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新高中数学第一章三角函数1-4-3正切函数的性质与图象学案含解析新人教A版必修4

新高中数学第一章三角函数 1-4-3 正切函数的性质与图象学案含解析 新人教 A 版必修 4 正切函数的性质与图象

正切函数的性质 [提出问题] 问题 1:正切函数 y=tan x 的定义域是什么?
? ? ? π 提示:?x?x≠kπ + ,k∈Z? 2 ? ? ?

.

问题 2:诱导公式 tan(π +x)=tan x 说明了正切函数的什么性质?tan(kπ +x)(k∈Z) 与 tan x 的关系怎样? 提示:周期性.tan(kπ +x)=tan x(k∈Z). 问题 3:诱导公式 tan(-x)=-tan x 说明了正切函数的什么性质? 提示:奇偶性. 问题 4:从正切线上观察,正切函数值是有界的吗? 提示:不是,正切函数没有最大值和最小值.

? π? 问题 5:从正切线上观察,正切函数值在?0, ?上是增大的吗? 2? ?
提示:是的. [导入新知] 正切函数的性质 函数 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 [化解疑难] 细解正切函数的性质 π (1)正切函数 y=tan x 的定义域是 xx∈R 且 x≠ +kπ ,k∈Z,值域是全体实数. 2 (2)正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π .一般地, 函数 y=Atan(ω x+φ )+B(A>0, ω >0) - 1 - / 11

y=tan x
? ? ? π ?x?x≠kπ + ,k∈Z? 2 ? ? ?

R

T=π
奇函数 π π? ? 在每个开区间?kπ - ,kπ + ?(k∈Z)上都是增函数 2 2? ?

π π 的最小正周期是 T= .若不知 ω 正负,则该函数的最小正周期为 T= . ω |ω | (3)正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是递增的,并且每个单调区间均为 开区间,不能写成闭区间. 正切函数的图象 [提出问题] 问题 1:你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗? 提示:过单位圆与 x 正半轴的交点 A,作垂直于 x 轴的直线,交角的终边或其反向延长线 于点 T,则有向线段 AT 即为该角的正切线. 问题 2:仿照利用正弦线作正弦曲线的作法,你能根据正切线作出正切曲线吗? 提示:能. [导入新知] 正切函数的图象 (1)正切函数的图象:

(2)正切函数的图象叫做正切曲线. (3)正切函数的图象特征: π 正切曲线是由被相互平行的直线 x= +kπ ,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的. 2 [化解疑难] 正切函数是奇函数,图象关于原点对称,与 x 轴有无数个交点,因此有无穷多个对称中 心,对称中心坐标是?

?kπ ,0?,k∈Z,正切函数的图象无对称轴. ? ? 2 ?

正切函数的定义域、值域问题 [例 1] 求下列函数的定义域和值域:

? π? (1)y=tan?x+ ?;(2)y= 4? ?

3-tan x.

π π [解] (1)由 x+ ≠kπ + (k∈Z)得, 4 2

- 2 - / 11

x≠kπ + ,k∈Z,
π ? π? 所以函数 y=tan?x+ ?的定义域为 xx≠kπ + ,k∈Z,其值域为(-∞,+∞). 4 4 ? ? (2)由 3-tan x≥0 得,tan x≤ 3.

π 4

? π π? 结合 y=tan x 的图象可知,在?- , ?上, ? 2 2?
π π 满足 tan x≤ 3的角 x 应满足- <x≤ , 2 3 所以函数 y= 3-tan x的定义域为 ,其值域为[0,+∞).

? ? ? π π ?x?kπ - <x≤kπ + ,k∈Z? 2 3 ? ? ?

[类题通法] 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切 π 函数 y=tan x 有意义,即 x≠ +kπ ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的 2 图象求解.解形如 tan x>a 的不等式的步骤:

[活学活用] 1 求函数 y= 的定义域. 1+tan x
? ? ? π π 答案:?x?x≠kπ - 且x≠kπ + ,k∈Z? 4 2 ? ? ?

