多面体的切、接问题的关键是确定球心的位置,进而求得半径,要注意确定球心的方 法和模型思想的应用。 2.解答这一类问题要注意球的截面性质的应用:球心距、球半径、截面圆半径这一直角三角 形的勾股关系。 【解题思路】此题的关键是求出球的半径。 1.由四面体的棱长求得球的半径; 2.求出球心到三角形 ABC 所在小圆的距离; 3.由球心距、球半径、截面圆半径这一勾股关系求得圆的半径,进而求得圆面积

16 ? 3

【易错点】 1.找不到球心。 2.求不出 A、B、C 三点所在圆的半径。 3.计算错误、公式记忆错误、粗心大意。 【试题变式】1. 已知三棱锥 O ? ABC 中,A、B、C 三点在以 O 为球心的球面上, 若 AB ? BC ? 1 ,

?ABC ? 1200 ,球 O 的体积为
O ? ABC 的体积为________.

256? ,则三棱锥 3

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 ) 17. (本小题满分 12 分)在等差数列 ?an ?中, a2 =5, a5 =11,数列 ?bn ?的前 n 项和 S n ? n 2 ? an . (1)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (2)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?
?a 2 ? a1 ? d ? 5 ?a5 ? a1 ? 4d ? 11
????(3 分)

解: (1)设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d,则 ?

?a1 ? 3 ?? ?d ? 2

? an ? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1

? 数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 2n ? 1
当 n=1 时, b1 ? S1 ? 4 , 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? (n ? 2n ? 1) ? (n ? 1) ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2n ? 1 ,对 b1 =4 不成立,
2 2

?

?

所以,数列 ?bn ?的通项公式为 bn ? ?

?4, (n ? 1) ?2n ? 1, (n ? 2)

????(6 分)

(2)n=1 时, T1 ?

1 1 , ? b1b2 20

n ? 2 时,

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , bn bn?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

所以

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?1 6n ? 1 ? ( ? ? ? ??? ? )? ? ( ? )? ? ? 20 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 20 2 5 2n ? 3 20 10n ? 15 20(2n ? 3)
????(10 分) ???? (12 分)

n=1 仍然适合上式, 综上, Tn ? 1 ? n ? 1 ? 6n ? 1 20 10n ? 15 20(2n ? 3)

(命题立意)本题考查等差数列基本量求解,数列 ?bn ?的前 n 项和 S n 与通项 bn 的关系,以及裂项相消求 和方法,是一道数列综合题。 (讲评价值)1. 熟悉特殊数列中知任意两项求通项; 2. 熟悉前 n 项和 S n 与通项 bn 的关系; 3. 熟悉求和常用方法. (解题思路)1. 方程思想求 a1 ,d,进而求 an ; 2. 利用 bn ? ?

?S1 , (n ? 1) 求 bn ; S ? S , ( n ? 2 ) n ?1 ? n

3. 裂项相消法求 Tn ,注意分类讨论. (易错点)1. 知 S n 求 bn 时,学生易忽略 n=1 时, b1 ? S1 ? 4 ; 2. 裂项相消求和时,学生易忽略分类讨论; 3. 裂项相消求和时,应注意裂项前后等式必须等价. (试题变式)已知 ?an ?是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根,
2

1.求 ?an ?的通项公式; 2.求数列 ?

? an ? 的前 n 项和。 n ? ?2 ?

18.(本小题满分 12 分)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 3 ,命中得 1 分,

4

没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 2 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该

3

射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX . [命题立意]考查相互独立事件、互斥事件概率知识,注重掌握求随机变量分布列和数学期望。 [讲评价值]训练学生的阅读理解、抽象概括、分类讨论的能力。

[解题思路] 解: (Ⅰ)记“该射手恰好命中一次”为事件 A ;“该射手设计甲靶命中”为事件 B ;“该 射手第一次射击乙靶命中”为事件 C ;“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D .---------2 分 由题意知, P(B) ? 3 , P(C ) ? P( D) ? 2 ,

4

3

由于 A ? BCD ? BCD ? BCD ,根据事件的独立性与互斥性得

P( A) ? P(BCD ? BCD ? BCD) ? P(BCD) ? P(BCD) ? P(BCD)
? 3 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? 2 ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? 2 ? 7 ---------4 分 4 3 3 4 3 3 4 3 3 36
(Ⅱ)根据题意, X 的所以可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 . 根据事件的独立性和互斥性得

