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金川县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

金川县第二中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1.

为得到函数

y

?

? sin

2x

的图象,可将函数

y

?

sin

? ??

2x

?

? 3

? ??

的图象(



A.向左平移 ? 个单位 3
C.向右平移 ? 个单位 3

B.向左平移 ? 个单位 6
D.向右平移 2? 个单位 3

2. 如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别为( )

A.10 13 B.12.5 12C.12.5 13 D.10 15
3. 运行如图所示的程序框图,输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在某函数图象上,则该函数的解析式 为( )

A.y=x+2 B.y= C.y=3x D.y=3x3

4. 若关于 x 的不等式| x ?1| ? | x ? 2 | ?m ? 7 ? 0 的解集为 R ,则参数 m 的取值范围为( )

A. (4,??)

B. [4,??)

C. (??,4)

D. (??,4]

【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题,强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的

应用,属于中等难度.

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5. α 是第四象限角,

,则 sinα=( )

A.

B.

C.

D.

6. 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各 2 个,无放回的从中任取 3 个球,则恰有两个球同色的概率为( )

A.

B.

C.

D.

7. 已知点 F1,F2 为椭圆

的左右焦点,若椭圆上存在点 P 使得



则此椭圆的离心率的取值范围是( ) A.(0, )B.(0, ] C.( , ] D.[ ,1)

8. 某公园有 P,Q,R 三只小船,P 船最多可乘 3 人,Q 船最多可乘 2 人,R 船只能乘 1 人,现有 3 个大人 和 2 个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,共有不同的乘船方法为( )

A.36 种

B.18 种

C.27 种

D.24 种

9. 在等比数列{an}中,a1 ? an ? 82 ,a3 ? an?2 ? 81 ,且数列{an}的前 n 项和 Sn ? 121 ,则此数列的项数 n

等于( )

A.4

B.5

C.6

D.7

【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式,对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一

定要求,难度中等.

10.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为

()

A.

B.

C.

D.

11.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站

C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )

A.akm

B. akm

C.2akm

D. akm

12.如图,棱长为的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, F 是侧面对角线 BC1, AD1 上一点,若 BED1F

第 2 页,共 18 页

是菱形,则其在底面 ABCD 上投影的四边形面积( )

A. 1 2
二、填空题

B. 3 4

2
C.
2

D. 3 ? 2 4

13.已知 sin ?

? cos ?

?

1 3

,?

?(0,? ) ,则

sin? ? cos? sin 7?

的值为



12

14.定义在 R 上的函数 f (x) 满足: f (x) ? f '(x) ?1, f (0) ? 4 ,则不等式 ex f (x) ? ex ? 3 (其

中为自然对数的底数)的解集为

.

15.已知点 F 是抛物线 y2=4x 的焦点,M,N 是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,M,N,F 三点不共线,则△ MNF

的重心到准线距离为



16. 17.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. 17.定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x),且 f(x)在[﹣1,0]上是增函数,下面 五个关于 f(x)的命题中: ①f(x)是周期函数; ②f(x) 的图象关于 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上为减函数; ⑤f(2)=f(0). 正确命题的个数是 .

18.设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使 得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 .
三、解答题
19.(本小题满分 12 分)某校为了解高一新生对文理科的选择,对 1 000 名高一新生发放文理科选择调查表, 统计知,有 600 名学生选择理科,400 名学生选择文科.分别从选择理科和文科的学生随机各抽取 20 名学生 的数学成绩得如下累计表:

分数段 [40,50) [50,60) [60,70)

理科人数

文科人数

第 3 页,共 18 页

[70,80)





[80,90)



[90,100]

(1)从统计表分析,比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况,并绘制理科数学成绩的频

率分布直方图.

(2)根据你绘制的频率分布直方图,估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分.
20.已知等差数列{an},等比数列{bn}满足:a1=b1=1,a2=b2,2a3﹣b3=1. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)记 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
21.已知函数 f(x)=|x﹣10|+|x﹣20|,且满足 f(x)<10a+10(a∈R)的解集不是空集. (Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A
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(Ⅱ)若 b∈A,a≠b,求证 aabb>abba.