正切函数的单调性及应用

?1 π ? [例 2] (1)求函数 y=tan? x- ?的单调区间; 4? ?2 ? 13π ?与 tan?-12π ?的大小. (2)比较 tan?- ? 4 ? 5 ? ? ? ? ?
π 1 π π [解] (1)由 kπ - < x- <kπ + (k∈Z)得, 2 2 4 2

- 3 - / 11

π 3π 2kπ - <x<2kπ + ,k∈Z, 2 2 π 3π ? ?1 π ? ? 所以函数 y=tan? x- ?的单调递增区间是?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 2 4 2 2 ? ? ? ? 12π 2π ? 13π ?=tan?-4π +3π ?=tan3π =-tanπ , (2)由于 tan?- tan- =-tan2π + ? ? ? 4 ? 4 ? 4 4 5 5 ? ? 2π =-tan , 5 π 2π π 又因为 0< < < , 4 5 2

? π? 而 y=tan x 在?0, ?上单调递增, 2? ?
π 2π π 2π 所以 tan <tan ,-tan >-tan , 4 5 4 5

? 13π ?>tan?-12π ?. 即 tan?- ? 4 ? 5 ? ? ? ? ?
[类题通法] 1.求函数 y=Atan(ω x+φ )(A,ω ,φ 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 ω >0,由于 y=tan x 在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思 π π 想,令 kπ - <ω x+φ <kπ + ,求得 x 的范围即可. 2 2 (2)若 ω <0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ω x+φ )转化为 y=Atan[-(-ω x-φ )]= -Atan(-ω x-φ ),即把 x 的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的范围即 可. 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. [活学活用] 1.比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小. 答案:tan 2<tan 3<tan 1

?π ? 2.求函数 y=3tan? -2x?的单调区间. ?4 ? ? π kπ 3π kπ ? 答案:单调递减区间为?- + , + ?(k∈Z) 2 8 2 ? ? 8
与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 π? ? [例 3] (1)求 f(x)=tan?2x+ ?的最小正周期; 3? ? - 4 - / 11

(2)判断 y=sin x+tan x 的奇偶性. π π? ? ? ? [解] (1)∵tan?2x+ +π ?=tan?2x+ ?, 3 3? ? ? ? π? ? ? π? π? ? 即 tan?2?x+ ?+ ?=tan?2x+ ?, 2 3? ? 3? ? ? ? π? π ? ∴f(x)=tan?2x+ ?的周期是 . 3 2 ? ?
? ? π ? (2)定义域为?x?x≠kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?,关于原点对称, ? ?

∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x), ∴它是奇函数. [类题通法] 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地, 函数 y=Atan(ω x+φ )的最小正周期为 T= π , 常常利用此公式来求周期. |ω |

(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该 函数无奇偶性;若对称,再判断 f(-x)与 f(x)的关系. [活学活用] 关于 x 的函数 f(x)=tan(x+φ )有以下几种说法: ①对任意的 φ ,f(x)都是非奇非偶函数;

?π ? ②f(x)的图象关于? -φ ,0?对称; ?2 ?
③f(x)的图象关于(π -φ ,0)对称; ④f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数. 其中不正确的说法的序号是________. 答案:①

4.三角函数解析式与图象的对应 [典例] (山东高考)函数 y=xcos x+sin x 的图象大致为( )

- 5 - / 11

[解析] 由函数 y=xcos x+sin x 是奇函数,排除 B.当 x=π 时,y=π cos π +sin π π π π π =-π ,排除 A.当 x= 时,y= cos +sin >0,排除 C.故选 D. 4 4 4 4 [答案] D [多维探究] 函数图象与解析式的对应在近几年高考中出现得并不频繁,多以选择题的形式出现,解 题时常从函数的奇偶性、单调性、图象上的特殊点着手逐一排除错误选项,从而得出正确结 论. [活学活用]

? 1? 1.(浙江高考)函数 f(x)=?x- ?cos x(-π ≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为( ?
x?

)

答案:D 2.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是( )

- 6 - / 11

答案:D 3.(浙江高考)函数 y=sin x 的图象是(
2

)

答案:D

[随堂即时演练]

? π? 1.下列函数中,既是以 π 为周期的奇函数,又是?0, ?上的增函数的是( 2? ?
A.y=tan x B.y=tan 2x C.y=tan

)

x
2

D.y=|sin x| 答案:A 2.函数 y=tan(cos x)的值域是( )

? π π? A.?- , ? ? 4 4?
B.?-

? ?

2 2? , ? 2 2?