P( X ? 0) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? 1 , 4 3 3 36

P( X ? 1) ? P(BCD) ? 3 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? 1 , 4 3 3 12 P( X ? 2) ? P(BCD) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? 1 , 4 3 3 9 P( X ? 3) ? P(BCD) ? P(BCD) ? 3 ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? 1 4 3 3 3 P( X ? 4) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? 2 ? 2 ? 1 4 3 3 9 P( X ? 5) ? P(BCD) ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 ---------9 分 4 3 3 3 故 X 的分布列为
X
P
0 1 2 3 4 5

1 36
36 12

1 12
9

1 9 3 9

1 3

1 9 3 12

1 3

所以 EX ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ? 1 ? 5 ? 1 ? 41 .---------12 分

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 所有的棱长均为 2,B1 在底面上的射影 D 在棱长 BC 上,且 A1B∥平面 ADC1。 (1)求证:平面 ADC1⊥平面 BCC1B1; (2)求平面 ADC1 与平面 A1AB 所成角的正弦值。 [命题立意]本题以斜三棱柱为载体,考查立体几何中的线面垂直、面面垂直等关 系。 [讲评价值]要求学生推理过程的严谨性与全面性,忌推证过程过于简略、推理条 件列举不全面而下结论,这也是学生的失分点;本题第二问通过已知 条件中的量,考查二面角的向量求解方法。 [解题思路] (1)连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 OD,则平面 A1BC∩平面 ADC1=OD。 (2 分) ∵A1B∥平面 ADC1,∴A1B∥OD,又为 O 为 A1C 的中点。 ∴D 为 BC 的中点,则 AD⊥BC。

又 B1D⊥平面 ABC,∴AD⊥B1D,BC∩B1D=D。 ∴AD⊥平面 BCC1B1。 又 AD ? 平面 ADC1,从而平面 ADC1⊥平面 BCC1B1。 (6 分) (2)以 D 为坐标原点,DC,DA,DB1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D (0,0,0),B(-1,0,0),A(0, 3 ,0) ,B1(0,0, 3 ) ,C1(2,0, 3 ) (7 分)

易知 BA =(1, 3 ,0), BB1 (1,0, 3 ),设平面 A1AB 的一个法向量为 m =(x,y,z) 。

?

?

?

?? ? ? ?x ? 3 y ? 0 ? BA? m ? 0 则?? , 即 , 取 x=, 则 。 (9 分) 3 m =(- 3 ,1,1) ? ? x ? 3 z ? 0 ? ? ? BB1 ? m ? 0
易知 DA =(0, 3 ,0) , DC1 =(2,0, 3 ) ,同理可得平面 ADC1 的一个法向量为 n =(- 3 ,0,2) 。

?

?

?

?? ? ? m? n 5 35 ∴cos< m , n >= ? ? = = 。 7 5 ? 7 | m || n |
那么平面 ADC1 与平面 A1AB 所成角的正弦值为

14 。 (12 分) 7

1 2 ,0)为抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点,点 N( x0 , y0 ) ( y0 >0)为其上一点,点 M 与 2 5 点 N 关于 x 轴对称,直线 l 与抛物线交于异于 M,N 的 A,B 两点,且|NF|= , k NA ? k NB ? ?2 。 2
20.已知 F( (1)求抛物线方程和 N 点坐标; (2)判断直线 l 中,是否存在使得 ?MAB 面积最小的直线 l’ ,若存在,求出直线 l’ 的方程和 ?MAB 面积 的最小值;若不存在,说明理由。 [命题立意]考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的定义。 [讲评价值]解析几何中定值、最值问题是常考常新的题目,在变化中探寻不变的量是化解解析几何难点的 常用方法,复习了求面积的重要思想方法割补法。

[解题思路](1)由题意

p 1 ? ,则 p ? 1 , 2 2

故抛物线方程为 y 2 ? 2 x 。 由|NF|= x0 ? ∵ y0>0 , ∴ y0 ? 2 , 所以 N(2,2) 。 (4 分)

p 5 2 ? ,则 x0 ? 2, y0 ? 4 。 2 2

(2)由题意知直线的斜率不为 0,则可设直线 l 的方程为 x ? ty ? b 。 联立方程组 ?

? y 2 ? 2x ? x ? ty ? b
2

,得 y 2 ? 2ty ? 2b ? 0 。
2

设两个交点 A(

y1 y , y1 ) ,B( 2 , y2 ) ( y1 ≠±2, y2 ≠±2) ,则 2 2

?? ? 4t 2 ? 8b>0, ? ? y1 ? y2 ? 2t , ? y y ? ?2b. ? 1 2
由 k NA ? k NB ?

