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【全程复习方略】高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修1-2_图文

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 1.实数系经过扩充后得到的新数集是什么?复数 问题 集如何分类? 引航 2.复数能否比较大小?复数相等的充要条件是什 么?纯虚数、虚数、实数、复数关系如何? 1.复数 a+bi(a,b∈R) (1)表示方法:复数通常用z表示,即z=_____________. (2)代数式中各字母的名称: 实部 虚部 虚数单位 (3)复数z=a+bi 的分类及满足条件 实数 _____b=0 , 复数a+bi(a,b∈R) 虚数 _____b≠ 0 纯虚数a=0,b≠0, 非纯虚数a≠0,b≠0. 2.复数的相等 a=c且b=d ,b,c,d∈R). a+bi=c+di ?___________(a 3.复数集 全体复数 所构成的集合叫做复数集. (1)定义:由_________ C 表示. (2)表示:通常用大写字母__ (3)关系:用图形表示N,Z,Q,R间的关系 R Q Z N 1.判一判 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( (2)若a为实数,则z= a一定不是虚数.( (3)bi是纯虚数.( ) ) ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个 复数相等.( ) 【解析】(1)错误,若b=0,则z=a+bi为实数. (2)正确.因为a为实数,所以z=a中没有虚部,一定不是虚数. 它是实数. (3)错误,若b=i,则bi=i2=-1.故bi不一定是纯虚数. (4)正确,由复数相等的概念可得. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若a+bi=0,则实数a=_______,实数b=________. (2)(1+ 3 )i的实部与虚部分别是________. (3)若复数(a+1)+(a2-1)i(a∈R)是实数,则a=______. 【解析】(1)由复数相等的概念得a=0,b=0. 答案:0 0 (2)(1+ 3 )i可看作0+(1+ 3 )i=a+bi, 所以实部a=0,虚部b=1+ 3. 答案:0,1+ 3 (3)(a+1)+(a2-1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2-1=0, 所以a=±1. 答案:±1 【要点探究】 知识点1 数系的扩充与分类 1.数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系. 2.虚数单位i性质的两个关注点 (1)i2=-1的理解:并没有规定 i ? ? -, 1 还是 i ? - 1或 i ? - -, 1 在今后的学习中,我们将知道 - 1 ? ?i, 但不 能说 i ? ? - 1. (2)i与实数之间可以进行四则运算:这条性质是数系扩充的 原则之一,这里只提到加、乘运算,没提到减、除运算,并 不是对减法与除法不成立,而是为了后面讲复数的四则运 算时,只对加法乘法法则作出规定,而把减法、除法作为 加法、乘法的逆运算的做法相一致. 3.实部与虚部的要求:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是 z的实部,b才是z的虚部. 【知识拓展】数系扩充的原则 数系扩充时,一般要遵循以下原则: (1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集. (2) 在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主 要性质(如运算定律)依然适用. (3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变. (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾. 【微思考】 (1)复数m+ni的实部是m,虚部是n吗? 提示:不一定,只有当m,n∈R时,m才是实部,n才是虚部. (2)i可以除以任何实数吗? 提示:不可以 .i 既然与实数之间建立了四则运算关系 , 运算与 实数一致,由于在实数运算中0不能作除数,故 i 不可以除以任 何实数. 【即时练】 完成下列表格(分类栏填实数、虚数或纯虚数) 4 实部 2-3i 0 1 4 - ? i 2 3 5 ? 2i 6i i2 虚部 分类 【解析】 4 实部 4 2-3i 2 0 0 虚部 0 分类 -3 0 1 4 - ? i 2 3 1 - 2 4 3 5 ? 2i 6i 0 i2 -1 5 2 6 纯虚数 0 实数 实 实 虚数 数 数 虚数 虚数 知识点2 复数的相等 对复数相等的两点说明 (1)两个复数相等的充要条件的理解 若z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).则z1=z2?a=c且b=d.利用这 一结论,可以把复数问题转化为实数问题进行解决,并且一个复 数等式可以转化为两个实数等式,通过解方程组得到解决. (2)不能比较大小:一般对两个虚数只能说相等或不相等;不能 比较大小.由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集 中很多结论在复数集中不再成立. 【微思考】 (1)z1,z2是复数,z1-z2>0,那么z1>z2,这个命题是真命题吗? 提示:假命题.例如,z1=1+i,z2=-2+i,z1-z2=3>0,但z1>z2无意义, 因为虚数不能比较大小. 2 2 (2)若z1,z2∈R, z1 +z2 =0,则z1=z2=0,此命题对z1,z2∈C还成立 吗? 2 2 提示:不一定成立.比如z1=1,z2=i满足 z1 但z1≠0,z2≠0. +z2 =0, (3)两个复数一定不能比较大小对吗? 提示:不一定,当两个复数都是实数时,可以比较大小;两个虚数、 或一个虚数与一个实数不能比较大小,即两个复数除去都是实 数外,没有大小关系. 【即时练】 如果(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别为( A.x=1,y=-1 C.x=1,y=0 B.x=0,y=-1 D.x=0,y=0 ? x-1 ? 0, ) x ? y ? 0, 【


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