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2015-2016学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末过关检测 新人教A版选修2-1


第三章

空间向量与立体几何

(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求)

1.空间直角坐标系中 A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D (4,1,3),则直线

AB 与 CD 的位置关系是(
A.平行

)

B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定

→ → → → → → 1.解析:∵AB=(-2,-2,2),CD=(1,1,-1),又∵AB=-2CD,∴AB∥CD,即

AB∥CD.
答案:A 2. 若直线 l 的方向向量为 a=(1, 0, 2), 平面 α 的法向量为 n=(-2, 0, -4), 则( A.l∥α C.l? α B.l⊥α D.l 与 α 相交 )

2.解析:∵n=-2a,∴a 与 α 的法向量平行,∴l⊥α . 答案:B 3.已知向量 a=(0,2,1),b=(-1,1,-2),则 a 与 b 的夹角为( A.0° B.45° C.90° D.180° )

3.解析:∵cos〈a,b〉= 答案:C

a?b 2-2 = =0,∴〈a,b〉=90°. |a||b| 5? 6

4.空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等,E 是 BC 的中点,那么( → → → → → → → → A.AE?BC<AE?CD B.AE?BC=AE?CD → → → → → → → → C.AE?BC>AE?CD D.AE?BC与AE?CD的大小不能比较

)

1 → → → → 4. 解析: 取 BD 的中点 F, 连接 EF, 则 EF= CD 且 EF∥CD, 因为 〈AE, EF〉 = 〈AE, CD〉 >90°, 2 → → → → → → → → 因为AE?BC=0,AE?CD<0,所以AE?BC>AE?CD. 答案:C → → → 5.如图,在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中,已知AB=a,AD=b,AA1=c,则用向量 a,b,

c 可表示向量BD1 等于(



)

1

A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.-a+b+c → → → → 5.解析:BD1=BA+AD+DD1=-a+b+c. 答案:D 6.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n=(6,-3,6),则 下列点 P 中,在平面 α 内的是( )

A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4)

→ 6.解析:逐一验证法,对于选项 A,MP=(1,4,1), → → ∴ MP?n=6-12+6=0,∴MP⊥n, ∴点 P 在平面 α 内,同理可验证其他三个点不在平面 α 内. 答案:A 7.已知 a?b=0,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)?(λ a-b)=0,则 λ 等于( A. 3 3 3 B.- C.± D.1 2 2 2
2 2

)

7.解析:由 a?b=0 及(3a+2b)?(λ a-b)=0,得 3λ a =2b ,又|a|=2,|b|=3, 3 所以 λ = ,故选 A. 2 答案:A → → → → → → 8.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足AB?AC=0,AC?AD=0,AB?AD=0, 则△BCD 是( )

A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 → → → → → → →2 8.解析:在△BCD 中,BC?BD=(AC-AB)?(AD-AB)=AB >0,∴∠B 为锐角,同理, ∠C,∠D 均为锐角,∴△BCD 为锐角三角形. 答案:B → → 9.已知 A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则 sin ?AB,CD?等 于( )

2

A.-

2 2 B. 3 3

C.

5 3

D.-

5 3

→ → 9.解析:AB=(1,0,0),CD=(-2,-2,1), → → AB?CD -2 2 → → 所以 cos ?AB,CD?= = =- . → → 1?3 3 |AB||CD| → → ?π ? 所以?AB,CD?∈? ,π ?. ?2 ? → → 所 以 sin ?AB,CD?= 2 5 ? 2? 1-?- ? = . 3 ? 3? 答案:C 10. 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 平面 OAB 的一个法向量为 n=(2, -2, 1), 已知点 P(- 1,3,2),则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( A.4 B.2 C.3 D.1 → |OP?n| |-2-6+2| 10.解析:P 点到平面 OAB 的距离为 d= = =2,故选 B. |n| 9 答案:B 11.(2014?北京卷)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0, 2,0),D(1,1, 2).若 S1,S2,S3 分别是三棱锥 DABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正 投影图形的面积,则( A.S1=S2=S3 ) )
2 →,→?= 1-cos ?AB CD

B.S2=S1 且 S2≠S3

C.S3=S1 且 S3≠S2 D.S3=S2 且 S3≠S1 11.解析:设顶点 D 在三个坐标平面 xOy、yOz、zOx 上的正投影分别为 D1、D2、D3,则

AD1=BD1= 2,AB=2, ∴S1= ?2?2=2, S2=S△O CD2= ?2? 2= 2,S3=S△OAD3= ?
2? 2= 2.故选 D. 答案:D → → → 12.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,则 → → 当QA?QB取得最小值时,点 Q 的坐标为( )

1 2

1 2

1 2

3

?1 3 1? A.? , , ? ?2 4 3?