(6 分)

y1 ? 2 y2 ? 2 4 ? 2 ? ? ?2 ,整理得 2 y1 ? 2 y2 ? 2 ( y1 ? 2)( y2 ? 2) 2 2
(8 分)

b ? 2t ? 3 。
此时, ? ? 4(t 2 ? 4t ? 6)>0 恒成立。

故直线 l 的方程可化为 x ? 3 ? t ( y ? 2) ,从而直线 l 过定点 E(3,-2) 。 (9 分) 因为 M(2,-2) , 所以 M,E 所在直线平行 x 轴, 所以△MAB 的面积 S ?

1 ME y1 ? y2 ? t 2 ? 4t ? 6 ? (t ? 2) 2 ? 2 当 t=-2 时有最小值为 2 , 此时直线 l ' 2
(12 分)

的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, g ( x) ? ?

1? a (a ? R) . x

(1)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的单调区间; (2)若不等式 f ( x ) ≤ g ( x) 在区间[1,e](e=2.71828?)的解集为非空集合,求实数 a 的取值范围 .

【命题意图】本题考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式的应用,考查灵活应用导数方法 分析、解决问题的能力,题目渗透分类讨论、化归与转化的思想,第( 2)问是一道较难的 综合题 【讲评价值】1.利用导数研究函数的性质是常考题型 2.存在性问题的处理方法:分离变量,转化为函数的最大或最小值 【解题思路】(1) h( x) ? x ? a ln x ?

1? a ,定义域为(0,+∞) , x
????????2 分

h?( x) ? 1 ?

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1) ? x ? (1 ? a)? ? 2 ? ? x x x2 x2

①当 a ? 1 ? 0, 即 a ? ?1 时,令 h?( x) ? 0 ,? x ? 0,? x ? 1 ? a, 令 h?( x) ? 0 增 , 得 0 ? x ? 1, ? a 故 h( x ) 在 (0,1 ? a) 上 单 调 递 减 , 在 (1 ? a, ??) ????????3 分 上单调递

②当 a ? 1 ? 0, 即 a ? ?1 时, h?( x) ? 0 恒成立, h( x) 在(0,+∞)上单调递增。 ????????4 分 综上,当 a ? ?1 时, h( x) 的单调递减区间为 (0,1 ? a) ,单调递增区间为 (1 ? a, ??) 。 当 a ? ?1 时, h( x) 的单调递增区间为(0,+∞) ,无单调递减区间。 ????????5 分 (2)由题意可知,不等式 f ( x ) ≤ g ( x) 在区间[1,e](e=2.71828?)的解集为非空集合, 即在[1,e]存在 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 由(1)中 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则在[1,e]存在 x0 使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 即函数 h( x) ? x ? a ln x ?

1? a 在[1,e]上的最小值 h( x)min ? 0 ????????6 分 x
7分

由(1)知,当 a ? ?1 时, h( x) 在[1,e]上单调递增,?h( x)min ? h(1) ? 2 ? a ? 0,?a ? ?2 当 a ? ?1 时 ①当 a ? 1 ? e, 即 a ? e ? 1 时, h( x) 在[1,e]上单调递减,

? h( x)min ? h(e) ? e ?

1? a e2 ? 1 ? a ? 0,? a ? , e e ?1
????????9 分

e2 ? 1 e2 ? 1 ? ? e ? 1,? a ? ; e ?1 e ?1
②当 0 ? a ? 1 ? 1, 即 ?1 ? a ? 0 时, h( x) 在[1,e]上单调递增,

?h( x)min ? h(1) ? 2 ? a ? 0,?a ? ?2 ,无解

????????10 分

③当 1 ? a ? 1 ? e, 即 0 ? a ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1,1 ? a) 上单调递减,在 ? a ? 1, e? 上单调递增

? h( x)min ? h(a ? 1) ? a ? 2 ? a ln(a ? 1), 此时 h( x)min ? 0 ,不合题意。
????????11 分 综上可得,实数 a 的取值范围是 a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 ????????12 分 e ?1

【同类变式】设函数 f ( x) ? ax2 ? x ln x ? (2a ? 1) x ? a ? 1(a ? R) . ⑴ 当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在点 P(e, f (e)) 处的切线方程; ⑵ 对任意的 x ? [1,??) 函数 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 选做题: 请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所 做的第一个题目计分.做答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,BE 为圆 O 的切线,点 C 为圆 O 上不同于 A、B 的一点,AD 为∠BAC 的平分线,且 分别与 BC 交于 H,与圆 O 交于 D,与 BE 交于 E,连结 BD、CD。

(1) 求证:BD 平分∠CBE; (2) 求证: AH ? BH ? AE ? HC . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2cos ? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2sin ?

