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2013届高三数学全程复习05 第五编 平面向量、解三角形(共39页)教学案 新人教版


第五编
§5.1

平面向量、解三角形

平面向量的概念及线性运算

基础自测 1.下列等式正确的是 ①a+0=a 答案 ①②④ . ②a+b=b+a (填序号). ③ AB + BA ≠0 ④ AC = DC + AB + BD

D A B

C

2.如图所示,在平行四边行 ABCD 中,下列结论中正确的是 ① AB = DC 答案 ①②④ ② AD + AB = AC ③ AB - AD = BD

④ AD + CB =0

3.(2008?广东理,8)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于 点 F.若 AC =a, BD =b,则 AF = 答案 .

2 1 a+ b 3 3
.

4.若 ABCD 是正方形,E 是 DC 边的中点,且 AB =a, AD =b,则 BE = 答案 b-

1 a 2 1 AB ,且| AD |=| BC |,则这个四边形是 2
.

5.设四边形 ABCD 中,有 DC = 答案 等腰梯形

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例1

给出下列命题

①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同; ④两个有共同终点的向量,一定是共线向量; ⑤向量 AB 与向量 CD是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上; ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.

其中假命题的个数为 答案 例2 4

.

如图所示,若四边形 ABCD 是一个等腰梯形,

AB∥DC,M、N 分别是 DC、AB 的中点,已知 AB =a,

AD =b, DC =c,试用 a、b、c 表示 BC , MN ,

DN + CN .


BC = BA + AD + DC =-a+b+c,
1 1 DC , DA =- AD , AN = AB , 2 2

∵ MN = MD + DA + AN , ∴ MD =∴ MN =

1 1 a-b- c. 2 2

DN + CN = DM + MN + CM + MN =2 MN =a-2b-c. 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线,
(1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD=3(a-b), 求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. (1)证明 ∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), ∴ BD = BC + CD=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b =5(a+b)=5 AB . ∴ AB 、 BD 共线, 又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 ? ,使 ka+b= ? (a+kb), 即 ka+b= ? a+ ? kb. ∴(k- ? )a=( ? k-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k- ? = ? k-1=0,∴k -1=0.
2

∴k=±1. 例4 (14 分)如图所示,在△ABO 中, OC =

1 OA , 4

OD =

1 OB ,AD 与 BC 相交于点 M,设 OA =a, OB =b.试 2

用 a 和 b 表示向量 OM . 解 设 OM =ma+nb, 则 AM = OM - OA =ma+nb-a=(m-1)a+nb.

AD = OD - OA =

1 1 OB - OA =-a+ b. 2 2

又∵A、M、D 三点共线,∴ AM 与 AD 共线. ∴存在实数 t,使得 AM =t AD ,

即(m-1)a+nb=t(-a+ ∴(m-1)a+nb=-ta+

1 b). 2

4分

1 tb. 2

?m ? 1 ? ?t ? ,消去 t 得:m-1=-2n. ∴ ?n ? t ? 2 ?

即 m+2n=1. 又∵ CM = OM - OC =ma+nb-



6分

1 1 a=(m- )a+nb. 4 4

CB = OB - OC =b-

1 1 a=- a+b. 4 4
10 分

又∵C、M、B 三点共线,∴ CM 与 CB 共线. ∴存在实数 t1,使得 CM =t1 CB , ∴(m-

1 ? 1 a )a+nb=t1 ? ? ? 4 ? 4

b ? ?, ?

1 1 ? ?m ? ? ? t1 ∴? 4 4 , ?n ? t1 ?

消去 t1 得,4m+n=1 由①②得 m= ∴ OM =

② 12 分

1 3 ,n= , 7 7
14 分

1 3 a+ b. 7 7

1.下列命题中真命题的个数为 ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;

.

②若 AB = DC ,则 A、B、C、D 是一个平行四边形的四个顶点; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 答案 1 2.在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D, 使 DB=

1 OB.DC 与 OA 交于 E,设 OA =a, OB =b,用 a, 3

b 表示向量 OC , DC . 解 因为 A 是 BC 的中点,

所以 OA =

1 ( OB + OC ),即 OC =2 OA - OB =2a-b; 2 5 2 2 OB =2a-b- b=2a- b. 3 3 3

DC = OC - OD = OC -

3.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a,tb, 条直线上? 解

1 (a+b)三向量的终点在同一 3

1 设 OA =a, OB =tb, OC = (a+b), 3
1 2 a+ b, AB = OB - OA =tb-a. 3 3

∴ AC = OC - OA =-

要使 A、B、C 三点共线,只需 AC = ? AB 即-

1 2 a+ b= ? tb- ? a 3 3

2 ? 2 ? ?? 3 ? ? ? ?? ? 3 ? ? ∴有 ? ,∴ ? ? 1 ? ?t ?t ? 1 ? 2 ?3 ? ?

