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2014年上海市高考数学理科试卷(2014.06)


2014 年普通高等学校招生统一考试上海市数学试卷(理科)
本试卷共 23 道试题;满分 150 分;考试时间 120 分钟.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) .
15、设 a , b ? R , 则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2 且 b ? 2 ”的 ( (A) 充分条件 ) .

一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)
1、函数 y ? 1 ? 2cos2 (2 x) 的最小正周期是__________.

(B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件
, 8) 是上底

1? ? 2、若复数 z ? 1 ? 2i , 其中 i 是虚数单位, 则 ? z ? ? ? z ? ___________. z? ? 2 2 x y 3、若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 ? ? 1 的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为_____. 9 5
? x, x ? (??, a), 4、设 f ( x) ? ? 2 若 f (2) ? 4 , 则 a 的取值范围为____________. ? x , x ? [a, ??).

16、如图, 四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, Pi (i ? 1, 2, 面上其余的八个点, 则 AB ? AP i (i ? 1, 2, (A) 1 (B) 2
, 8) 的不同值的个数为 (

) .
P1

P2 P4 P3

P5 P7 P6

P8

(C) 4

(D) 8

B
17、已知 P 1 ( a1 , b1 ) 与 P 2 (a2 , b2 ) 是直线 y ? kx ? 1 ( k 为常数)上两个不同的点,
?a1 x ? b1 y ? 1, 则关于 x 和 y 的方程组 ? 的解的情况是 ( ?a2 x ? b2 y ? 1

5、若实数 x , y 满足 xy ? 1 , 则 x 2 ? 2 y 2 的最小值为___________. 6、 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍, 则其母线与底面角的大小为____ (结果用反三角函数值表示) . 7、已知曲线 C 的极坐标方程为 ? (3cos? ? 4sin ? ) ? 1 , 则 C 与极轴的交点到极点的距离是___. 8、设无穷等比数列 {an } 的公比为 q ,若 a1 ? lim(a3 ? a4 ?
n??

A
) .

? an ) , 则 q ? ___________.

(A) 无论 k , P 1, P 2 如何, 总是无解 (C) 存在 k , P 1, P 2 , 使之恰有两解

(B) 无论 k , P 1, P 2 如何, 总有唯一解 (D) 存在 k , P 1, P 2 , 使之有无穷多解

9、若 f ( x) ? x 3 ? x

2

?

1 2

, 则满足 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围是___________.

10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练, 则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是________________(结果用最简分数表示) . 11、已知互异的复数 a , b 满足 ab ? 0 , 集合 {a, b} ? {a 2 , b2 } , 则 a ? b ? ___________. 12、 设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间 [0, 2 π ] 上恰有三个解 x1 , x2 , x3 , 则 x1 ? x2 ? x3 ? ___ 13、某游戏的得分为 1, 2, 3, 4, 5, 随机变量 ? 表示小白玩该游戏的得分.若 E (? ) ? 4.2 , 则小 白得 5 分的概率至少为___________.

?( x ? a)2 , x ? 0, ? 18、设 f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值, 则 a 的取值范围为 ( 1 ? x ? ? a, x ? 0. x ?

) .

(A) [ ?1, 2]

(B) [ ?1, 0]

(C) [1, 2]

(D) [0, 2]

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤. 19、(本题满分 12 分)底面边长为 2 的正三棱锥 P ? ABC , 其表面展开图是三角形 P 1P 2P 3, 如图.求 △P 1P 2P 3 的各边长及此三棱锥的体积 V . 14、已知曲线 C : x ? ? 4 ? y , 直线 l : x ? 6 .若对于点 A(m, 0) , 存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得
2

P3

AP ? AQ ? 0 , 则 m 的取值范围为___________.

A

C

P 1

B

P2

1

20、(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设常数 a ? 0 , 函数 f ( x) ?
2x ? a . 2x ? a

22、 (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系 xOy 中, 对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , 即 ? ? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c) .若 ? ? 0 , 则称点 P 1, P 2 被直线 l 分隔.若曲线 C 与直线 l 没有公 共点, 且曲线 C 上存在点 P 1, P 2 被直线 l 分隔, 则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线. (1)求证: 点 A(1, 2) , B (?1, 0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔; (2)若直线 y ? kx 与曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1 的分隔线, 求实数 k 的取值范围; (3)动点 M 到点 Q(0, 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1, 设点 M 的轨迹为曲线 E 。 求证: 通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是 E 的分隔线.

(1)若 a ? 4 , 求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) ;

(2)根据 a 的不同取值, 讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性, 并说明理由。

21、(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图, 某公司要在 A , B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌, 其中 D 为顶端, AC 长 35 米, 23、(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.
1 已知数列 {an } 满足 an ? an?1 ? 3an , n ? 3
?

