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差分形式的阻滞增长模型


差分方程模型
----差分形式的阻滞增长模型

前面我们介绍了人口数量增长的阻滞型模型: 前面我们介绍了人口数量增长的阻滞型模型

x x(t ) = rx(1 ) N

x ( t )意义 : 单位时间内的 人口数量的变化 (增量)

此模型的意义是:在 时刻单位时间内的人口数量的变 此模型的意义是 在t时刻单位时间内的人口数量的变 化量仅仅与此时的人口数量x有关 等于右边的值),其 有关(等于右边的值 化量仅仅与此时的人口数量 有关 等于右边的值 其 中的r表示人口的固有增长率 表示人口的固有增长率,N表示能容纳的最大人 中的 表示人口的固有增长率 表示能容纳的最大人 口数. 口数 它还可以用来近似描述其他受环境约束的事物的增 长规律,如 种群数量的增长 传染病的传播,耐用消费 种群数量的增长,传染病的传播 长规律 如:种群数量的增长 传染病的传播 耐用消费 品在有限市场上的销售等. 品在有限市场上的销售等

x x(t ) = rx(1 ) N
有时我们将时间离散化来研究可能方便些.例如 有些 有时我们将时间离散化来研究可能方便些 例如:有些 例如 生物(比如鱼 每年在固定的时间繁殖,我们用繁殖周期 比如鱼)每年在固定的时间繁殖 生物 比如鱼 每年在固定的时间繁殖 我们用繁殖周期 作为时段来研究其增长规律比我们简单地以连续时间 处理应该更好些.我们类似认为 我们类似认为: 处理应该更好些 我们类似认为 经过 单位时间,即一个繁殖周期的种群数量的增长量 单位时间, 仅仅与前一个时期的种群数量有关,且有类似于上面的 仅仅与前一个时期的种群数量有关 且有类似于上面的 表达式. 表达式 于是模型为

yk yk +1 yk = ryk (1 ), k = 0,1,2, N

(1)

yk y k +1 y k = ry k (1 ), k = 0,1,2, N


(1)

ry k y k +1 = (r + 1) y k (1 ), k = 0,1,2, (1)′ (r + 1) N ryk r .记b = r + 1, 则上式 (两边乘以 )为 令 xk = (r + 1) N (r + 1) N

x k +1 = bx k (1 x k )

(2)

这是一个一阶非线性差分方程.对于给定的初值 我 这是一个一阶非线性差分方程 对于给定的初值,我 对于给定的初值 们可以从这个递推公式运用计算机很容易地计算出 一些x 这是在计算机出现以后的一个新的特点 这是在计算机出现以后的一个新的特点. 一些 k.这是在计算机出现以后的一个新的特点 但是我们更关心的是当时间趋于无穷时,即 趋于 但是我们更关心的是当时间趋于无穷时 即k趋于 无穷时, 的极限如何. 无穷时 xk的极限如何

数值计算
b\k

xk +1 = bxk (1 xk )
2 3 4 5 6 7 8

(2)

0 0.2 0.2 0.3 0.2 0.3 9

1

1.2 1.8 2.4 2.8 3.2
b\k

.192 .186 .182 .179 .176 .174 .172 .171 .288 .369 .419 .438 .443 .444 .4444 .4444 .504 .600 .576 .586 .582 .584 .5831 .5834 .448 .692 .597 .6737 .6155 .6626 .6260 .6555 .672 .705 .6655 .7123 .6558 .7223 .6418 .7357 10 11 12 13 14 15 16 17

1.2 1.8 2.4 2.8 3.2

.170 .169 .1685 .168 .1677 .1675 .1673 .1672 .1671
.4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .5833 .58335 .58333 .58333 .58333 .58333 .58333 .58333 .58333 .6323 .6510 .6362 .6481 .6386 .6462 .6402 .6450 .6411 .6222 .7522 .5965 .7702 .5664 .7859 .5384 .7953 .5210

归 纳 看 到 的 现 象

平衡点及其稳定性 x k +1 = bx k (1 x k )

(2)

我们很容易求得差分方程(2)的平衡点为 和 我们很容易求得差分方程 的平衡点为0和(b-1)/b.它 的平衡点为 它 们分别对应于差分方程(1)的平衡点 的平衡点0和 们分别对应于差分方程 的平衡点 和N. 我们将这个差分方程(2)在平衡点附近展开 有 我们将这个差分方程 在平衡点附近展开,有 在平衡点附近展开

x = 0处 : x k +1 = bx k 处
注意到b=1+r>1,平衡点 是不稳定的 平衡点0是不稳定的 注意到 平衡点 是不稳定的.