∴当 t=

1 时,三向量终点在同一直线上. 2

4.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在 AC 上, 且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值. 解 方法一 设 e1= BM ,e2= CN ,

则 AM = AC + CM =-3e2-e1,

BN = BC + CN =2e1+e2. 因为 A、P、M 和 B、P、N 分别共线,所以存在实数 ? 、 ? ,使
AP = ? AM =-3 ? e2- ? e1,
BP = ? BN =2 ? e1+ ? e2,∴ BA = BP - AP =( ? +2 ? )e1+(3 ? + ? )e2,
另外 BA = BC + CA =2e1+3e2,
? ?? ? ?? ? 2 ? ? 2 ? ,∴ ? ? ?3? ? ? ? 3 ?? ? ? ? 4 5 , 3 5

∴ AP = 方法二

3 4 AM , BP = BN ,∴AP∶PM=4∶1. 5 5
设 AP = ? AM ,

∵ AM = ∴ AP =

1 1 3 ( AB + AC )= AB + AN , 2 2 4

3 ? AB + ? AN . 2 4

∵B、P、N 三点共线,∴ AP - AB =t( AB - AN ), ∴ AP =(1+t) AB -t AN

?? ? ? 1? t ? ∴?2 ? 3 ? ? ?t ?4 ?



4 ? 3 + ? =1, ? = ,∴AP∶PM=4∶1. 2 4 5

一、填空题 1.下列算式中正确的是 ① AB + BC + CA =0 答案 ①③④ (用 b,c 表示). (填序号). ② AB - AC = BC ③0? AB =0 ④ ? ( ? a)= ? ? ? ?a

2.(2008?全国Ⅰ理)在△ABC 中, AB =c, AC =b,若点 D 满足 BD =2 DC ,则 AD = 答案

1 2 b+ c 3 3
. 等腰梯形

3.若 AB =3e1, CD=-5e1,且| AD |=| BC |,则四边形 ABCD 是 答案 4.如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面 分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若 OP =a OP 1+b OP 2,且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 a,b 满足 a 答案 0,b > < 0.(用“>”,“<”或“=”填空)

5.设 OB =x OA +y OC ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过端点 O) ,则 x+y= 答案 1 6.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若 PA + PB + PC = AB ,则点 P 在线段 答案 AC

.

上.

7.在△ABC 中, CA =a, CB =b,M 是 CB 的中点,N 是 AB 的中点,且 CN、AM 交于点 P,则 AP 可用 a、b 表示 为 答案 .

1 2 a+ b 3 3 1 CA + ? CB ,则 ? = 3
.

8.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD= 答案

2 3

二、解答题 9.如图所示,△ABC 中, AD =

2 AB ,DE∥BC 交 AC 于 E,AM 是 BC 边上中线,交 DE 于 N.设 AB =a, AC =b, 3

用 a,b 分别表示向量 AE , BC , DE , DN , AM , AN .
DE // BC



? ? 2 ? AD ? AB? 3 ?

?

AE =

2 2 AC = b. 3 3

BC = AC - AB =b-a.
由△ADE∽△ABC,得 DE =

2 2 BC = (b-a). 3 3

由 AM 是△ABC 的中线, DE ∥BC,得

DN =

1 1 DE = (b-a). 2 3 1 1 BC =a+ (b-a) 2 2

而且 AM = AB + BM =a+ =

1 (a+b). 2
?ADN ∽ ?ABM ? ? 2 ? AD ? AB ? 3 ?

? AN = 2
3

AM =

1 (a+b). 3 2 AD , AB =a, AC =b. 3

10.如图所示,在△ABC 中,D、F 分别是 BC、AC 的中点, AE = (1)用 a、b 表示向量 AD 、 AE 、 AF 、 BE 、 BF ; (2)求证:B、E、F 三点共线. (1)解 延长 AD 到 G,使 AD =

1 AG , 2

连接 BG、CG,得到 ABGC, 所以 AG =a+b,

AD = AE = AF =

1 1 AG = (a+b), 2 2 1 2 AD = (a+b). 3 3 1 1 AC = b, 2 2 1 1 (a+b)-a= (b-2a). 3 3 1 1 b-a= (b-2a). 2 2 2 BF ,所以 B、E、F 三点共线. 3 1 ( AB + DC ). 2