CB 长 80 米. 设点 A , B 在同一水平面上, 从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ? 和 ? .
(1)设计中 CD 是铅垂方向.若要求 ? ? 2? , 问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? (2)施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差. 现在实测得 ? ? 38.12 , ? ? 18.45 , 求 CD 的长 (结果精
?

, a1 ? 1 .

(1)若 a2 ? 2 , a3 ? x , a4 ? 9 , 求 x 的取值范围; (2)设 {an } 是公比为 q 的等比数列, Sn ? a1 ? a2 ? 求 q 的取值范围; (3)若 a1 , a2 ,
, ak 成等差数列, 且 a1 ? a2 ? , ak 的公差. ? ak ? 1000 , 求正整数 k 的最大值, 以及 k 取最大值时

?

1 ? an .若 Sn ? Sn ?1 ? 3Sn , n ? 3

?

,

确到 0.01 米) .

D

A

?
C

?
B

相应数列 a1 , a2 ,

2

2014 年普通高等学校招生统一考试上海市数学试卷(理科)答案:
1、

1 5 ?1 1 1 ; ? ;2、6;3、 x ? ?2 ;4、 a ? 2 ;5、 2 2 ;6、 arccos ;7、 ;8、 3 2 2 3

2x ? 1 2? x ? 1 1 ? 2 x , x ? 0 , f ( ? x) ? ? x ? ②当 a ? 1 时, f ( x) ? x , 2 ?1 2 ? 1 1 ? 2x
∴对任意的 x ? 0 且 x ? R 都有 f ( x) ? ? f (? x) ,∴ y ? f ( x ) 为奇函数 ③当 a ? 0 且 a ? 1 时,定义域为 x x ? log 2 a, x ? R} , ∴定义域不关于原定对称,∴ y ? f ( x ) 为非奇非偶函数 21、解: (1)由题得,∵ ? ? 2 ? ,且 0 ? 2 ? ? ? ?

1 7? ;11、-1;12、 ;13、0.2;14、 ?2,3? ;15、B;16、A;17、B;18、D; 15 3 19、解:∵由题得,三棱锥 P ? ABC 是正三棱锥 ∴侧棱与底边所成角相同且底面 ?ABC 是边长为 2 的正三角形 ? ∴由题得, ?ABC ? ?BCA ? ?CAB ? , 3
9、 (0,1) ;10、

?

?
2

,? tan ? ? tan 2?

?PBA ? ?P 1 1 AB ? ?P 2 BC ? ?P 2CB ? ?P 3 AC ? ?PCA 3
又∵ A, B, C 三点恰好在 P 1, P 2, P 3 构成的 ?PP 1 2P 3 的三条边上 ∴ ?P 1 BA ? ?P 1 AB ? ?P 2 BC ? ?P 2CB ? ?P 3 AC ? ?P 3CA ? ∴P ?P 1 A ? PB 1 ?P 2B ? P 2C ? PC 3 3A ? 2 ∴ PP 1 2 ? PP 1 3 ?P 2P 3 ? 4 ,三棱锥 P ? ABC 是边长为 2 的正四面体 ∴如右图所示作图,设顶点 P 在底面 ABC 内的投影为 O ,连接 BO ,并延长交 AC 于 D ∴ D 为 AC 中点, O 为 ?ABC 的重心, PO ? 底面 ABC ∴ BO ? ∵

?
3

CD CD 40 ? 即 ,解得, CD ? 20 2 ,∴ CD ? 28.28 米 2 35 CD 1? 6400
由题得, ?ADC ? 180 ? 38.12 ? 18.45 ? 123.43 ,

AD 35 ? 80 ? ,∴ AD ? 43.61 米 sin123.43 sin18.45
2 2

2 ∵ CD ? 35 ? AD ? 2 ? 35 ? AD ? cos 38.12 ,∴ CD ? 26.93 米

2 2 3 2 6 1 1 3 2 6 2 2 BD ? , PO ? ,V ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 3 3 3 3 2 2 3 3

22、证明: (1)由题得,? ? 2 ? (?2) ? 0 ,∴ A(1, 2), B(?1, 0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔。 解: (2)由题得,直线 y ? kx 与曲线 x ? 4 y ? 1 无交点
2 2

20、解: (1)由题得, f ( x) ?

2x ? 4 8 ? 1? x ? (??, ?1) (1, ??) x 2 ?4 2 ?4

? x ?1 ? ∴ f ( x) ? 2 ? log 2 ? ? , x ? (??, ?1) (1, ??) ? x ?1 ?
?1

即?

