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# 差分形式的阻滞增长模型

----差分形式的阻滞增长模型

x x(t ) = rx(1 ) N

x ( t )意义 : 单位时间内的 人口数量的变化 (增量)

x x(t ) = rx(1 ) N

yk yk +1 yk = ryk (1 ), k = 0,1,2, N

(1)

yk y k +1 y k = ry k (1 ), k = 0,1,2, N

(1)

ry k y k +1 = (r + 1) y k (1 ), k = 0,1,2, (1)′ (r + 1) N ryk r .记b = r + 1, 则上式 (两边乘以 )为 令 xk = (r + 1) N (r + 1) N

x k +1 = bx k (1 x k )

(2)

b\k

xk +1 = bxk (1 xk )
2 3 4 5 6 7 8

(2)

0 0.2 0.2 0.3 0.2 0.3 9

1

1.2 1.8 2.4 2.8 3.2
b\k

.192 .186 .182 .179 .176 .174 .172 .171 .288 .369 .419 .438 .443 .444 .4444 .4444 .504 .600 .576 .586 .582 .584 .5831 .5834 .448 .692 .597 .6737 .6155 .6626 .6260 .6555 .672 .705 .6655 .7123 .6558 .7223 .6418 .7357 10 11 12 13 14 15 16 17

1.2 1.8 2.4 2.8 3.2

.170 .169 .1685 .168 .1677 .1675 .1673 .1672 .1671
.4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .5833 .58335 .58333 .58333 .58333 .58333 .58333 .58333 .58333 .6323 .6510 .6362 .6481 .6386 .6462 .6402 .6450 .6411 .6222 .7522 .5965 .7702 .5664 .7859 .5384 .7953 .5210

(2)

x = 0处 : x k +1 = bx k 处

1 2 x* = 1 : xk +1 x* = b( xk x*) + (2 b)( xk x*) b

xk +1 x* = (2 b)( xk x*)

xk+1 = f (xk )

(3)

xk+2 = f (xk+1) = f [ f (xk )] =: f2 (xk )
x = f 2 ( x)
xk+1 = bxk (1 xk ) (2)

(4)
(5)

x = f 2 ( x)
* x1

(5)
= f
* ( x1 )

= f

* * ( x 2 ), x 2

(5′)

x = f [ f ( x)] = b bx(1 x)[1 bx(1 x)]
(b + 1) ± (b 3)(b + 1) x= 2b
* x1

(2)的平衡点为 和(b-1)/b.仍然满足上式 现在我们求的 的平衡点为0和 仍然满足上式,现在我们求的 的平衡点为 仍然满足上式 是另外两个根: 是另外两个根

′ ( x) = b 2 [1 2(1 + b 2 ) x + 6b 2 x 2 4b 2 x 3 ] 由于f 2
′ = {b[ f ( x) f 2 ( x)]}′ f2 = bf ′( x)[1 2 f ( x)] = b 2 (1 2 x)[1 2 f ( x)]

< x* <

* x2

<1

′ | = b 2 (1 2 x * )(1 2 x * ) f 2 x* 1 2
1, 2

1, 2

* * f 2 ′ | x* = b 2 (1 2 x1 )(1 2 x 2 ) = b 2 + 2b + 4

* 6时, 平衡点x1, 2 是稳定的.

* 6时, 平衡点x1, 2 是不稳定的.

* * x 2 k 1会收敛到 x1 或x 2 .

* 当b > 1 + 6时, 平衡点 x1, 2 是不稳定的.这时我们 可以考虑 4倍周期收敛

xk + 4 = f

f

f

f ( xk ) = f 4 ( xk )

bn → 3.569945672 = b∞

bn bn1 δ = lim n→ ∞ b n +1 bn = 4.669201609.
Feigenbaum 常数. 常数

3

3.3

3.6

x = b bx(1 x)[1 bx(1 x)]
1 = b (1 x)[1 bx(1 x)]
2 3 2 3 3

(2)的平衡点为 和(b-1)/b.仍然满足上式 现在我们求的 的平衡点为0和 仍然满足上式,现在我们求的 的平衡点为 仍然满足上式 是另外两个根: 是另外两个根 2

b 1 (b + b ) x + 2b x b x = 0 b 1 3 2 3 2 2 (x )[ b x + (b + b ) x (b + b )] = 0 b
2 3

b 2 x 2 + (b 2 + b) x (1 + b) = 0

2b 2 (b + 1) ± (1 + b) 2 4(b + 1) (b + 1) ± b 2 2b 3 = = 2b 2b

x=

(b 2 + b) ± (b 2 + b) 2 4b 2 (b + 1)

6第3章 差分方程模型(二)_图文.ppt
6第3章 差分方程模型(二) - 第3章 差分方程模型 3.4节 离散阻滞增长模型及其应用 引言 阻滞增长模型又称为逻辑斯蒂(Logistic)模型, 由比利时生物数学家 ...

xk ? N? 模型假设(3.4.3)即导出离散阻滞增长模型. 3.4.1 离散阻滞增长模型离散阻滞增长模型就是一阶非线性差分方程 ? xk ? (3.4.1) ?xk ? rxk...

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7差分方程模型 - 第七章 差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长 7...

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