BE = AE - AB = BF = AF - AB =
(2)证明

由(1)可知 BE =

11.已知:任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,求证: EF = 证明 方法一 如图,

∵E、F 分别是 AD、BC 的中点, ∴ EA + ED =0, FB + FC =0, 又∵ AB + BF + FE + EA =0, ∴ EF = AB + BF + EA 同理 EF = ED + DC + CF 由①+②得, 2 EF = AB + DC +( EA + ED )+( BF + CF )= AB + DC . ① ②

∴ EF = 方法二

1 ( AB + DC ). 2
连结 EB , EC ,

则 EC = ED + DC ,

EB = EA + AB ,
∴ EF = = =

1 ( EC + EB ) 2

1 ( ED + DC + EA + AB ) 2 1 ( AB + DC ). 2

12.已知点 G 为△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点,且 AM =x AB , AN =y AC , 求 解

1 1 + 的值. x y
根据题意 G 为三角形的重心,

故 AG =

1 ( AB + AC ), 3 1 ( AB + AC )-x AB 3

MG = AG - AM =
=(

1 1 -x) AB + AC , 3 3

GN = AN - AG =y AC - AG
=y AC =(y-

1 ( AB + AC ) 3

1 1 ) AC - AB , 3 3

由于 MG 与 GN 共线,根据共线向量基本定理知

MG = ? GN ? (

1 1 -x) AB + AC 3 3

1 1 ? ? = ? ?( y ? ) AC ? AB? , 3 3 ? ?

1 ?1 ? ? x ? ?3? ?3 ? ?1 ? ?( y ? 1) ?3 3 ?

?

1 1 ?x 3 = 3 1 1 y? ? 3 3

? x+y-3xy=0 两边同除以 xy 得 1

x

+

1 =3. y

§5.2

平面向量基本定理及坐标表示

基础自测 1.已知平面向量 a=(1,1) ,b=(1,-1),则向量 答案 (-1,2) 2. (2008? 安徽理) 在平行四边形 ABCD 中, 为一条对角线, AB =(2, AC 若 4),AC =(1, 则 BD = 3), 答案 (-3,-5) 3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,1),则 c= 答案 (用 a,b 表示). .

1 3 a- b= 2 2

.

1 3 a- b 2 2
.

? 1 ? 4.已知向量 a= ? 8, x ? ,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则 x 的值为 ? `2 ?
答案 4

3? ?1 1 ? ? 5.设 a= ? sin x, ? ,b= ? , cos x ? ,且 a∥b,则锐角 x 为 3 2 4? ? ? ?
答案

.

? 4

例1

设两个非零向量 e1 和 e2 不共线.

(1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD=-8e1-2e2, 求证:A、C、D 三点共线; (2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD=2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值. (1)证明

AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD=-8e1-2e2,

AC = AB + BC =4e1+e2
=-

1 1 (-8e1-2e2)=- CD, 2 2

∴ AC 与 CD共线, 又∵ AC 与 CD有公共点 C, ∴A、C、D 三点共线. (2)解

AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,

∵A、C、D 三点共线, ∴ AC 与 CD共线,从而存在实数 ? 使得 AC = ? CD, 即 3e1-2e2= ? (2e1-ke2),由平面向量的基本定理,
?3 ? 2? 2 4 得? ,解之得 ? = ,k= . ? 2 ? ??k 3 3 ?

例2 解

已知点 A(1,0) 、B(0,2) 、C(-1,-2) ,求以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 设 D 的坐标为(x,y).

的坐标.

(1)若是? ABCD,则由 AB = DC 得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),

即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
? ?1 ? x ? ?1 ∴? , ∴x=0,y=-4. ?? 2 ? y ? 2

∴D 点的坐标为(0,-4) (如图中的 D1). (2)若是? ADBC,则由 AD = CB 得 (x,y)-(1,0)=(0,2)-(-1,-2) , 即(x-1,y)=(1,4).解得 x=2,y=4. ∴D 点坐标为(2,4) (如图中的 D2). (3)若是? ABDC,则由 AB = CD得 (0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2). 解得 x=-2,y=0. ∴D 点的坐标为(-2,0) (如图中的 D3). 综上所述,以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0). 例 3 (14 分)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d. 解 (1)∵(a+kc)∥(2b-a) , 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∴2?(3+4k)-(-5)?(2+k)=0, ∴k=2分 4分 6分

16 . 13

(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,

? ?4?x ? 4? ? 2? y ? 1? ? 0 ∴? , ??x ? 4?2 ? ? y ? 1?2 ? 1 ?
? ? 5 5 ?x ? 4 ? ?x ? 4 ? ? ? 5 5 解得 ? 或? . 2 5 2 5 ? ? ?y ? 1? 5 ?y ? 1? 5 ? ?

