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中考数学《第四部第五讲第3课时二次函数与相似三角形》同步练习

第 3 课时 二次函数与相似三角形的综合 (35 分) 1.(15 分)[2017· 宜昌]已知抛物线 y=ax2+bx+c,其中 2a=b>0>c,且 a+b+c =0. (1)直接写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c =0 的一个根; (2)证明:抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 A 在第三象限; (3)直线 y= x+m 与 x,y 轴分别相交于 B,C 两点,与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A,D 两点.设抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴与 x 轴相交于 E,如果 在对称轴左侧的抛物线上存在点 F,使得△ADF 与△BOC 相似,并且 S△ADF 1 =2S△ADE,求此时抛物线的表达式. 【解析】 (1)利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合 得出二次方程的根; (2)确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合,二可借助顶点坐标的正负性; (3)借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标,将坐标转化为 相应的线段长,进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数 的值. 解:(1)ax2+bx+c =0 的一个根为 1(或者-3); b (2)证明:∵b =2a,∴对称轴 x 为=-2a=-1,将 b=2a 代入 a+b+c=0, 得 c=-3a. 4ac-b2 ∵a=b>0>c,∴b -4ac>0,∴ 4a <0, 4ac-b2? ? ?在第三象限; ∴顶点 A?-1, 4a ? ? 2 (3)∵b =2a,c=-3a, ∴x= -b± b2-4ac -2a± 4a = 2a 2a , ∴x1=-3,x2=1, ∴函数表达式为 y=ax2+2ax-3a, 第 1 页 共 11 页 ∵直线 y= x+m 与 x 轴、y 轴分别相交于 B,C,两点,则 OB=OC=|m|, ∴△BOC 是以∠BOC 为直角的等腰直角三角形,这 时直线 y=x+m 与对称轴 x=-1 的夹角∠BAE=45° . 又∵点 F 在对称轴左侧的抛物线上,则∠BAE>45° , 这时△ BOC 与△ ADF 相似, 顶点 A 只可能对应△ BOC 中的直角顶点 O, 即△ ADF 是以 A 为直角顶点的等腰 第 1 题答图 直角三角形,且对称轴是 x=-1,设对称轴 x=-1 与 OF 交于点 G, ∵直线 y=x+m 过顶点 A,∴m=1-4a, ?y=x+1-4a, ?x1=-1, ∴直线表达式为 y=x+1-4a, 解方程组? 解得? 2 ?y=ax +2ax-3a, ?y1=-4a, 1 ? ?x2=a-1, ? 1 ?y2=a-4a, ? 1 ?1 ? 这里的(-1,4a)即为顶点 A,点?a-1,a-4a?即为点 D 的坐标, ? ? 1 1 D 点到对称轴 x=-1 的距离为a-1-(-1)=a,AE=|-4a|=4a, 1 1 S△ ADE=2× 4a=2,即它的面积为定值. a× 这时等腰直角三角形 ADF 的面积为 1,∴底边 DF =2,而 x=-1 是它的对 1 称轴,这时 D,C 重合且在 y 轴上,由a-1=0,∴a=1,此时抛物线的表达 式 y=x2+2x-3 2.(20 分)[2016· 广州一模]如图 5-3-1,在平面直角 坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于 A,B 两点,点 B 的坐标为(3,0), 直线 y=-x+3 恰好经过 B,C 两点. (1)写出点 C 的坐标; (2)求出抛物线 y=x2+bx+c 的表达式,并写出抛物 线的对称轴和点 A 的坐标; (3)点 P 在抛物线的对称轴上,抛物线顶点为 D 且∠APD=∠ACB,求点 P 的 坐标. 图 5-3-1 第 2 页 共 11 页 【解析】 (1)由直线 y=-x+3 可求出点 C 坐标; (2)由 B,C 两点坐标便可求出抛物线方程,从而求出抛物线的对称轴和 A 点 坐标; (3)作辅助线 AE,由三角形的两个角相等,证明△AEC∽△AFP,根据两边成 比例,便可求出 PF 的长度,从而求出 P 点坐标. 解:(1)y=-x+3 与 y 轴交于点 C,故 C(0,3); (2)∵抛物线 y=x2+bx+c 过点 B,C, ?9+3b+c=0, ?b=-4, ∴? 解得? ?c=3, ?c=3, ∴抛物线的表达式为 y=x2-4x+3=(x-1)(x-3), ∴对称轴为直线 x=2,点 A(1,0); (3)由 y=x2-4x+3, 可得 D(2,-1),A(1,0); ∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2, 可得△ OBC 是等腰直角三角形, ∴∠OBC=45° ,CB=3 2. 如答图,设抛物线对称轴与 x 轴交于点 F, 1 ∴AF=2AB=1. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∴∠AEB=90° . 可得 BE=AE= 2,CE=2 2. 在△ AEC 与△ AFP 中,∠AEC=∠AFP=90° , ∵∠ACE=∠APF, ∴△AEC∽△AFP. AE CE 2 2 2 ∴AF=PF , 1 = PF , 解得 PF=2. ∵点 P 在抛物线的对称轴上, ∴点 P 的坐标为(2,2)或(2,-2). 第 3 页 共 11 页 第 2 题答图 (40 分) 3.(20 分)如图 5-3-2,若关于 x 的二次函数 y=ax2+bx +c(a>0,c>0,a,b,c 是常数)与 x 轴交于两个不同 的点 A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2),与 y 轴交于点 P, 其图象顶点为 M,点 O 为坐标原点. 1 (1)当 x1=c=2,a=3时,求 x2 与 b 的值; 图 5-3-2 (2)当 x1=2c 时,试问△ABM 能否等边三角形?判断并证明你的结论; (3) 当 x1 = mc(m > 0) 时 , 记 △MAB , △ PAB 的 面 积 分 别 为 S


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