22.已知椭圆 E:

=1(a>b>0)的焦距为 2 ,且该椭圆经过点



(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点 P(﹣2,0)分别作斜率为 k1,k2 的两条直线,两直线分别与椭圆 E 交于 M,N 两点,当直线 MN 与 y 轴垂直时,求 k1k2 的值.

23.已知椭圆 C1: +x2=1(a>1)与抛物线 C :x2=4y 有相同焦点 F1.
(Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 过椭圆 C1 的另一焦点 F2,且与抛物线 C2 相切于第一象限的点 A,设平行 l1 的直线 l 交椭圆 C1 于 B,C 两点,当△ OBC 面积最大时,求直线 l 的方程.

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24.(本题 12 分)

正项数列{an} 满足 an2 ? (2n ?1)an ? 2n ? 0 .

(1)求数列{an} 的通项公式 an ;

(2)令 bn

?

(n

1 ? 1) an

,求数列{bn}的前项和为 Tn

.

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金川县第二中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案)

一、选择题

1. 【答案】C

【解析】

试题分析:将函数

y

?

sin

? ??

2x

?

? 3

? ??

的图象向右平移

? 3

个单位,得

y

?

sin

? ??

2x

?

2? 3

?

? 3

? ??

?

?sin 2x 的图象,故选

C.

考点:图象的平移.

2. 【答案】C

【解析】解:众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标, ∴中间的一个矩形最高,故 10 与 15 的中点是 12.5,众数是 12.5 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 Y 轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是 0.2,第三个矩形的面积是 0.3,故将第二个矩形分成 3:2 即可 ∴中位数是 13 故选:C. 【点评】用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积=组距

×

,各个矩形面积之和等于 1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型.

3. 【答案】 C 【解析】解:模拟程序框图的运行过程,得; 该程序运行后输出的是实数对 (1,3),(2,9),(3,27),(4,81); 这组数对对应的点在函数 y=3x 的图象上. 故选:C. 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题目.
4. 【答案】A

5. 【答案】B 【解析】解:∵α 是第四象限角,

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∴sinα=



故选 B. 【点评】已知某角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数值,应用平方关系、倒数关系、商的关系,这是 三角函数计算题中较简单的,容易出错的一点是角的范围不确定时,要讨论.

6. 【答案】B 【解析】解:从红、黄、蓝三种颜色的球各 2 个,无放回的从中任取 3 个球,共有 C63=20 种, 其中恰有两个球同色 C31C41=12 种,
故恰有两个球同色的概率为 P= = ,
故选:B. 【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题,关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数,属于基 础题.

7. 【答案】D 【解析】解:由题意设

=2x,则 2x+x=2a,

解得 x= ,故|

|= ,|

|= ,

当 P 与两焦点 F1,F2 能构成三角形时,由余弦定理可得

4c2=

+

﹣2×

×

×cos∠F1PF2,

由 cos∠F1PF2∈(﹣1,1)可得 4c2=



cos∠F1PF2∈(



),



<4c2<

,∴ <

<1,即 <e2<1,∴ <e<1;

当 P 与两焦点 F1,F2 共线时,可得 a+c=2(a﹣c),解得 e= = ;
综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[ ,1) 故选:D 【点评】本题考查椭圆的简单性质,涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想,属中档题.

8. 【答案】

C

【解析】 排列、组合及简单计数问题. 【专题】计算题;分类讨论.

第 8 页,共 18 页

【分析】根据题意,分 4 种情况讨论,①,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人,R 船乘 1 个大 1 人,②,P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,R 船乘 1 个大 1 人,③,P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,④,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 2 个大人,分别求出每种情况下的乘船方法,进而由分类计数原理计算可得答案. 【解答】解:分 4 种情况讨论, ①,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人,R 船乘 1 个大 1 人,有 A33=6 种情况, ②,P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,R 船乘 1 个大 1 人,有 A33×A22=12 种 情况, ③,P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人,Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩,有 C32×2=6 种情况, ④,P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人,Q 船乘 2 个大人,有 C31=3 种情况, 则共有 6+12+6+3=27 种乘船方法, 故选 C. 【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用,关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、 组合公式. 9. 【答案】B
10.【答案】C 【解析】解:由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向,从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧, 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选:C. 【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.
11.【答案】D 【解析】解:根据题意, △ABC 中,∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°,
第 9 页,共 18 页

