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2012高考数学(文)精英备考专题讲座第六讲解析几何:第二节 圆锥曲线


第二节 圆锥曲线
圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、 几何性 质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三 角形、直线等结合时,多以综合解答题的形式考查,属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控 制在 0.3 ~ 0.7 之间. 考试要求 ⑴了解圆锥曲线的实际背景;⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简 单几何性质;⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质;⑷了解抛物 线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质;⑸了解圆锥曲线的简单应用;⑹掌握 数形结合、等价转化的思想方法. 题型一 圆锥曲线的定义及应用 例 1 ⑴已知点 F 为椭圆
x
2

9

+

y

2

5

= 1 的左焦点, M 是此椭圆上的动点, A(1,1) 是一定点,则

| MA | + | MF | 的最大值和最小值分别为 ________ .
⑵已知双曲线的虚轴长为 6 ,离心率为
7 2

, F1 、 F2 分别是它的左、右焦点,若过 F1 的直线与

双曲线的左支交于 A 、 B 两点,且 | AB | 是 | AF2 | 与 | BF2 | 的等差中项,则 | AB |= ________ . 点拨: 点拨:题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值;题⑵是圆锥曲线 与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长 a 的值,再应用双曲线的定义与等差 中项的知识求 | AB | 的值. 解:⑴设椭圆右焦点为 F1 ,则 | MF | + | MF1 |= 6 ,∴ | MA | + | MF |=| MA | ? | MF1 | +6 .又

? | AF1 |≤| MA | ? | MF1 |≤| AF1 | ( 当 M | AF1 |= 2 ,∴ | MA | + | MF |≤ 6 + 2 ,



A 、 F1 共 线 时 等 号 成 立 ). 又

| MA | + | MF |≥ 6 ? 2 .故 | MA | + | MF | 的最大值为 6 + 2 ,最小值为 6 ? 2 .

? 2b = 6 ? 7 ?c ⑵依题意有 ? = ,解得 a = 2 3 .∵ A 、 在双曲线的左支上,∴ | AF2 | ? | AF1 |= 2a , B a 2 ? ?c 2 = a 2 + b 2 ? | BF2 | ? | BF1 |= 2a
,∴

| AF2 | + | BF2 | ?(| AF1 | + | BF1 |) = 4a

.



| AF2 | + | BF2 |= 2 | AB | , | AF1 | + | BF1 |=| AB | .
∴ 2 | AB | ? | AB |= 4a ,即 | AB |= 4a .∴ | AB |= 4 × 2 3 = 8 3 . 易错点: 易错点:在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻; ⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误;⑶由 M 、 A 、 F1 三点共线求 出 | MA | + | MF | 的最值也是值得注意的问题. 变式与引申

1. 已 知 P 为 抛 物 线 y 2 = 4 x 上 任 一 动 点 , 记 点 P 到 y 轴 的 距 离 为 d , 对 于 给 定 的 点

A(2, 4) , | PA | + d 的最小值为(
A. 2 3

). C. 17 ? 1 D. 17

B. 2 3 ? 1
x
2

2.设 F1 、 F2 分别是椭圆 E :

4

+ y 2 = 1 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A 、 B 两点,

且 | AB | 是 | AF2 | 与 | BF2 | 的等差中项,则 | AB |= ________ . 题型二 圆锥曲线的标准方程 例 2 已知抛物线 C1 : x 2 + by = b 2 经过椭圆 C2 : ⑴求椭圆 C2 的离心率; ⑵设 Q(3, b) ,又 M , N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若 ?QMN 的 重心在抛物线 C1 上,求 C1 和 C2 的方程. 点拨: 点拨:问题⑴:将 C2 的焦点坐标代入 C1 的方程,得出 b, c 的关系式,进而求出 C2 的离心率; 问题⑵:利用问题⑴的答案,联立 C1 、 C2 的方程先得出 M 、 N 坐标,再利用 ?QMN 的重心在 抛物线 C1 上,求 C1 、 C2 的方程. 解:⑴∵抛物线 C1 经过椭圆 C2 的两个焦点 F1 ( ?c,0) , F2 (c,0) ,∴ c 2 + b × 0 = b 2 ,即 c 2 = b 2 , ∴ a 2 = b 2 + c 2 = 2c 2 ,∴椭圆 C2 的离心率 e = ⑵由⑴可知 a 2 = 2b 2 ,椭圆 C2 的方程为
b
c a x
2 2

x a

2 2

+

y b

2 2

= 1(a > b > 0) 的两个焦点.

y Q

M

O N

x

图 6 ? 2 ?1

= +

2 2 y b
2 2

.

