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重庆市2016届高三2月调研测试理科数学(解析版)


重庆市 2016 届高三 2 月调研测试数学
评卷人 得分 一、选择题:共 12 题

1.设集合

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】本题主要考查集合的基本运算. .故选 B. 【备注】集合的基本运算为高考常考内容,要求熟练掌握.

2.已知 为虚数单位,复数

的虚部是

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】本题主要考查复数的概念与运算.

,虚部是 .故选 A.

3.某田径队有男运动员

人,女运动员

人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为 的

样本.若抽到的女运动员有 人,则 的值为
1

A. 【答案】C

B.

C.

D.

【解析】本题主要考查分层抽样.由题意得,

,解得

.选 C.

4.已知“

”是假命题,则下列选项中一定为真命题的是

A. 【答案】D

B.

C.

D.

【解析】本题主要考查逻辑联结词. 为真命题.故选 D.

是假命题,所以 或 为假命题,所以



为真命题,所以

5.

的值为

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】本题主要考查和角公式. =

=

=

.故选 C.

2

【备注】

6.在平行四边形

中, 为

的中点,设

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】本题主要考查平面向量的线性运算.由题意得,

,

所以

,

.故选 C.

7.执行如图所示的程序框图,若输入

,则输出的结果为

3

A. 【答案】D

B.

C.

D.

【解析】本题主要考查流程图.由图知, ,所以 ,此时,输出的

,此时, .故选 D.

,所以

,此时

8.已知

,则

的最小值是

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】本题主要考查基本不等式.由题意得 = 的最小值是 7.故选 B. =7(当且仅当 时等号成立);即

9. 已知

是圆

内不在坐标轴上的一点,直线 的方程为

,直线 被圆

所截得的弦的中点为 ,则下列说法中正确的是

A. C.

且 与圆 相交 且 与圆 相离

B. D.

且 与圆 相切 且 与圆 相离

【答案】C

4

【解析】本题主要考查两直线的位置关系,直线与圆的位置关系.因为直线 被圆 所截得的弦的中点

为 ,所以直线

,而

,所以

,而

,所以

.因为

是圆

内不在坐标轴上的一点,所以

,而圆心到直线 的距离

,所以

与圆 相离.故选 C.

10. 已知实数

满足

,在区间

内任取两数

,则目标函数

的最小值大



的概率为

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】 本题主要考查线性规划问题,几何概型.由题意得

,画出可行域(如图所示),当过点

时, 取得最小值

,若

,画出可行域(如图正方形



示),直线

如图所示,

所对应的区域如图五边形形

所示,而

,所求概率

= .故选 D.

5

【备注】体会数形结合思想.

11.已知

,则

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】本题主要考查对数运算.若

成立,即

,则

,代入

得:

=

=

=

=9,即等式成立,所以

满足题意.故选 A.

【备注】逐个验证.

12. 已知定义在正实数集上的函数

的导函数

满足

,则对任意

,下列

不等式一定成立的是 A. C. B. D.

6

【答案】B

【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.构造函数

,则

,而

,所以

0,即函数

在区间

内单调递减,令

,则

,即

,即

,而

,所以

,所以

,即

,即

=

+

<

,即

成立.故选 B.

第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题:共 4 题 每题 5 分 共 20 分

13.已知二项式

的展开式中

项的系数为

,则实数

.

【答案】

【解析】本题主要考查二项式定理.

,令

,所以

,解得

.

7

14.已知等差数列

的前 项和为

,则

.

【答案】

【解析】本题主要考查等差数列的前 项和公式和通项公式.设等差数列{

}首项为

,公差为 ,由



,解得

,所以

,所以

.

【备注】等差数列的前 项和公式:

;通项公式:

.

15.如图,在 Δ

中, 是

上一点,

,则

.

【答案】

【解析】本题主要考查余弦定理.过点 作

,因为

=

,所以

=

;因为

,

由余弦定理得

,所以

,在 Δ

中,

,所以

.

8

16.已知

是双曲线

的左、右焦点,过点 的直线与圆

切于



,则该双曲线的离心率为

.

【答案】

【解析】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.由题意得

,因为

为圆

的切线,求得直线

,直线

,联立解得

,而

,即

,与

联立,整理得双曲线的离心率

.

【备注】体会数形结合思想.

9

评卷人

得分 三、解答题:共 8 题 每题 12 分 共 96 分

17.已知函数

.

(1)求

的最小值;

(2)在 Δ

中,角

的对边分别是

,若



,求角 .

【答案】(1)

所以

的最小值为

;

(2)

,所以

,

由余弦定理得

;

所以

,即

,所以 Δ

为等边三角形,

.

【解析】本题主要考查三角变换,三角函数的最值,余弦定理. (1)

,所以

的最小

值为

;(2)

,所以

,由余弦定理得

,所以 Δ

为等边三角形,即

.

【备注】三角函数常考查:诱导公式,三角恒等变换,正余弦定理,三角形的面积公式等.

10

18.某社区为调查当前居民的睡眠状况,从该社区的

岁的人群中随机抽取 人进行一次日平均

睡眠时间的调查.这 人中各年龄组人数的频率分布直方图如图所示,统计各年龄组的“亚健康族”(日 平均睡眠时间符合健康标准的称为“健康族”,否则称为“亚健康族”)人数及相应频率,得到统计表如表 所示.

