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高中数学选修1-1知识点、考点、典型例题


高二数学选修 1-1 知识点
第一章:命题与逻辑结构
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句.

2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆 命题.其中一命题称为原命题, 另一个称为原命题的逆命题.原命题 “若 p , q ” 逆命题为 则 , “若 q , p ” 则 . 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个 命题称为互否命题.若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ?p ,则 ?q ”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个 命题称为互为逆否命题.若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的逆否命题为“若 ?q ,则 ?p ”. 6、四种命题的真假性: 原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 逆否命题 真 真 真 假

四种命题的真假性之间的关系: ?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ? 2 ? 两个命题为互逆 命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 7、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件.若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件. 8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 9、当 p 、 q 都是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题有一命题是假命题时, p ? q 是假命题. 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 两个命题中有一个命题为真时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题都为假时, p ? q 是假命题. 对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ?p . 若 p 是真命题,则 ?p 必是假命题;若 p 是假命题,则 ?p 必是真命题. 9、短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表示. 、 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ?? , p ? x ? ” . 短语“存在一个”“至少有一个”通常称为存在量词,用“ ? ”表示.含有存在量词的命题称为特称命题. 、
1

特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ?? , p ? x ? ” . 10 全称命题 p : ?x ?? , p ? x ? ,它的否定 ?p : ?x ?? , ?p ? x ? .全称命题的否定是特称命题.

第二章:圆锥曲线
1、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称 为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

范围

?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ? ?1 ? ?b, 0 ? 、 ? 2 ? b, 0 ?
长轴的长 ? 2a

顶点

?1 ? 0, ?b ? 、 ? 2 ? 0,b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

3、设 ? 是椭圆上任一点,点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 ? 到 F2 对应准线的距离为 d 2 ,则

? F1 d1

?

? F2 d2

? e.

2

4、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹称为双曲线.这 两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 5、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x ? ?a 或 x ? a , y ? R
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?
虚轴的长 ? 2b

y ? ?a 或 y ? a , x ? R
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

渐近线方程

y??

b x a

y??

a x b

6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 7、设 ? 是双曲线上任一点,点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 ? 到 F2 对应准线的距离为 d 2 ,则

? F1 d1

?

? F2 d2

? e.

8、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线的焦点, 定直线 l 称为抛物线的准线.

3

9、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ? ? p ? F ? ? ,0? ? 2 ? p? ? F ? 0, ? 2? ?

对称轴

y轴
p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径” ,即

?? ? 2 p .

第三章:导数及其应用
1、若某个问题中的函数关系用 f ? x ? 表示,问题中的变化率用式子

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1

?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ?f 表示,则式子 称为函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率. x2 ? x1 ?x f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1 ? lim ?f ,则称它为函数 y ? f ? x ? 在 ?x ? 0 ?x

2、函数 f ? x ? 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim

?x ? 0

x ? x0 处的导数,记作 f ? ? x0 ? 或 y ? x ? x ,即
0

f ? ? x0 ? ? lim

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?x

?x ?0



4

3、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ? x ? 在点 ? x0 , f ? x0 ? 处的切线的斜率.曲线

?

?

y ? f ? x ? 在点 ? ? x0 , f ? x0 ? ? 处的切线的斜率是 f ? ? x0 ? ,切线的方程为 y ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? .若
函数在 x0 处的导数不存在,则说明斜率不存在,切线的方程为 x ? x0 . 4、若当 x 变化时, f ? ? x ? 是 x 的函数,则称它为 f ? x ? 的导函数(导数) ,记作 f ? ? x ? 或 y ? ,即

f ? ? x ? ? y? ? lim

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?x

?x ?0



5、基本初等函数的导数公式:

?1? 若 f ? x ? ? c ,则 f ? ? x ? ? 0 ; ? 2 ? 若 f ? x ? ? x n ? x ? Q* ? ,则 f ? ? x ? ? nx n?1 ; ? 3? 若 f ? x ? ? sin x ,则 f ? ? x ? ? cos x ; ? 4 ? 若 f ? x ? ? cos x ,则 f ? ? x ? ? ? sin x ; ? 5 ? 若 f ? x ? ? a x ,则 f ? ? x ? ? a x ln a ; ? 6 ? 若 f ? x ? ? e x ,则 f ? ? x ? ? e x ; ? 7 ? 若 f ? x ? ? log a x ,则 f ? ? x ? ?
6、导数运算法则:

1 1 ; ? 8 ? 若 f ? x ? ? ln x ,则 f ? ? x ? ? . x ln a x

?1? ? 2?

? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ; ? ? ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ; ? ?

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? 3? ? ? g ? x ? ? 0? . ? ? 2 ? g ? x ?? ? g ? x? ? ? ?
7、对于两个函数 y ? f ? u ? 和 u ? g ? x ? ,若通过变量 u , y 可以表示成 x 的函数,则称这个函数为函数

y ? f ? u ? 和 u ? f ? x ? 的复合函数,记作 y ? f ? g ? x ? ? .
复合函数 y ? f g ? x ? 的导数与函数 y ? f ? u ? , u ? g ? x ? 的导数间的关系是

?

?

? x y? ? yu ? u? . x
8、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增;若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数

y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减.
9、点 a 称为函数 y ? f ? x ? 的极小值点, f ? a ? 称为函数 y ? f ? x ? 的极小值;点 b 称为函数 y ? f ? x ? 的 极大值点, f ? b ? 称为函数 y ? f ? x ? 的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称
5

为极值. 10、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
11、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a , b ? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x ? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值,最小的
一个是最小值.

6



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