2b

= 1 ,联立抛物线 C1 的方程 x 2 + by = b 2 ,
6 2

得 2 y 2 ? by ? b 2 = 0 ,解得 y = ? 或 y = b (舍去),∴ x = ±
2

b ,即 M ( ?

6b 2

,? ) , N(
2

b

6b 2

,? ) ,
2

b

∴ ?QMN 的重心坐标为 (1,0) .∵重心在 C1 上,∴ 12 + b × 0 = b 2 ,得 b = 1 .∴ a 2 = 2 . ∴抛物线 C1 的方程为 x 2 + y = 1 ,椭圆 C2 的方程为
x
2

2

+ y2 = 1 .

易错点: 忘记用第⑴小问的答案; 记错重心坐标公式; 联立 C1 、C2 的方程后,计算错 M 、N 易错点: 坐标. 变式与引申 3.求经过两点 A( 3 , ?2) 和 B (?2 3,1) 的椭圆的标准方程. 4.已知椭圆 mx 2 + ny 2 = 1(m > 0, n > 0) 与直线 x + y ? 1 = 0 相交于 A 、 B 两点, C 是 AB 的中点,

若 AB = 2 2 , OC 的斜率为

2 2

,求椭圆的方程.

题型三 圆锥曲线的几何性质 例 3 如图 6 ? 2 ,已知 F 为椭圆
x a
2 2

+

y b

2 2

= 1(a > b > 0) 的左焦点,过点 F 作斜率为 ( c 为半焦
c
y A

b

距)的直线交椭圆于点 A 、 B 两点. ⑴若直线 AB 的倾斜角为 θ ,求证: cosθ = e ( e 为椭圆的离心率); uuu r uuu r 1 2 ⑵若 BF = λ FA ,且 λ ∈ ( , ) ,求椭圆的离心率 e 的取值范围.
2 3

F B

O

x

点拨: 图6?2?2 点拨:这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件, 运用三角公式、斜率与倾斜角的关系以及椭圆离心率知识可使问题⑴获证;对于⑵则运用平 几性质、焦半径公式及题给条件建立含离心率 e 的不等式,进而求出 e 的取值范围. ⑴ 解 法 1 : ∵ tan θ =
b c

,∴

sin 2 θ cos θ
2

=

1 ? cos 2 θ cos θ
2

=

b c

2 2

, 即 cos 2 θ =

c
2

2 2

b +c

=

c
a

2 2

= e2 , 又

tan θ =

b c

> 0,

∴ cosθ > 0 ,故 cosθ = e . 解 法 2 : 依 题 意 直 线 AB 的 分 别 为 y = ( x + c) = x + b ,∴ 点 A 的 坐 标 为 (0, b) , 故
c c b b

cosθ =

c a

=e.
?x |
F

uuu r uuu r uuu r | BF | | x B ⑵解:∵ BF = λ FA ,∴ λ = uuu = 解 r

| FA |

| xF |

.将直线 y = x + b 代入椭圆
c
2a c
a +c
2 2 2

b

x a

2 2

+

y b

2 2

= 1 ,整理得

(

a

2

c

+ 1) x 2 +
uuu r

2a
c

2

x=0
=
2 2

,∴
2 | ? 2 a c2 + c | a2 + c c

xA = 0

,

xB = ?

.∵

uuu r uuu r BF = λ FA

,∴

λ=
=

| BF |
uuu r

| FA |
2a
2 2

=

| xB ? xF | | xF |
a ?c a +c
2 2

a +c

2

?1 =

=

1? e 1+ e

2 2

∈ ( , ) ,解不等式 <
2 3 2
5

1 2

1

1? e 1+ e

2 2

< ,得 < e 2 < ,∴
3

2

1

1

5

5

3

5

<e<

3

,

3

故椭圆的离心率 e 的取值范围为 (

5

,

3

3

).