∵AC=BC=akm,

∴由余弦定理,得 cos120°=



解之得 AB= akm, 即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 故选:D.

akm,

【点评】本题给出实际应用问题,求海洋上灯塔 A 与灯塔 B 的距离.着重考查了三角形内角和定理和运用余 弦定理解三角形等知识,属于基础题.

12.【答案】B 【解析】

试题分析:在棱长为的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, BC1 ? AD1 ? 2 ,设 AF ? x ,则 2 ? x ? 1? x2 ,

解得 x ?

2 4

,即菱形

BED1F

的边长为

2?

2 4

?

32 4

,则 BED1F

在底面

ABCD 上的投影四边形是底边

为 3 ,高为的平行四边形,其面积为 3 ,故选 B.

4

4

考点:平面图形的投影及其作法.

二、填空题

13.【答案】 17 ( 6 ? 2) 3
【解析】

第 10 页,共 18 页

sin 7? 12

?

sin

? ??

? 4

?

? 3

? ??

?

sin

? 4

cos

? 3

? cos ? sin ? 43

?

2? 4

6
,

? ? ?

sin? ? cos? sin 7?

?

17 ? 3

4 2?

? 6

17

6?

2

, 故答案为

17 (

6?

2)
.

3

3

12

考点:1、同角三角函数之间的关系;2、两角和的正弦公式.

14.【答案】 (0,??)









考点:利用导数研究函数的单调性.
【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不
等式进行变形,可得 f ?x?? f ??x??1 ? 0 ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以 e x ,即 ex f ?x?? ex f ??x?? ex ? 0 ,因此构造函数 g?x? ? ex f ?x?? ex ,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可 以构造满足前提的特殊函数,比如令 f ?x? ? 4 也可以求解.1

15.【答案】



【解析】解:∵F 是抛物线 y2=4x 的焦点, ∴F(1,0),准线方程 x=﹣1, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), ∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6,

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解得 x1+x2=4, ∴△MNF 的重心的横坐标为 , ∴△MNF 的重心到准线距离为 .
故答案为: . 【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距 离.

16.【答案】 【解析】解:∵f(x)=axg(x)(a>0 且 a≠1),



=ax,

又∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x),

∴(

)′=

>0,



=ax 是增函数,

∴a>1,



+

=.

∴a1+a﹣1= ,解得 a= 或 a=2.

综上得 a=2.

∴数列{

}为{2n}.

∵数列{

}的前 n 项和大于 62,

∴2+22+23+…+2n=

=2n+1﹣2>62,

即 2n+1>64=26, ∴n+1>6,解得 n>5. ∴n 的最小值为 6. 故答案为:6. 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用,巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起,是一道好题.

第 12 页,共 18 页

17.【答案】 3 个 .
【解析】解:∵定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数 f(x),∴f(x)=f(﹣x); ∵f(x+1)=﹣f(x),∴f(x+1)=﹣f(x),∴f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x),f(﹣x+1)=﹣f(x) 即 f(x+2)=f(x),f(﹣x+1)=f(x+1),周期为 2,对称轴为 x=1 所以①②⑤正确, 故答案为:3 个
18.【答案】 (﹣∞,﹣1)∪(0,1) .

【解析】解:设 g(x)=

,则 g(x)的导数为:

g′(x)=



∵当 x>0 时总有 xf′(x)<f(x)成立, 即当 x>0 时,g′(x)恒小于 0,

∴当 x>0 时,函数 g(x)=

为减函数,

又∵g(﹣x)=

=

=

=g(x),

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数

又∵g(﹣1)=

=0,

∴函数 g(x)的大致图象如图所示: 数形结合可得,不等式 f(x)>0?x?g(x)>0

?