(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程. (2)已知 A(-2, 0) ,B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x, y),求 ? ABM 面积的最大值. 解: (1)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2cos ? ( ? 为参数) ,? 圆 C 的普通方程为 y ? ? 4 ? 2sin ? ?
5分

( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,所以圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0
(2)法一:求直线 AB 方程为 x ? y ? 2 ? 0 ABM 的面积最大值为 9 ? 2 2

,圆上的点到直线的最大距离为 | AB ? | 2 2

9 2 ? 2, 2
10 分

法二:易求直线 AB 方程为 x ? y ? 2 ? 0

| AB ? | 2 2

点 M(x, y)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离为

d?

| x ? y ? 2 | | 3 ? 2 cos ? ? (?4 ? 2sin ? ) ? 2 | ? 2 2 | 2 co ?s? 2
1 ? | AB | d ?| 2 cos ? ? 2sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4

?

2? s i? n

9|

? ABM 的面积 S ?

? ABM 的面积最大值为 9 ? 2 2 .
(命题立意)本题考查圆的极坐标方程,参数方程与直角坐标方程间的互化,以圆的参数方程的应用. (讲评价值)1. 熟悉圆的极坐标方程,参数方程与直角坐标方程的互化; 2. 熟悉圆的几何性质、圆的参数方程的应用. (解题思路)1.利用 sin ? ? cos ? ? 1 消去参数;
2 2

2. 利用 x ? ? cos? , y ? ? sin ? .化圆的普通方程为极坐标方程。 3.利用圆的几何性质或圆的参数方程求解。 (易错点)1. x ? ? cos? , y ? ? sin ? 互化关系搞不清; 2. 方法的选择。

? ? x ? ?1 ? t ? cos ? ? 4 ( t 为参数) (试题变式)已知直线 l 的参数方程为 ? ? y ? t ? sin ? ? ? 4
曲线 C 的极坐标方程为 (1 ? sin 2 ? ) ? ? ? sin ? , 以极点为坐标原点, 极轴为 x 轴的正方向建立平面直角坐 标系. (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若点 M 的直角坐标为(-1, 0) ,直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|MA|· |MB|的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? 4x, a ? 0 . (1) 当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 2 x ? 1 的解集; (2) 若 x ? (?2,??) 时,恒有 f (2 x) ? 7 x ? a ? 3 ,求实数 a 的取值范围.
2

解 :( 1 ) f ( x) ? 2 x ? 1 , 即 x ? 2 ? ?2x ? 1 , 即 ?

? x ? 2 ? ?2 x ? 1 ?2 ? x ? ?2 x ? 1 或 ? ,解得 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0
????(5 分)

?x x ? ?1?.

(2) f (2 x) ? 7 x ? a 2 ? 3 可化为 f (2x) ? 7 x ? a 2 ? 3 ,令 F ( x) ? f (2 x) ? 7 x ,

a ? 3x ? a( x ? ) ? ? 2 因为 F ( x) ? f (2 x) ? 7 x ? 2 x ? a ? x ? ? ,由于 a >0, x ? (?2,??) , a ?a ? x( x ? ) ? 2 ?
所以当 x?

a a a a 2 时 , F ( x) 有 最 小 值 F ( ) ? , 若 使 原 命 题 成 立 , 只 需 ? a ?3 , 解 得 2 2 2 2
????(10 分)

a ? ?0,2? .

(命题立意)本题考查绝对值不等式的解法以及含绝对值不等式的恒成立问题; (讲评价值)1. 熟悉绝对值不等式的常见解法; 2. 熟悉恒成立求参问题的常见解法. (解题思路)1. 将 a 值代入 f ( x ) ,去掉绝对值符号,求得结论; 2. 转化已知不等式关系式, 根据不等式恒成立条件构造关于 a 的不等式, 解不等式, 得出 a 的取值范围. (易错点)1. 去绝对值符号,不等价; 2. f (2 x) 表达式易写错; 3. 构造关于 a 的不等式不等价. (试题变式)设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? a (a ? R) . (1) 当 a =2 时,求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (2) 当 a <-

1 1 时,若存在 x ? ? 使得 f ( x) ? x ? 3 成立,求 a 的取值范围. 2 2


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