易错点: 易错点:问题⑴中忽视斜率的正负,会导致 cos θ 的符号出错;问题⑵中不适时联想平几性 质,解题思路将受阻. 变式与引申 5.给定抛物线 C : y 2 = 4 x ,过点 A(?1,0) 斜率为 k 的直线与 C 交于 M , N 两点. (Ⅰ)设线段 MN 的中点在直线 x = 3 上,求 k 的值; (Ⅱ)设 AM = λ AN , k ∈ [

uuu r

uuu r

2 2

,

6 3

] ,求 λ 的取值范围.

题型四 以圆锥曲线为载体的探索性问题

例 4 已知椭圆 C :

x a

2 2

+

y b

2 2

= 1(a > b > 0) 的离心率为

3 3 2 2

,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于

A 、 B 两点.当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
⑴求 a 、 b 的值;

.

uuu uur uuu r r ⑵ C 上是否存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP = OA + OB 成立?若存在,求出所 有的点 P 的坐标与 l 的方程.若不存在,说明理由. 点拨: 点拨:问题⑴可先写出 l 的方程,再利用点 O 到 l 的距离和椭圆的离心率求出 a 、 b 的值;问 题⑵是存在性探索问题,可先探索命题成立的充要条件,将向量坐标化,再综合运用题给条件,逐 步推出满足题意的 l 是否存在.但需考虑 l 转动时斜率不存在情形. 解 : ⑴ 设 F (c,0) , 当 l 的 斜 率 为 1 时 , 其 方 程 为 x ? y ? c = 0 , 点 O 到 l 的 距 离 为
|0?0?c| 2

=

c 2

=

2 2

,
c

,得 a = 3 , b = a 2 ? c 2 = 2 . a 3 uuu uur uuu r r ⑵ C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP = OA + OB 成立.由⑴知 C 的方程为 2 x 2 + 3 y 2 = 6 .设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) . uuu uur uuu r r ①当 l 不垂直 x 轴时,设 l 的方程为 y = k ( x ? 1) . C 上的点 P 使 OP = OA + OB 成立的充要 条件是 P 的 坐 标 为 ( x1 + x2 , y1 + y2 ) , 且 2( x1 + x2 ) 2 + 3( y1 + y2 )2 = 6 , 即
2 2 2 x12 + 3 y12 + 2 x2 + 3 y2 + 4 x1 x2 2 2 +6 y1 y2 = 6 .又 A 、 B 在 C 上,∴ 2 x12 + 3 y12 = 6 , 2 x2 + 3 y2 = 6 ,∴ 2 x1 x2 + 3 y1 y2 + 3 = 0

∴ c = 1 .由 e =

=

3

① 将 y = k ( x ? 1) 代入 2 x 2 + 3 y 2 = 6 ,整理得 (2 + 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x + 3k 2 ? 6 = 0 , 于是 得, k 2 = 2 , 此 时 x1 + x2 = 时, P ( ,
2 3
2

x1 + x2 =
3 2

6k

2 2

2 + 3k

, x1 x2 =

3k ? 6 2 + 3k
2

2

, y1 y2 = k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) =

?4 k

2 2

2 + 3k

.代入①解

, 于 是 y1 + y2 = k ( x1 + x2 ? 2) = ?

k 2

, 即 P( , ? ) . 因 此 , 当 k = ? 2
2 2

3

k

2

),
3
2

的方程为 2 x + y ? 2 = 0 ;当 k = 2 时, P ( , ? ) , l 的方程为 2 x ? y ? 2 = 0 . 2 2 uuu uur uuu r r uur uuu r ②当 l 垂直于 x 轴时,由 OA + OB = (2,0) 知, C 上不存在点 P ,使 OP = OA + OB 成立. uuu uur uuu r r 3 2 综上, C 上存在点 P ( , ± ) 使 OP = OA + OB 成立,此时 l 的方程为 2 x ± y ? 2 = 0 .
2 2