10 分

12 分

? 20 ? 5 5 ? 2 5 ? ? ? ? 或 d= ? 20 ? 5 ,5 ? 2 5 ? . , ∴d= ? ? ? ? ? 5 5 5 5 ? ? ? ?

14 分

1.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 AM =c, AN =d,试用 c,d 表示 AB ,

AD .
解 方法一 设 AB =a, AD =b,

? 1 ? 则 a= AN + NB =d+ ? ? b ? ? 2 ?

? 1 ? b= AM + MD =c+ ? ? a ? ? 2 ? ? 1 ? ? ? 1 ?? 将②代入①得 a=d+ ? ? ? ?c ? ? ? a ?? ? 2 ? ? ? 2 ??
? a=

2 4 d - c,代入② 3 3

2 ? 4 2 ? 1? ?4 得 b=c+ ? ? ? ? d ? c ? ? c- d 3 ? 3 3 ? 2? ?3
即 AB = 方法二

4 2 4 2 d- c, AD = c- d 3 3 3 3
设 AB =a, AD =b.

因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, 所以 BN =

1 1 b, DM = a, 2 2
? ?a ? ? ? ?b ? ? ? 2 (2d ? c) 3 , 2 (2c ? d ) 3

1 ? ?c ? b ? 2 a ? 因而 ? ? ?d ? a ? 1 b ? 2 ?
即 AB =

2 2 (2d-c), AD = (2c-d). 3 3

2.已知 A(-2,4) 、B(3,-1) 、C(-3,-4)且 CM =3 CA , CN =2 CB ,求点 M、N 及 MN 的坐标. 解 ∵A(-2,4) 、B(3,-1) 、C(-3,-4) ,

∴ CA =(1,8) CB =(6,3) , , ∴ CM =3 CA =(3,24) CN =2 CB =(12,6). , 设 M(x,y) ,则有 CM =(x+3,y+4) ,
?x ? 3 ? 3 ?x ? 0 ∴? ,∴ ? , y ? 4 ? 24 ? ? y ? 20

∴M 点的坐标为(0,20). 同理可求得 N 点坐标为(9,2) ,因此 MN =(9,-18) , 故所求点 M、N 的坐标分别为(0,20)(9,2) 、 ,

MN 的坐标为(9,-18).
3.已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-1,0)(3,-1)(1,2) 、 、 ,并且 AE = 求证: EF ∥ AB . 证明 设 E、F 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 、 ,则依题意,得 AC =(2,2) BC =(-2,3) , ,

1 1 AC , BF = BC . 3 3

AB =(4,-1).

BC

AE =

1 1 ?2 2? ? 2 ? AC = ? , ? , BF = BC = ? ? ,1? 3 3 ?3 3? ? 3 ?

?2 2? AE =(x 1 ,y 1 )-(-1,0)= ? , ? , ?3 3? ? 2 ? BF =(x 2 ,y 2 )-(3,-1)= ? ? ,1? . ? 3 ?

EF

AB
EF

AB.

一、填空题 1.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线,则 答案 -

m = n

.

1 2
.

2.设 a、b 是不共线的两个非零向量,已知 AB =2a+pb, BC =a+b, CD=a-2b.若 A、B、D 三点共线,则 p 的值为 答案 -1 3.已知向量 OM =(3,-2), ON =(-5,-1),则 答案

1 MN = 2

.

1? ? ? ? 4, ? 2? ?
. -3 .

4.(2007?北京文)已知向量 a=(2,4),b=(1,1),若向量 b⊥(a+ ? b),则实数 ? 的值是 答案 坐标为 答案

5.(2008?辽宁文)已知四边形 ABCD 的顶点 A(0,2) 、B(-1,-2) 、C(3,1) ,且 BC =2 AD ,则顶点 D 的

? 7? ? 2, ? ? 2?

6.设 0≤ ? <2 ? ,已知两个向量 OP1 =(cos ? ,sin ? ) OP2 =(2+sin ? ,2-cos ? ) , ,则向量 P1 P2 长度的 最大值是 答案 3 2 7.(2008?全国Ⅱ文)设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 ? a+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 ? = 答案 2 8.(2008?菏泽模拟)已知向量 m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m∥n (a>0,b>0),则 ab 的最小值是 答案 16 二、解答题 9.已知 A(-2,4) ,B(3,-1) ,C(-3,-4). 设 AB =a, BC =b, CA =c,且 CM =3c, CN =-2b, (1)求:3a+b-3c; . . .