? x2 ? 4 y 2 ? 1 ? y ? kx
2

? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 1 ? 0 无解
? 1 ? 4k 2 ? 0 1 1 ,∴ k ? (??, ? ] [ , ??) 2 2 2 ?? ? 4(1 ? 4k ) ? 0
2 2

∵ f ( x) ?

2 ?a 且 a ? 0 ∴①当 a ? 0 时, f ( x) ? 1, x ? R , 2x ? a
x

∴ 1 ? 4k ? 0 或 ?

∴对任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f (? x) ,∴ y ? f ( x ) 为偶函数

证明: (理科) (3)由题得,设 M ( x, y) ,∴ x ? ( y ? 2) ? x ? 1 , 化简得,点 M 的轨迹方程为 E : x ? ( y ? 2) ?
2 2

1 ,x ? 0。 x2
3

①当过原点的直线斜率存在时,设方程为 y ? kx 。

当 q ? 1 时, ?

1 ? 2 2 1 ? x ? ( y ? 2) ? 2 2 2 联立方程, ? x ? (k ? 1) x ? 4kx ? 4 ? 2 。 x ? y ? kx ?
令 F ( x) ? (k 2 ? 1) x2 ? 4kx ? 4 , G ( x ) ?

1 1 ? q n 1 ? q n?1 1 ? qn ? ? 3? 3 1? q 1? q 1? q

∴①当 q ? [ ,1) 时, ?

1 3

?q n (q ? 3) ? ?2 ? q (3q ? 1) ? 2
n

,由单调性可得, ?

?q1 (q ? 3) ? ?2 ? q (3q ? 1) ? 2
1

,解得, q ? [ ,1)

1 3

1 ,显然 y ? F ( x) 是开口朝上的二次函数 x2

∴由二次函数与幂函数的图像可得, F ( x) ? G ( x) 必定有解,不符合题意,舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时,其方程为 x ? 0 。

?q n (q ? 3) ? ?2 ?q1 (q ? 3) ? ?2 ②当 q ? (1,3] 时, ? n ,由单调性可得, ? 1 ,解得, q ? (1, 2] ? q (3q ? 1) ? 2 ? q (3q ? 1) ? 2
(理科) (3)由题得,∵ an ? an ?1 ? 3an ,且数列 a1 , a2 , ∴ [1 ? (n ? 1)d ] ? 1 ? nd ? 3[1 ? ( n ? 1) d ] ,∴ ? 又∵ a1 ? a2 ?

1 2 2 显然 x ? 0 与曲线 E : x ? ( y ? 2) ? 2 , x ? 0 没有交点,在曲线 E 上找两点 (?1, 2), (1, 2) 。 x
∴ ? ? ?1?1 ? 0 ,符合题意 综上所述,仅存在一条直线 x ? 0 是 E 的分割线。 证明: (文科) (3)由题得,设 M ( x, y) ,∴ x ? ( y ? 2) ? x ? 1 ,
2 2

1 3

ak 成等差数列, a1 ? 1 ,

1 3

? d (2n ? 1) ? ?2 2 , 2] ,∴ d ? [ ? 2k ? 1 ?d (2n ? 3) ? ?2

化简得,点 M 的轨迹方程为 E : x ? ( y ? 2) ?
2 2

1 ,x ? 0。 x2

显然 x ? 0 与曲线 E : x ? ( y ? 2) ?
2 2

1 , x ? 0 没有交点,在曲线 E 上找两点 (?1, 2), (1, 2) 。 x2

d 2 d d d k ? (a1 ? )k ? k 2 ? (1 ? )k ? 1000 2 2 2 2 2000 ? 2k 2000 ? 2k 2 ? [? , 2] ,解得, k ?[32,1999] , k ? N ? ∴d ? ,∴ 2 2 k ?k k ?k 2k ? 1 1 ∴ k 的最大值为 1999,此时公差为 d ? ? 。 1999

ak ? 1000 ,∴ Sk ?

∴ ? ? ?1?1 ? 0 ,符合题意。∴ x ? 0 是 E 的分割线。

?2 ?x?6 ? ?3 ? x ? [3, 6] 23、解: (1)由题得, ? ? x ? 9 ? 3x ? ?3
(理科) (2)由题得,∵ an ? an ?1 ? 3an ,且数列 {an } 是等比数列, a1 ? 1 ,

1 3

1 ? n ?1 1 1 n ?1 ?q (q ? ) ? 0 n n ?1 ∴ q ? q ? 3q ,∴ ? ,∴ q ? [ , 3] 。 3 3 3 n ?1 ? ? q (q ? 3) ? 0
又∵ S n ? S n ?1 ? 3S n ,∴当 q ? 1 时,

1 3

n ? n ? 1 ? 3n 对 n ? N ? 恒成立,满足题意。 3
4


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