P 在 M 、 N 之间), O 为坐标原点. ⑴若 p = 2 , m = 2 ,求 ?OPQ 的面积 S ; ⑵对于任意的动直线 l ,是否存在常数 p ,总有 ∠MOP = ∠PON ? 若存在,求出 p 的值;若不存在,请说明理由.

y Q N P

O
M

x

图6?2?3

本节主要考查: 本节主要考查: ⑴知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质(焦点、离心率、焦点三角形, 焦半径等)以及这些知识的综合应用; ⑵以平面向量、三角形、导数为背景的圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、 定值问题等相关的综合问题; ⑶圆锥曲线定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和 “几何问题代数化” 等解析几何的基本方法; ⑷数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基 本数学能力. 点评: 点评: ⑴圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,同时又是高考的热点和压轴点之 一,主要考查圆锥曲线的定义(如例 1 )与性质(如例 3 )、求圆锥曲线方程(如例 2 )、直线与圆锥曲 线的位置关系、以圆锥曲线为载体的探索性问题(如例 4 )等. ⑵圆锥曲线的定义,揭示了圆锥曲线存在的条件性质、 几何特征与焦点、 离心率相关的问题, 恰当利用圆锥曲线定义和数形结合思想解题,可避免繁琐的推理与运算. ⑶求圆锥曲线的标准方程:①定型——确定是椭圆、抛物线、或双曲线;②定位——判断 焦点的位置;③定量——建立基本量 a 、b 、 c 的关系式,并求其值;④定式——据 a 、b 、 c 的 值写出圆锥曲线方程. ⑷圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等 都是高考的重点热点.此类问题,它源于课本,又有拓宽引申、高于课本,是高考试题的题源之一, 它 应引起重视,注意掌握好这一类问题的求解方法与策略.如对于求离心率的大小或范围问题,只 需列出关于基本量 a 、b 、c 的一个方程(求大小)或找到关于基本量 a 、b 、c 间的不等关系(求 范围)即可. ⑸求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题,主要有两种求解方法: 一是根据题给条件 建立含参数的等式后,再分离参数求其值域; 另一是正确列出含参数的不等式,进而求之.其列不 等式的思路有:①运用判别式 ? > 0 或 ? < 0 ;②点在圆锥曲线内部(一侧)或外部(另一侧);③ 利用圆锥曲线的几何意义(如椭圆中 ? a ≤ x ≤ a 等);④根据三角形两边之和大于第三边(注意三 点共线的情况). ⑹解有关圆锥曲线与向量结合的问题时,通性通法是向量坐标化,将一几何问题变成纯代数 问题. ⑺探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,它要求学生具有观察分 析问题的能力、具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神.解题思路往 往是先假设满足题意,即从承认结论、变结论为条件出发,然后通过归纳,逐步探索待求结论.

习题 6-2 1 .已知椭圆中心在原点,左、右焦点 F1 、 F2 在 x 轴上, A 、 B 是椭圆的长、短轴端点, P 是椭圆
上一点,且 PF1 ⊥ x 轴, PF2 // AB ,则此椭圆的离心率是( A.
1 2
2

). C.
1 3

B.

5 5

D.

2 2

2.过抛物线 y = 2 px( p > 0) 的焦点 F 作直线 l ,交抛物线于 A、B 两点,交其准线于 C 点,若

uuu r uuu r CB = 3BF ,则直线 l 的斜率为___________.
1 2

3 .已知定点 A(?1, 0) , F (2, 0) ,定直线 l :x =

,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l

的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E ,过点 F 的直线交 E 于 B 、C 两点, 直线 AB 、AC 分别交 l 于

点M 、N . ⑴求 E 的方程; ⑵试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ,并说明理由.

4 .如图,已知直线 l : y = kx ? 2 与抛物线 C : x 2 = ?2 py ( p > 0) 交于 A 、 B 两点, O 为坐标原 uuu uuu r r 点, OA + OB = (?4, ?12) .
⑴求直线 l 和抛物线 C 的方程; ⑵若抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时,求 ?ABP 面积的最大值.

【答案】 答案】
变式与引申 1. C 提示: 提示 : 如图 6-2-1,点 P 到 y 轴的距离 d 比到准线的距离(即 | PF | )少 1 ,∴ | PA | + d =| PA | + | PF | ?1 . 而 点 A 在 抛 物 线 外 ,∴ | PA | + d 的 最 小 值 为

| AF | ?1 = 17 ? 1 .