(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n. 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n) ,
? ?6 m ? n ? 5 ? m ? ?1 ∴? ,解得 ? . ? 3m ? 8 n ? ? 5 ? ? n ? ?1

10.若 a,b 为非零向量且 a∥b, ? 1, ? 2∈R,且 ? 1 ? 2≠0. 求证: ? 1a+ ? 2b 与 ? 1a- ? 2b 为共线向量. 证明 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). ∵a∥b,b≠0,a≠0,∴存在实数 m,使得 a=mb, 即 a=(x1,y1)=(mx2,my2), ∴ ? 1a+ ? 2b=((m ? 1+ ? 2)x2,(m ? 1+ ? 2)y2) =(m ? 1+ ? 2)(x2,y2) 同理 ? 1a- ? 2b=(m ? 1- ? 2)(x2,y2), ∴( ? 1a+ ? 2b)∥( ? 1a- ? 2b)∥b, 而 b≠0,∴( ? 1a+ ? 2b)∥( ? 1a- ? 2b). 11.在? ABCD 中,A(1,1) AB =(6,0) , ,点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P. (1)若 AD =(3,5) ,求点 C 的坐标; (2)当| AB |=| AD |时,求点 P 的轨迹. 解 (1)设点 C 坐标为(x0,y0), 又 AC = AD + AB =(3,5)+(6,0)=(9,5), 即(x0-1,y0-1)=(9,5) , ∴x0=10,y0=6,即点 C(10,6). (2)由三角形相似,不难得出 PC =2 MP 设 P(x,y) ,则

BP = AP - AB =(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1),

AC = AM + MC =
=

1 AB +3 MP 2

1 1 AB +3( AP - AB ) 2 2

=3 AP - AB =(3(x-1) ,3(y-1) )-(6,0) =(3x-9,3y-3) , ∵| AB |=| AD |,∴? ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD, ∴ AC ⊥ BP ,即(x-7,y-1)(3x-9,3y-3)=0. ? (x-7) (3x-9)+(y-1) (3y-3)=0, ∴x +y -10x-2y+22=0(y≠1). ∴(x-5) +(y-1) =4(y≠1). 故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半径的圆去掉与直线 y=1 的两个交点. 12.A(2,3),B(5,4),C(7,10), AP = AB + ? AC .当 ? 为何值时, (1)点 P 在第一、三象限的角平分线上; (2)点 P 到两坐标轴的距离相等? 解 (1)由已知 AB =(3,1) AC =(5,7) , ,
2 2 2 2

则 AB + ? AC =(3,1)+ ? (5,7)=(3+5 ? ,1+7 ? ). 设 P(x,y) ,则 AP =(x-2,y-3) ,
? x ? 2 ? 3 ? 5? ? x ? 5 ? 5? ∴? ,∴ ? . y ? 3 ? 1 ? 7? ? ? y ? 4 ? 7?

∵点 P 在第一、三象限的角平分线上, ∴x=y,即 5+5 ? =4+7 ? ,∴ ? =

1 . 2

(2)若点 P 到两坐标轴的距离相等, 则|x|=|y|,即|5+5 ? |=|4+7 ? |, ∴? =

1 3 或 ? =- . 2 4

1.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为 答案

.

65 5
.

2.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC =a, AB =c, AC =b,则 a?b+b?c+c?a= 答案

1 2
.

3.向量 a=(cos15°,sin15°),b=(-sin15°,-cos15°),则|a-b|的值是 答案
3

4.(2009?常州市武进区四校高三联考)已知向量 a=(2,1),b=(3, ? ) ( ? >0),若(2a-b)⊥b,则 ? = 答案 3

.

5.(2008?浙江理)已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)(b-c)=0,则|c|的 ? 最大值是 答案 .

2

例1

3 3 ? ? 已知向量 a= ? cos x, sin x ? 2 2 ? ?

x x? ? ? ? ?? b= ? cos ,? sin ? 且 x∈ ?? , ? . 2 2? ? ? 3 4?
(1)求 a?b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a?b-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值. 解 (1)a?b=cos

x x 3 3 xcos -sin xsin =cos2x, 2 2 2 2

3x x 3 x? ? sin x ? sin ? a+b= ? cos ? cos , 2 2 2 2? ?