1 2 x* = 1 : xk +1 x* = b( xk x*) + (2 b)( xk x*) b
略去高阶项得

xk +1 x* = (2 b)( xk x*)

因此当|2-b|<1时,平衡点 = (b-1)/b是稳定的 |2-b|>1即 时 平衡点 平衡点x*= 是稳定的. 因此当 是稳定的 即 b>3时,平衡点 是不稳定的 平衡点x*是不稳定的 时 平衡点 是不稳定的. 由于b=r+1,结论表明只有 时y*=N才是差分 结论表明只有r<2时 注:由于 由于 结论表明只有 才是差分 方程(1)的平衡点 这与微分方程不同,微分方程中 的平衡点;这与微分方程不同 方程 的平衡点 这与微分方程不同 微分方程中 y=N是稳定的平衡点 没有条件 是稳定的平衡点(没有条件 是稳定的平衡点 没有条件). 事情至此好像结束了.当然 我们还可以进一步判断稳 事情至此好像结束了 当然,我们还可以进一步判断稳 当然 定的平衡点是否为全局稳定的.但是 数值计算表明,对 但是,数值计算表明 定的平衡点是否为全局稳定的 但是 数值计算表明 对 于有些b值 平衡点不稳定 但是x 平衡点不稳定,但是 于有些 值,平衡点不稳定 但是 k好象在某几个值附近 循环摆动. 循环摆动 我们只需要用计算器多迭代计 算几次即可. 算几次即可

倍周期收敛
平衡点x*是稳定的 当b<3时,平衡点 是稳定的 我们称之为单周期收敛 时 平衡点 是稳定的. 我们称之为单周期收敛. 平衡点x*是不稳定的 如果序列x 当b>3时,平衡点 是不稳定的 如果序列 k存在两个 时 平衡点 是不稳定的.如果序列 收敛的子列我们就称之为2倍周期收敛 倍周期收敛. 收敛的子列我们就称之为 倍周期收敛 一般地,我们记 式为 一般地 我们记(2)式为 我们记

xk+1 = f (xk )

(3)

xk+2 = f (xk+1) = f [ f (xk )] =: f2 (xk )
x = f 2 ( x)
xk+1 = bxk (1 xk ) (2)

(4)
(5)

所谓2倍周期收敛的点就是 式的平衡点 所谓 倍周期收敛的点就是(4)式的平衡点 即满足 倍周期收敛的点就是 式的平衡点:即满足

x = f 2 ( x)
* x1

(5)
= f
* ( x1 )

= f

* * ( x 2 ), x 2

(5′)

本例

x = f [ f ( x)] = b bx(1 x)[1 bx(1 x)]
(b + 1) ± (b 3)(b + 1) x= 2b
* x1

(2)的平衡点为 和(b-1)/b.仍然满足上式 现在我们求的 的平衡点为0和 仍然满足上式,现在我们求的 的平衡点为 仍然满足上式 是另外两个根: 是另外两个根

不难验证 : b > 3时, 有 0 <


′ ( x) = b 2 [1 2(1 + b 2 ) x + 6b 2 x 2 4b 2 x 3 ] 由于f 2
′ = {b[ f ( x) f 2 ( x)]}′ f2 = bf ′( x)[1 2 f ( x)] = b 2 (1 2 x)[1 2 f ( x)]

< x* <

* x2

<1



′ | = b 2 (1 2 x * )(1 2 x * ) f 2 x* 1 2
1, 2

故这两个平衡点具有相同的稳定性.且 故这两个平衡点具有相同的稳定性 且
1, 2

* * f 2 ′ | x* = b 2 (1 2 x1 )(1 2 x 2 ) = b 2 + 2b + 4

在b > 3内解不等式 1 < b 2 + 2b + 4 < 1 得3 < b < 1 + 6 .
结论: 结论

当3 < b < 1 + 当b > 1 +

* 6时, 平衡点x1, 2 是稳定的.

* 6时, 平衡点x1, 2 是不稳定的.

当3 < b < 1 + 6时,虽然(2)的平衡点 x * 是不稳定的, * 但是 (4)的平衡点 x1, 2 是稳定的.这表明 : 子列 x 2 k 以及
* * x 2 k 1会收敛到 x1 或x 2 .