2.

8 2 3

提 示 : 由 椭 圆 定 义 知 | AF2 | + | AB | + | BF2 |= 4a = 8 , 又 | AF2 | + | BF2 |= 2 | AB | , ∴ 3 | AB |= 8 2 , | AB |=
8 2 3

.
x a
2 2

3. 解法一:①当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 解法一:

+

y b

2 2

= 1(a > b > 0) ,

? ( 3) 2 ( ?2) 2 ? 2 + 2 =1 ? a 2 = 15 ? a ? b 依题意有 ? ,解得 ? 2 . 2 ?b = 5 ? ( ?2 3) + 1 = 1 ? 2 ? a2 b ?
?a 2 = 5 ? ②当焦点在 y 轴上时,同理解得 ? 2 , a < b ,不合,舍去. ?b = 15 ?
x
2

综上所求椭圆的方程为

15

+

y

2

5

= 1.

?3m + 4n = 1 解 法 二 : 设 所 求 椭 圆 方程 为 mx 2 + ny 2 = 1(m > 0, n > 0, m ≠ n) . 依 题 意 有 ? ,解得 ?12m + n = 1
1 ? ? m = 15 ? . ? ?n = 1 ? 5 ?

x

2

故所求椭圆的方程为
15

+

y

2

5

= 1.

2 2 4. 解 法 一 : 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 代 入 椭 圆 方 程 得 mx12 + ny12 = 1 , mx2 + ny2 = 1 , 相 减 得

m( x1 + x2 ) ( x1 ? x2 ) + n( y1 + y2 )( y1 ? y2 ) = 0 .∵ k AB =
?mx 2 + ny 2 = 1 , ? ?x + y ?1 = 0
得 (m + n) x 2 ? 2nx + n ? 1 = 0 .∴ x1 + x2 = ∴(
2n m+n 2n m+n
y1 ? y2 x1 ? x2

= ?1 ,

y1 + y2 x1 + x2

= kOC =

2 2

,∴ n = 2m . 由

, x1 x2 =
1

n ?1 m+n

.又 | AB |= 1 + k AB 2 | x2 ? x1 |= 2 2 ,
2 3

)2 ? 4 ?

n ?1 m+n

= 4 .将 n = 2m 代入,解得 m = ,∴ n =
3

.故椭圆方程为

x

2

3

+

2y 3

2

=1.

?mx 2 + ny 2 = 1 , 得 (m + n) x 2 ? 2nx + n ? 1 = 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则 解法二:由 ? ?x + y ?1 = 0

x1 + x2 = x1 x2 =

2n m+n

,
4 n 2 ? 4( m + n )( n ?1) (m+ n)
2

n ?1 m+n

.∴ | AB |= (1 + k 2 )( x1 ? x2 ) 2 = 2 ?
x1 + x2 2

= 2 2 ,∴

m + n ? mn m+n m n
2 2

=1. ①

设 C ( x0 , y0 ) , 则 x0 =

=

n m+n

, y0 = 1 ? x0 =

m m+n

,∴ kOC =

y0 x0

=

=

, 代 入 ①, 得

m = ,n =
3

1

2 3

.
x
2

故椭圆方程为
3

+

2y 3

2

=1.


5. 解:(Ⅰ)过点 A(?1,0) 斜率为 k 的直线为 y = k ( x + 1) ,

y = k ( x + 1) 代 入 方 程

y2 = 4x ,
得 k 2 x 2 + (2k 2 ? 4) x + k 2 = 0 . ① 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有 x1 + x2 = ∵线段 MN 的中点在直线 x = 3 上,∴ x1 + x2 = 6 ,即 大于零).
4 ? 2k
2

4 ? 2k

2

k 2 2

2

, x1 x2 = 1 .

k

2

= 6 ,得 k = ±

(此时①式的判别式

uuuu r uuur ? x1 + 1 = λ ( x2 + 1) ① 2 . 由②,得 y12 = λ 2 y2 . (Ⅱ)由 AM = λ AN ,得 ( x1 + 1, y1 ) = λ ( x2 + 1, y2 ) ,即 ? y1 = λ y2 ② ?