组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组

分组

亚健康族的人数

占本组的频率

(1)求

的值;

(2)用分层抽样的方法从年龄在 随机选取 人担任领队,记年龄在

岁的“亚健康族”中抽取 人参加健康睡眠体检活动,现从 人中 岁的领队有 人,求 的分布列及数学期望.

【答案】(Ⅰ)由题知第一组的频率为 0.02 ? 10 ? 0.2 、人数为 200 ,故 n ? 1000 ,第二组的频率为

1 ? (0.02 ? 0.02 ? 0.015? 0.01? 0.005) ? 10 ? 0.3
195 ? 0.65 。……6 分 1000 ? 0.3
11

?p?

(Ⅱ)由题知 a ? 60 ,故抽取的 6 人中年龄在 [30,40) 岁的 4 人,年龄在 [40,50) 岁的 2 人,则 X 的可能取值为 0,1,2 ,分布列为:

E( X ) ?

2 。……12 分 3
,

【解析】本题主要考查频率分布直方图,古典概型,随机变量的分布列与数学期望.(1)由题知

第二组的频率为 0.3,所以 p=0.65;(2) 的可能取值为

,可得其分布列,数学期望

.

【备注】常考查:古典概型,频率分布直方图,随机变量的分布列与数学期望.

19.已知递增等比数列

的前 项和为

.

(1)求

;

(2)设

,数列

的前 项和为 ;若

,求 的值.

【答案】(1)

,



单增,故

,

.

(2)

,当 为奇数时,

;当 为偶数时,

,



,



或 .

12

【解析】本题主要考查等比数列的通项与求和,(1)由题意得 ;(2) 【备注】牢记公式. ,故 或 .

,又

单增,故

20.如图,椭圆 的左、右焦点分别为

为椭圆 上任意一点,当

取最大值时

.

(1)求椭圆 的方程;

(2)设直线 与椭圆 ,圆 值. 【答案】(1)由题知

均相切,切点分别为

.当 在区间

内变化时,求

的最大

,

所以椭圆 的方程为

.

(2)解法 1:设

,直线

.

直线

与圆相切



;

13

直线

与椭圆 相切

.

,

弦长公式:

.

解法 2:设

,则切线 的方程为

,

又 与圆

相切,

,即

,又

,

所以

,

,

,

的最大值为

.

14

【解析】 本题主要考查椭圆的标准方程,直线与圆、 椭圆的位置关系.(1)由题知

,所以椭圆



;(2)设

与圆相切,解得

,



所以︱MN︱的最大值为

.

【备注】常考查:直线与圆锥曲线的位置关系,椭圆、双曲线的标准方程,圆锥曲线中参数的求解,体会 设而不求的思想.

21.已知函数

.

(1)当

时,若

恒成立,求 的取值范围;

(2)当

时,若

,求证:

.

【答案】(1)

,



,则

,



内单减,在

内单增,



的最小值为

,

由题知

,即

,

15



,显然



上单增,



,故

,

从而

.

(2)

时,

,

,

,



,则



内单减,在

内单增,



,即

≥ ,

,解得



,



,故

.

【解析】本题主要考查导数在研究函数、不等式中的应用. (1) ≤ ≥ ;构造函数 ,求导可得

16

;(2)

时,

,构造函数

,求导可得

,即

,代入整理得

.

【备注】合理构造函数,体会分类讨论思想、化归与转化思想.

22. 如图,由圆 外一点 引圆的切线

和割线

为切点,

为圆 的直径,且

,延长



使得

与圆 相切,连结

交圆 于点 .

(1)求 ;

(2)若圆 的半径为 ,求

.

【答案】(1)

是切线,所以

,



,所以

,



,所以 Δ

为等边三角形,所以

,

,

所以

,所以

为等边三角形,

17

不妨设圆 的半径为 ,则

,



.

(2)由(1)知

,



【解析】本题主要考查圆切线定理,圆周角定理,切割线定理. (1)

是切线,所以

;

求得

为等边三角形,可得

;(2)由切割线定理得



【备注】常考查:三角形相似,圆周角定理,弦切角定理,切割线定理等.

23.在直角坐标系

中,以原点 为极点、 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点

在直线

上.

(1)求直线 的直角坐标方程;

(2)若点 在直线 上,点 在曲线

为参数 上,求

的最小值.

【答案】(1)

,则

.

(2)由题知,对于某点

,

18





最小,此时

,



,

的最小值为 .

【解析】本题主要考查直线的极坐标方程,曲线的参数方程. (1)转化为

,求得

;(2)当



最小,此时

.

【备注】常考查:极坐标方程与平面直角坐标方程的互化,相交弦长等内容.体会化归与转化思想.

24.已知函数

的定义域为 .

(1)求实数 的取值范围;

(2)若 的最小值为 ,正实数

满足

,求

的最小值.

【答案】(1)由题知

恒成立,即

恒成立;



;

所以

;

19

(2)由(1)

,由柯西不等式

得,

所以

,即

的最小值为 .

【解析】 本题主要考查绝对值不等式,柯西不等式. (1)转化为

恒成立,所以

;(2)

由柯西不等式得

,所以,

4a ? 5b ?

9 3 ? 即 6 2

的最小值为 .

【备注】 常考查绝对值不等式的求解:转化为分段函数或利用绝对值的几何意义.考查学生的运算求解 能力.

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