?1 3 3? B.? , , ? ?2 2 4?

?4 4 8? C.? , , ? ?3 3 3?

?4 4 7? D.? , , ? ?3 3 3?

→ → → 12.解析:设 Q(x,y,z),因 Q 在OP上,故有OQ∥OP,可得:x=λ ,y=λ ,z=2λ , → → → → 则 Q(λ , λ , 2λ ), QA=(1-λ , 2-λ , 3-2λ ), QB=(2-λ , 1-λ , 2-2λ ), 所以QA? QB 4?2 2 4 → → ? ?4 4 8? 2 =6λ -16λ +10=6?λ - ? - ,故当 λ = 时,QA?QB取最小值,此时 Q? , , ?,故 3 3 ? ? 3 ?3 3 3? 选 C. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) → → → 13.已知 P 和不共线三点 A,B,C 四点共面且对于空间任一点 O,都有OP=2OA+OB+ → λ OC,则 λ =__ ______. → → → → 13.解析:P 与不共线 三点 A,B,C 共面,且OP=xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R),则 x +y+z=1 是四点共面的充要条件. 答案:-2 14.已知向量 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),若 a⊥b,则 x=________;若 a∥b, 则 x=______. 10 14.解析:若 a⊥b,则-8-2+3x=0,x= ; 3 若 a∥b,则 2∶(-4)=(-1)∶2=3∶x,x=-6. 10 答案: -6 3 15.设 a,b 是直线,α ,β 是平面,a⊥α ,b⊥β ,向量 a1 在 a 上,向量 b1 在 b 上,

a1=(1,1,1),b1=(-3,4,0),则 α ,β 所成二面角中较小的一个的余弦值为________.
|a1?b1| (1,1,1)?(-3,4,0) 15.解析:由题意,cos θ =|cos〈a1,b1〉|= = |a1||b1| 3?5 = 3 . 15

4

答案:

3 15

? ? π ?? 16.如图所示,已知二面角 α lβ 的平面角为 θ ?θ ∈?0, ??,AB⊥BC,BC⊥CD,AB 2 ?? ? ?
在平面 β 内,BC 在 l 上,CD 在平面 α 内,若 AB=BC=CD=1,则 AD 的长为________.

→ → → → 16.解析:AD=AB+BC+CD, →2 →2 →2 →2 → → → → → → 所以AD =AB +BC +CD +2AB?CD+2AB?BC+2BC?CD=1+1+1+2cos(π -θ )=3- 2cos θ . → 所以|AD|= 3-2cos θ ,即 AD 的长为 3-2cos θ . 答案: 3-2cos θ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 11 分)如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1D1,AB 1 的中点,E 在 AA1 上且 AE=2EA1,F 在 CC1 上且 CF= FC1,试证明 ME∥NF. 2

17.证明:由平行六面体的性质 → →

ME=MD1+D1A1+A1E= C1D1-AD+ A1A=- AB-AD- AA1, NF=NB+BC+CF= AB+AD+ CC1= AB+AD+ AA1,
→ → ∴ME=-NF, 又 M,E,N,F 不共线,∴ME∥NF. 18.(本小题满分 11 分)已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4), → → → 1→ 2 → 1→ 3 1→ → 2 1→ 3







1→ 2



1→ 3

1→ 2



1→ 3

→ → 设 a=AB,b=AC.
5

(1)求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值. → 18.解析:a=AB=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),

b=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2). a?b -1+0+0 10 (1)cos θ = = =- , |a||b| 10 2? 5
所以 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值为- 10 . 10



(2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),

ka-2b=(k,k,0)-(- 2,0,4)=(k+2,k,-4),
所以(k-1,k,2)?(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k -8=0. 5 2 即 2k +k-10=0,所以 k=- 或 k=2. 2 19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,
2

AP=AB=2,BC=2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点.证明:PC⊥平面 BEF.

19.证明:如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系.

因为 AP=AB=2,BC=AD=2 2,四边形 ABCD 是矩形,所以 A,B,C,D,P 的坐标 分 别为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 2,0),D(0,2 2,0),P(0,0,2). 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点, 所以 E(0, 2,0),F(1, 2,1).