2 ∵ y12 = 4 x1 , y2 = 4 x2 ,∴ x1 = λ 2 x2 ③ 由①、 ③得 λ (λ ? 1) x2 = λ ? 1 ,易知 λ ≠ 1 ,∴ x2 =

1

λ
1

, x1 = λ .

∴ λ+

1

λ

=

4 ? 2k k
2

2

=

4 k
2

? 2 , 又 k ∈[

2 2

,

6 3

] ,∴ λ +

1

λ

=

4 k
2

? 2 ∈ [4,6] , 即 4 ≤ λ +

λ

≤6 , 得

4λ ≤ λ 2 + 1 ≤ 6λ ,
解 得

3?2 2 ≤ λ ≤ 2? 3



2+ 3 ≤ λ ≤ 3+ 2 2

, 故

λ 的 取 值 范 围 是

[3 ? 2 2 , 2 ? 3 ] U [2 + 3 ,3 + 2 2 ] .
? x2 = 4 y 6. 解:⑴由题意,直线 l 的方程为 y = ? x + 1 .设点 P ( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,由 ? ,得 ? y = ?x + 1 x2 + 4x ? 4 = 0 x1 + x2 = ?4 , x1 x2 = ?4 ,∴ S = | ON | ? | x1 ? x2 |=
2 1 1 2

,
( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2
2



=

1 2

16 + 16

=2 2.

⑵设点 P ( x0 , y0 ) ,则 y0 =

x0

2

2p

.由 M 、P 、N 三点共线得 m =

2 x0

2

1 ? y0

.由 ∠MOP = ∠PON 得点 P 到

y 轴距
离与到直线 OM : x + my = 0 距离相等,即 | x0 |=
| x0 + my0 | 1+ m
2

2 2 2 2 ,∴ x0 + m 2 x0 = x0 + m 2 y0 + 2mx0 y0 ,

2 2 mx0 = my0 + 2 x0 y0 .把 y0 =

x0

2

2p

,m =

2 x0 1 ? y0

=

4 px0 2 p ? x0
2

4 px0 ? x0

2

代入,得

2 p ? x0 1 2

2

=

4 px0 2 p ? x0
2

?

x0 4p

4 2

+

2 x0 ? x0 2p 1 2

2

,

4p



2p ?

2 x0

=

x0

2 2 x0 )

p (2 p ?

+

1 p

2 2 ,∴ 4 p 2 = x0 + 2 p ? x0 , 解 得 p =

.故存在常数 p=

,总有

∠MOP = ∠PON .

习题 6-2
1 . B.
x
2 2

提示: 提示:设椭圆的方程为
a

+

y b

2 2

= 1(a > b > 0) ,则 | OA |= a , | OB |= b , | F1 F2 |= 2c , | PF1 |=
| OA | | F1 F2 |

b

2

.由

a

PF1 ⊥ x 轴, PF2 // AB ,得 Rt ?OAB ∽ Rt ?F1 F2 P ,∴
5 5

=

| OB | | F1 P |

,即

a 2c

=

b
b2 a

,解得 b = 2c ,

∴ a 2 ? c 2 = 4c 2 ,故椭圆的离心率 e = 2. ±2 2

.选 B.

提示: 过点 B 向准线作垂线 BM ,垂足为 M, 可知 cos ∠MBC = 提示:

1 , 所以直线 l 的斜率为 ±2 2 3
= 1( y ≠ 0) .

3 . 解:⑴设 P ( x, y ) ,则 ( x ? 2) 2 + y 2 = 2 | x ? | ,化简得 x 2 ?
2

1

y

2

3

⑵①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y = k ( x ? 2)(k ≠ 0) ,与双曲线 x 2 ? 联立消去 y

y

2

3

=1

得 (3 ? k 2 ) x 2 + 4k 2 x ? (4k 2 + 3) = 0 . 由 题 意 知 3 ? k 2 ≠ 0 且 ? > 0 . 设 B ( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) , 则

x1 + x2 = x1 x2 =
2

4k
2 2

2

k ?3

, ,
4k + 3
2

4k + 3 k ?3 k ?3
2

y1 y2 = k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) = k 2 [ x1 x2 ? 2( x1 + x2 ) + 4] = k 2 (
∵ x1 ≠ ?1 , x2 ≠ ?1 ,∴ AB 的 方 程 为 y =

?