(2)由(1)可得 f(x)=cos2x-2cosx=2cos x-2cosx-1

2

∴当 cosx=

1 3 时,f(x)取得最小值为- ; 2 2

当 cosx=1 时,f(x)取得最大值为-1. 例2 已知 a=(cos ? ,sin ? ),b=(cos ? ,sin ? )(0< ? < ? < ? ). (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等,求 ? - ? .(其中 k 为非零实数) (1)证明
2

(a+b)?(a-b)=a -b =|a| -|b|
2 2 2

2

2

2

2

=(cos ? +sin ? )-(cos ? +sin ? )=0, ∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2)解 ka+b=(kcos ? +cos ? ,ksin ? +sin ? ),a-kb=(cos ? -kcos ? ,sin ? -ksin ? ),

ka ? b = k 2 ? 2k cos( ? ? ? ) ? 1, a ? kb = 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ? k 2 .
? ka ? b = a ? kb ,

? 2k cos( ? ? ? ) ? ?2k cos( ? ? ? ).

又 k ? 0, ? cos( ? ? ? )=0. 而 0< ? < ? < ? , ? ? - ? = 例3

?
2

.

(14 分)设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1 与 e2 的夹角为

?
3

,若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹

角为钝角,求实数 t 的范围. 解 得 由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,

?2 t ? 7e2 ??e1 ? t 2 ? <0, · e te1 t
2 e1 ? 7e2 ·1 ? e2 e
2

3分

即(2te1+7e2)?(e1+te2)<0, 化简即得:2t +15t+7<0, 解得-7<t<-

1 , 2

7分

当夹角为 ? 时, 也有(2te1+7e2)?(e1+te2)<0, 但此时夹角不是钝角,2te1+7e2 与 e1+te2 反向. 设 2te1+7e2= ? (e1+te2), ? <0, 9分

?? ? ? 14 ? 2t ? ? ? ? 可求得 ?7 ? ? t ,∴ ? 14 ?? ? 0 ?t ? ? ? 2 ?
? ? 14 ? ? ? ? ? ? 14 ,? 1 ? . ∴所求实数 t 的范围是 ? ? 7,? ? 2 2? 2 ? ? ? ? ? ?

12 分

14 分

1.向量 a=(cos23°,cos67°),向量 b=(cos68°,cos22°). (1)求 a?b; (2)若向量 b 与向量 m 共线,u=a+m,求 u 的模的最小值. 解 (1)a?b=cos23°?cos68°+cos67°?cos22°

=cos23°?sin22°+sin23°?cos22°=sin45°= (2)由向量 b 与向量 m 共线, 得 m= ? b( ? ∈R) , u=a+m=a+ ? b =(cos23°+ ? cos68°,cos67°+ ? cos22°) =(cos23°+ ? sin22°,sin23°+ ? cos22°) , |u| =(cos23°+ ? sin22°) +(sin23°+ ? cos22°)
2 2

2 . 2

2

? 2? 2 ? = ? + 2 ? +1= ? ? ? ? 2 ? ? ?
∴当 ? =-

2

+

1 , 2

2 2 时,|u|有最小值为 . 2 2

? 1 3? ? ,b=(- 3 ,-1). 2.已知平面向量 a= ? ? , ? 2 2 ? ? ?

(1)证明:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k、t,使 x=a+(t -2)b,y=-ka+t b,且 x⊥y,试把 k 表示为 t 的函数. (1)证明
? 1 3? ? ? ? 3 ,?1 a?b= ? ? , ? 2 2 ? ? ?
2 2

?

?

3 ? 1? = ? ? ? ?(- 3 )+ ?(-1)=0, 2 ? 2?
∴a⊥b. (2)解 ∵x⊥y,∴x?y=0,
2 2 2 2 2 2 2 2

即[a+(t -2)b](-ka+t b)=0. ? 展开得-ka +[t -k(t -2)]a?b+t (t -2)b =0, ∵a?b=0,a =|a| =1,b =|b| =4, ∴-k+4t (t -2)=0,∴k=f(t)=4t (t -2). 3.设 a=(cos ? ,sin ? ),b=(cos ? ,sin ? ),且 a 与 b 具有关系|ka+b|= 3 |a-kb|(k>0).
2 2 2 2 2 2 2 2