两个2倍周期平衡点为 如:当b=3.2时,两个 倍周期平衡点为 当 时 两个 倍周期平衡点为0.513,0.79945. 这个结论表明:这个生物种群离散阻滞型模型 当 这个结论表明 这个生物种群离散阻滞型模型,当 这个生物种群离散阻滞型模型 2<r<2.449时,如果从单代 一个繁殖周期 的角度来看 其 如果从单代(一个繁殖周期 的角度来看,其 时 如果从单代 一个繁殖周期)的角度来看 数量是不稳定的;但是如果从隔代的角度来看 但是如果从隔代的角度来看,其数量是 数量是不稳定的 但是如果从隔代的角度来看 其数量是 稳定的.这就是我们为什么说它是 倍周期收敛的原因. 这就是我们为什么说它是2倍周期收敛的原因 稳定的 这就是我们为什么说它是 倍周期收敛的原因
* 当b > 1 + 6时, 平衡点 x1, 2 是不稳定的.这时我们 可以考虑 4倍周期收敛

xk + 4 = f

f

f

f ( xk ) = f 4 ( xk )

类似的讨论可得 : 当3.449 < b < 3.544时, 上式有4个稳定的平衡点.
如:当b=3.45时,4倍周期平衡点为 当 时 倍周期平衡点为 0.4474,0.8530,0.4327,0.8469.

类似地,我们可以对模型 继续讨论其 类似地 我们可以对模型(2)继续讨论其 n倍周期收敛 我们可以对模型 继续讨论其2 问题,其收敛性完全由参数 的取值确定.记 为 其收敛性完全由参数b的取值确定 问题 其收敛性完全由参数 的取值确定 记bn为2n倍 周期收敛的上限,计算表明 计算表明:b0=3,b1=3.449,b2=3.544, 周期收敛的上限 计算表明 b3=3.564,b4=3.569,b5=3.5697,b6=3.5699,……

bn → 3.569945672 = b∞

bn bn1 δ = lim n→ ∞ b n +1 bn = 4.669201609.
Feigenbaum 常数. 常数

3

3.3

3.6

当b > b∞时,就不再存在任何 2 n 倍周期收敛, 倍周期收敛, 系统由倍分途径进入" 混沌" 系统由倍分途径进入" 混沌"状态.(chaos)
混沌现象的一个显著特征是对初值依赖的极度敏感. 混沌现象的一个显著特征是对初值依赖的极度敏感 对两个初值x 迭代100 如:当b=3.7时,对两个初值 0=0.2,x01=0.20001,迭代 当 时 对两个初值 迭代 次后我们发现前者的新值为0.4814,而后者的新值为 次后我们发现前者的新值为 而后者的新值为 0.2572,迭代 迭代200次后分别为 次后分别为0.7535,0.7022相差很大 这 相差很大.这 迭代 次后分别为 相差很大 就是所谓的"蝴蝶效应" 就是所谓的"蝴蝶效应". 另外,在混沌区 也并非都是乱成一片,有时候 另外 在混沌区,b∞<b<4,也并非都是乱成一片 有时候 在混沌区 也并非都是乱成一片 会有其他的周期收敛:如 倍周期收敛, 会有其他的周期收敛 如b=3.83时,呈3倍周期收敛 时 呈 倍周期收敛 (0.1561493,0.5046665,0.9574166),b=3.84时,也呈 也呈3 时 也呈 倍周期收敛(0.1494069, 0.4880044, 0.9594474),另 倍周期收敛 另 其它的整数周期收敛都可能出现,如 外,其它的整数周期收敛都可能出现 如b=3.845呈6倍 其它的整数周期收敛都可能出现 呈 倍 周期收敛. 周期收敛

本例

x = b bx(1 x)[1 bx(1 x)]
1 = b (1 x)[1 bx(1 x)]
2 3 2 3 3

(2)的平衡点为 和(b-1)/b.仍然满足上式 现在我们求的 的平衡点为0和 仍然满足上式,现在我们求的 的平衡点为 仍然满足上式 是另外两个根: 是另外两个根 2

b 1 (b + b ) x + 2b x b x = 0 b 1 3 2 3 2 2 (x )[ b x + (b + b ) x (b + b )] = 0 b
2 3

b 2 x 2 + (b 2 + b) x (1 + b) = 0

2b 2 (b + 1) ± (1 + b) 2 4(b + 1) (b + 1) ± b 2 2b 3 = = 2b 2b

x=

(b 2 + b) ± (b 2 + b) 2 4b 2 (b + 1)


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