C.[-tan 1,tan 1] D.以上均不对 答案:C - 7 - / 11

3.函数 y=5tan?- ?的最小正周期是________. ? 2? 答案:2π

? x?

? π π? 4.函数 y=tan x-1,x∈?- , ?的值域为________. ? 4 3?
答案:[-2, 3-1]

?1 π ? 5.求函数 y=tan? x- ?的定义域、最小正周期及单调区间. 6? ?2
? ? ? 4π 答案: 定义域为?x?x≠ +2kπ ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? 2π ?; 最小正周期为 2π ; 单调递增区间为- + 3 ? ?

4π 2kπ , +2kπ (k∈Z) 3 [课时达标检测] 一、选择题 π? ? 1.与函数 y=tan?2x+ ?的图象不相交的一条直线是( 4? ? π A.x= 2 π C.x= 4 答案:D π B.x=- 2 π D.x= 8 )

? 3π 3π ? 2.在区间?- , ?内,函数 y=tan x 与函数 y=sin x 的图象交点的个数为( 2 ? ? 2
A.1 C.3 答案:C 3.函数 y= 1 log tan x的定义域是( 2 +kπ ,k∈Z ) B.2 D.4

)

? π A.x?x≤ 4 ?

π ? B.x?2kπ <x≤2kπ + 4 ? π ? C.x?kπ <x≤kπ + 4 ? π ? D.x?2kπ - 2 ? 答案:C

,k∈Z

,k∈Z

π <x≤kπ + ,k∈Z 4

- 8 - / 11

4.下列图形分别是①y=|tan x|,②y=tan x,③y=tan(-x),④y=tan |x|在 x∈

?-3π ,3π ?内的大致图象,那么由 a 到 d 对应的函数关系式应是( ? 2 2 ? ? ?

)

A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 答案:D

? π? 5.下列关于函数 y=tan?x+ ?的说法正确的是( 3? ? ? π 5π ? A.在区间?- , ?上单调递增 6 ? ? 6
B.最小正周期是 π

)

?π ? C.图象关于点? ,0?成中心对称 ?4 ?
π D.图象关于直线 x= 成轴对称 6 答案:B 二、填空题 π ?π ? 6. 函数 f(x)=tan ω x(ω >0)的图象的相邻两支截直线 y=1 所得线段长为 , 则 f? ? 的 4 ?12? 值是________. 答案: 3

? π π? 7.已知函数 y=tan ω x 在?- , ?内是单调减函数,则 ω 的取值范围是________. ? 2 2?
答案:[-1,0)

- 9 - / 11

8.若直线 x= 1 3 答案: 或- 4 4 三、解答题



π? ? (|k|≤1)与函数 y=tan?2x+ ?的图象不相交,则 k=________. 4? 2 ?

9.作出函数 y=tan x+|tan x|的图象,并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期.
? ?2tan x,tan x≥0, 解:y=tan x+|tan x|=? ?0,tan x<0. ?

其图象如图所示,

π π? ? 由图象可知,其定义域是?kπ - ,kπ + ?(k∈Z);值域是[0,+∞);单调递增区间 2 2? ? π? ? 是?kπ ,kπ + ?(k∈Z);最小正周期 T=π . 2? ? π π 1 10.若 x∈[- , ],求函数 y= 2 +2tan x+1 的最值及相应的 x 值. 3 4 cos x 1 解:y= 2 +2tan x+1 cos x cos x+sin x = +2tan x+1 2 cos x =tan x+2tan x+2 =(tan x+1) +1. π π ∵x∈[- , ],∴tan x∈[- 3,1]. 3 4 故当 tan x=-1,即 x=- π 时,y 取最小值 1; 4
2 2 2 2

π 当 tan x=1,即 x= 时,y 取最大值 5. 4

π π 2 11.已知- ≤x≤ ,f(x)=tan x+2tan x+2,求 f(x)的最值及相应的 x 值. 3 4 π π 解:∵- ≤x≤ ,∴- 3≤tan x≤1, 3 4 - 10 - / 11

f(x)=tan2x+2tan x+2=(tan x+1)2+1,
π 当 tan x=-1 即 x=- 时,f(x)有最小值 1, 4 π 当 tan x=1 即 x= 时,f(x)有最大值 5. 4

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