(1)用 k 表示 a?b; (2)求 a?b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角. 解 (1)∵|ka+b|= 3 |a-kb|, ∴(ka+b) =3(a-kb) ,且|a|=|b|=1, 即 k +1+2ka?b=3(1+k -2ka?b), ∴4ka?b=k +1.∴a?b= (2)由(1)知:∵k>0 ∴a?b=
k 1 1 1 1 ? ? ·· k · = . 2 4 4k 4 k 2
2 2 2 2 2

k 2 ?1 (k>0). 4k

∴a?b 的最小值为

1 (当且仅当 k=1 时等号成立) 2
a· 1 b = . ab 2

设 a、b 的夹角为 ? ,此时 cos ? = 0≤ ? ≤ ? ,∴ ? =

? . 3

故 a?b 的最小值为

1 ? ,此时向量 a 与 b 的夹角为 . 3 2

一、填空题 1.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,则点 O 是△ABC 的 答案 答案 垂 . 5 . 2.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a?b+b?b 的值为 3.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a?b=2,则 a 与 b 的夹角为 答案 心.

?
3
条件. . 充要

4.若 a 与 b-c 都是非零向量,则“a?b=a?c”是“a⊥(b-c) ”的 答案

5.已知 a,b 是非零向量,且满足(a-2b)⊥a, (b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是 答案

?
3
.

6.(2009?成化高级中学高三期中)已知 3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则 a?(b+c)= 答案

?

3 5

7.(2008?天津理,14)如图所示,在平行四边形 ABCD 中, , ,则 AD ? AC = AC =(1,2) BD =(-3,2) 答案 3 8.(2008? 江西理,13)直角坐标平面内三点 A(1,2) 、B(3,-2) 、C(9, F 为线段 BC 的三等分点,则 AE ? AF = . 7) 若 E、 , .

答案 22 二、解答题 9.已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120°. (1)求证: (a-b)⊥c; (2)若|ka+b+c|>1 (k∈R),求 k 的取值范围. (1)证明 ∵(a-b) ?c=a?c-b?c =|a|?|c|?cos120°-|b|?|c|?cos120°=0, ∴(a-b)⊥c. (2)解
2 2

|ka+b+c|>1 ? |ka+b+c| >1,
2 2 2

? ? k a +b +c +2ka?b+2ka?c+2b?c>1. ∵|a|=|b|=|c|=1,且 a、b、c 的夹角均为 120°, ∴a =b =c =1,a?b=b?c=a?c=2 2 2 2 2

1 , 2

∴k +1-2k>1,即 k -2k>0,∴k>2 或 k<0.

4? ? 2? 2? ? ? 4? ? ? ?? 10.已知 a= ? sin , cos ?, b ? ? ? sin , cos ? ,且 ? ∈ ?0, ? . 3 3 ? 3 3 ? ? ? ? 3?
(1)求

a· b 的最值; a?b

(2)若|ka+b|= 3 |a-kb| (k∈R),求 k 的取值范围. 解 (1)a?b=-sin

4? 2? 4? 2? ?sin +cos ?cos =cos2 ? , 3 3 3 3

2 2 2 2 |a+b| =|a| +|b| +2a?b=2+2cos2 ? =4cos ? .

? ?? ?1 ? ∵ ? ∈ ?0, ? ,∴cos ? ∈ ? ,1? ,∴|a+b|=2cos ? . 3? ? ?2 ?


a· b cos 2? 1 = =cos ? . a?b 2 cos? 2 cos ?
1 1? 1 ? ≤t≤1, ? t ? ? ′=1+ 2 >0, 2 2t ? 2t ?

令 t=cos ? ,则 ∴t∴1 2t

?1 ? 在 t∈ ? , ? 上为增函数. 1 ?2 ?

1 1 1 ≤t≤ , 2 2 2t

即所求式子的最大值为
2

1 1 ,最小值为- . 2 2
2

(2)由题设可得|ka+b| =3|a-kb| , ∴(ka+b) =3(a-kb)
2 2

又|a|=|b|=1,a?b=cos2 ? ,∴cos2 ? =

1? k 2 . 4k

1 ? ?? 由 ? ∈ ?0, ? ,得- ≤cos2 ? ≤1. 2 ? 3?
∴-

1 1? k 2 ≤ ≤1.解得 k∈[2- 3 ,2+ 3 ] ? {-1}. 4k 2

11.设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是 60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 解 由|m|=1,|n|=1,夹角为 60°,得 m?n=

1 . 2

则有|a|=|2m+n|= (2m ? n) 2 = 4m2 ? 4m· ? n 2 = 7 . n |b|= ( 2n ? 3m) 2 = 4n 2 ?12m ? n ? 9m2 = 7 . 而 a?b=(2m+n)(2n-3m)=m?n-6m +2n =? 设 a 与 b 的夹角为 ? ,
7 ? a· b 1 则 cos ? = = 2 =- .故 a,b 夹角为 120°. 7 a· b 2
2 2

7 , 2

3x 3x ? x x? 1 3 ? ?? ? ? 12.已知向量 a= ? cos ,? sin ?,b ? ? cos ,sin ? ,x∈ ?0, ? .若函数 f(x)=a? b- ? |a+b|的最小值为- , 2? 2 2? 2 2? 2 2 ? ? ?
求实数 ? 的值. 解
? ?? ∵|a|=1,|b|=1,x∈ ?0, ? , ? 2?