?0<x<1 或 x<﹣1. ∴f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(0,1). 故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(0,1).

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三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩,反映 了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响,频率分布直方图如下.

(2)从频率分布直方图知,数学成绩有 50%小于或等于 80 分,50%大于或等于 80 分,所以中位数为 80 分. 平均分为(55×0.005+65×0.015+75×0.030+85×0.030+95×0.020)×10=79.5, 即估计选择理科的学生的平均分为 79.5 分. 20.【答案】 【解析】解:(I)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q:∵a1=b1=1,a2=b2,2a3﹣b3=1.

∴1+d=q,2(1+2d)﹣q2=1,解得





∴an=1,bn=1; 或 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,bn=3n﹣1.

(II)当

时,cn=anbn=1,Sn=n.

第 14 页,共 18 页



时,cn=anbn=(2n﹣1)3n﹣1,

∴Sn=1+3×3+5×32+…+(2n﹣1)3n﹣1, 3Sn=3+3×32+…+(2n﹣3)3n﹣1+(2n﹣1)3n,

∴﹣2Sn=1+2(3+32+…+3n﹣1)﹣(2n﹣1)3n=

﹣1﹣(2n﹣1)3n=(2﹣2n)3n﹣2,

∴Sn=(n﹣1)3n+1. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

21.【答案】 【解析】解(1)要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|<10a+10 的解集不是空集, 则(|x﹣10|+|x﹣20|)min<10a+10, 根据绝对值三角不等式得:|x﹣10|+|x﹣20|≥|(x﹣10)﹣(x﹣20)|=10, 即(|x﹣10|+|x﹣20|)min=10, 所以,10<10a+10,解得 a>0, 所以,实数 a 的取值集合为 A=(0,+∞); (2)∵a,b∈(0,+∞)且 a≠b,
∴不妨设 a>b>0,则 a﹣b>0 且 >1,



>1 恒成立,即

>1,

所以,aa﹣b>ba﹣b, 将该不等式两边同时乘以 abbb 得, aabb>abba,即证. 【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明,涉及指数函数的性质,属于中档题.

22.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)由题意得,2c=2 ,

=1;

解得,a2=4,b2=1; 故椭圆 E 的方程为 +y2=1; (Ⅱ)由题意知,当 k1=0 时,M 点的纵坐标为 0, 直线 MN 与 y 轴垂直,

第 15 页,共 18 页

则点 N 的纵坐标为 0, 故 k2=k1=0,这与 k2≠k1 矛盾. 当 k1≠0 时,直线 PM:y=k1(x+2);



得,

( +4)y2﹣ =0;

解得,yM=



∴M(



),

同理 N(



),

由直线 MN 与 y 轴垂直,则

=



∴(k2﹣k1)(4k2k1﹣1)=0, ∴k2k1= . 【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用,属于中档题.

23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵抛物线 x2=4y 的焦点为 F1(0,1), ∴c=1,又 b2=1,∴
∴椭圆方程为: +x2=1. …
(Ⅱ)F2(0,﹣1),由已知可知直线 l1 的斜率必存在,

设直线 l1:y=kx﹣1

第 16 页,共 18 页



消去 y 并化简得 x2﹣4kx+4=0

∵直线 l1 与抛物线 C2 相切于点 A. ∴△=(﹣4k)2﹣4×4=0,得 k=±1.…
∵切点 A 在第一象限. ∴k=1… ∵l∥l1 ∴设直线 l 的方程为 y=x+m



,消去 y 整理得 3x2+2mx+m2﹣2=0,…

△=(2m)2﹣12(m2﹣2)>0,

解得



设 B(x1,y1),C(x2,y2),则



又直线 l 交 y 轴于 D(0,m) ∴

.… …

=



,即

时,

.…

所以,所求直线 l 的方程为

.…

【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质,考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查运算求解能力 及数形结合和化归与转化思想.

24.【答案】(1) an

?

2n ;(2) Tn

?

n 2(n ? 1)

.

第 17 页,共 18 页

考 点:1.一元二次方程;2.裂项相消法求和.
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