8k
2

2

k ?3

+ 4) =

?9 k
2

2

k ?3

.

y1 x1 + 1

( x + 1) ,∴ M 点 的 坐 标 为

( ,

1

3 y1

2 2( x1 + 1)

uuuu r 3 ) , FM = (? ,

3 y1

2 2( x1 + 1)

), uuuu r 3 FM = (? ,

3 y2









2 2( x2 + 1)

)

,





uuuu uuur r 3 FM ? FN = (? ) 2 +
2

9 y1 y2 2( x1 + 1)( x2 + 1)

= +
4

9

?81k 2 k 2 ?3
2 2 4( 4 k +3 + 4 k + 1)

= 0.

k 2 ?3

k 2 ?3

② 当 直 线 BC 与 x 轴 垂 直 时 , 其 方 程 为 x = 2 , 则 B (2,3) , C (2, ?3) , AB 的 方 程 为 y = x + 1 ,∴ M 点的 r uuur uuuu uuur r 1 3 uuuu 3 3 3 3 3 3 3 坐标为 ( , ) , FM = (? , ) ,同理可得 FN = (? , ? ) ,因此 FM ? FN = (? )2 + × (? ) = 0 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

uuuu uuur r 综上 FM ? FN = 0 ,即 FM ⊥ FN ,故以线段 MN 为直径的圆经过点 F .
? y = kx ? 2 4 .解:⑴由 ? 2 ,得 x 2 + 2 pkx ? 4 p = 0 .设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = ?2 pk , 解 x = ?2 py ?

y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) ? 4 = ?2 pk 2 ? 4
uuu uuu r r OA + OB = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = (?2 pk , ?2 pk 2 ? 4) = (?4, ?12) , ??2 pk = ?4 ?p =1 ∴? ,解得 ? ,故直线 l 的方程为 y = 2 x ? 2 ,抛物线 C 的方程 x 2 = ?2 y . 2 ?k = 2 ??2 pk ? 4 = ?12
? y = 2x ? 2 ? 2 ? x = ?2 y
,

.∵















x 2 + 4 x ? 4 = 0 ,∴ | AB |= 1 + k 2 ? ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 1 + 22 ? ( ?4) 2 ? 4( ?4)

= 4 10 .设 P (t , ? t 2 )(?2 ? 2 2 < t < ?2 + 2 2 ) ,∵ | AB | 为定值,∴当点 P 到直线 l 的距离 d 最大
2

1

时,

?ABP 的面积最大.而 d =
时,

2 | 2t + 1 t ? 2 | 2

2 + ( ?1)
2

2

=

2 | 1 (t + 2) ? 4 | 2 ,又 ?2 ? 2 2 5

< t < ?2 + 2 2 ,∴当 t = ?2

d max =

4 5 5

.∴当 P 点坐标为 (?2, ?2) 时, ?ABP 面积的最大值为

4 10 × 2

4 5 5

=8 2 .

解 法 二 : 设 P ( x0 , y0 ) , 依 题 意 , 抛 物 线 在 点 P 处 的 切 线 与 l 平 行 时 , ?ABP 的 面 积 最 大.∵ y ′ = ? x , ∴

x0 = ?2 ,

2 y0 = ? x0 = ?2 , P (?2, ?2) . 此 时 点 P 到 直 线 l 的 距 离

1

2

d=

| 2 ? ( ?2) ? ( ?2) ? 2 | 2 + ( ?1)
2 2

=

4 5

=

4 5 5

.



? y = 2x ? 2 ? 2 ? x = ?2 y

,



x 2 + 4 x ? 4 = 0 ,∴ | AB |= 1 + k 2 ? ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 1 + 22 ? ( ?4) 2 ? 4( ?4) = 4 10 ,
故 ?ABP 面积的最大值为
4 10 × 2

4 5 5

=8 2 .


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