6

→ → → 所以PC=(2,2 2,-2),BF=(-1, 2,1),EF=(1,0,1). → → → → 所以PC?BF=-2+4-2=0,PC?EF=2+0-2=0. → → → → 所以PC⊥BF,PC⊥EF. 所以 PC⊥BF,PC⊥EF. 又 BF∩EF=F, 所以 PC⊥平面 BEF. 20.(本小题满分 12 分)(2014?新课标全国卷Ⅱ)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 DAEC 为 60°,AP=1,AD= 3,求三棱锥 EACD 的体积.

20.(1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. 因为 EO? 平面 AEC,PB?平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC. (2)解析:因为 PA⊥平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直.

→ → → → 如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,|AP|为单位 长,建立空间直角坐标系 A?xyz,则 D(0, 3,0),E?0,

? ?

3 1? → ? 3 1? , ?,AE=?0, , ?. 2 2? 2 2? ?

7

→ 设 B(m,0,0)(m>0),则 C(m, 3,0),AC=(m, 3,0). 设 n1=(x,y, z)为平面 ACE 的法向量,

?mx+ 3y=0, → ? ?n1?AC=0, ? 则? 即? 3 1 → y+ z=0, ? ?n1?AE=0, ? 2 ?2
可取 n1=?

? 3 ? ,-1, 3?. ?m ?

又 n2=(1,0,0)为平面 DAE 的法向量, 1 由题设易知|cos〈n1,n2〉|= ,即 2 3 1 3 2= ,解得 m= . 3+4m 2 2

1 因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 EACD 的高为 . 2 1 1 3 1 3 三棱锥 EACD 的体积 V= ? ? 3? ? = . 3 2 2 2 8 21.(本小题满分 12 分)如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, P 是侧棱 CC1 上一点,

CP=m.试确定 m 使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°.

21.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,

m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).

→ → → → 则BD=(-1,-1,0),BB1=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-1,1,0). → → → → → 又由AC?BD=0,AC?BB1=0 知,AC为平面 BB1D1D 的一个法向量. 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ ,

8

→ → |AP?AC| 2 → → 则 sin θ =|cos〈AP,AC〉|= = , 2 → → 2+m ? 2 |AP||AC| 依题意得 2 2+m ? 2
2

=sin 60°=

3 6 ,解得 m= . 2 3

故当 m=

6 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60°. 3

22.(本小题满分 12 分)(2014?广州一模)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 点 E 是棱 D1D 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F=2FB. (1)求证:EF⊥A1C1; (2)在棱 C1C 上确定一点 G,使 A,E,G,F 四点共面,并求此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值.

22.(1)证明:以点 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图的空间直角坐标系, 1 ? ? 则 A(a,0,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),E?0,0, a?, 2 ? ?

F(a,a, a),
1 ? → → ? 所以A1C1=(-a,a,0),EF=?a,a,- a?. 6 ? ? → → 2 2 因为A1C1?EF=-a +a +0=0, → → 所以A1C1⊥EF. 所以 EF⊥A1C1. (2)解析:设 G(0,a,h),因为平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1, 平面 ADD1A1∩平面 AEGF=AE,平面 BCC1B1∩平面 AEGF=FG,

1 3

9

所以 FG∥AE. → → 所以存在实数 λ ,使得FG=λ AE. 1 ? → ? 1 ? → ? 因为AE=?-a,0, a?,FG=?-a,0,h- a?, 2 ? 3 ? ? ? 1 ? ? 所以?-a,0,h- a?=λ 3 ? ? 5 所以 λ =1,h= a. 6 5 1 所以 C1G=CC1-CG=a- a= a. 6 6 1 故当 C1G= a 时,A,E,G,F 四点共面. 6 1 ? → ? 1 ? → ? (3)解析:由(1)知,AE=?-a,0, a?,AF=?0,a, a?. 2 ? 3 ? ? ? 设 n=(x,y,z)是平面 AEF 的法向量, → ? ?n?AE=0, 则? → ? ?n?AF=0. 1 ? ?-ax+2az=0, 即? 1 ?ay+3az=0. ? 取 z=6,则 x =3,y=-2. 所以 n=(3,-2,6)是平 面 AEF 的一个法向量. → 而DD1=(0,0,a)是平面 ABCD 的一个法向量, 设 平 面 AEF 与 平 面 ABCD 所 成 的 二 面 角 为 θ , 则 cos θ = → |n?DD1| = → |n|?|DD1|

?-a,0,1a?. ? 2 ? ? ?

10

|0?3+0?(-2)+a?6|
2 2 2

6 = . 7 3 +(-2) +6 ?|a| 6 故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 . 7

11


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