∴a?b=cos

3x x 3x x cos -sin sin =cos2x, 2 2 2 2

|a+b|= ( a ? b ) 2 = a 2 ? 2a ? b ? b 2 = 2 ? 2 cos 2 x =2 cos x =2cosx. ∴f(x)=cos2x- ? cosx=2cos x- ? cosx-1
2

?? ? =2 ? cos x ? ? 4? ?

2

-

?2
8

-1,cosx∈[0,1].

①当 ? <0 时,取 cosx=0,此时 f(x)取得最小值, 并且 f(x)min=-1≠-

3 ,不合题意. 2

②当 0≤ ? ≤4 时,取 cosx= 此时 f(x)取得最小值, 并且 f(x)min=-

? , 4

?2
8

-1=-

3 ,解得 ? =2. 2

③当 ? >4 时,取 cosx=1,此时 f(x)取得最小值, 并且 f(x)min=1- ? =解得 ? =

3 , 2

5 ,不符合 ? >4 舍去,∴ ? =2. 2

§5.4

正弦定理和余弦定理

1.(2008?陕西理,3)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2 ,b= 6 ,B=120°,则 a= 答案 .

2

2 2 2 2.(2008?福建理,10)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3 ac,则角 B

的值为 答案

.

?
3



2? 3
.

3.下列判断中不正确的结论的序号是 ①△ABC 中,a=7,b=14,A=30°,有两解 ②△ABC 中,a=30,b=25,A=150°,有一解 ③△ABC 中,a=6,b=9,A=45°,有两解 ④△ABC 中,b=9,c=10,B=60°,无解 答案 ①③④

4.在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为 答案 10 3

.

5.(2008?浙江理,13)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3 b-c)cosA=acosC,则 cosA= 答案 .

3 3

例1 解

在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A、C 和 c. ∵B=45°<90°且 asinB<b<a,∴△ABC 有两解.
3 sin 45 ? 3 asin B = = , 2 b 2

由正弦定理得 sinA=

则 A 为 60°或 120°. ①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°, c=
2 sin 75? 2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 b sin C = = = . sin 45? sin 45? 2 sin B 2 sin 15 ? 2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 b sin C = = = . sin 45 ? sin 45? 2 sin B

②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°, c=

故在△ABC 中,A=60°,C=75°,c= A=120°,C=15°,c=
6? 2 . 2

6? 2 或 2

例2

在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且

cos B b =. cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13 ,a+c=4,求△ABC 的面积. 解 (1)由余弦定理知:cosB=

a2 ? c2 ? b2 , 2ac

cosC=

a2 ? b2 ? c2 . 2ab

将上式代入

cos B b =得: cos C 2a ? c

2 ab b a2 ? c2 ? b2 ? 2 =2ac 2a ? c a ? b2 ? c2

整理得:a +c -b =-ac ∴cosB=

2

2

2

a 2 ? c 2 ? b 2 ?ac 1 = =2ac 2ac 2

∵B 为三角形的内角,∴B= (2)将 b= 13 ,a+c=4,B=
2 2 2 2

2 ? . 3

2 ? 代入 3
2

b =a +c -2accosB,得 b =(a+c) -2ac-2accosB

? 1? 2 ∴b =16-2ac ?1 ? ? ,∴ac=3. ? 2?
∴S△ABC= 例3
3 3 1 acsinB= . 4 2
2 2 2

(14 分)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b +c -a +bc=0.

(1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3 ,求 bc 的最大值; (3)求

a sin(30? ? C) 的值. b?c
b 2 ? c 2 ? a 2 ?bc 1 = =- , 2bc 2bc 2



(1)∵cosA=

2分 4分

又∵A∈(0°,180°) ,∴A=120°.
2 2 (2)由 a= 3 ,得 b +c =3-bc,

又∵b +c ≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号) , ∴3-bc≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号). 即当且仅当 c=b=1 时,bc 取得最大值为 1. (3)由正弦定理得: ∴ 6分 8分

2

2

a b c ? ? ? 2R, sin A sin B sin C
10 分

a sin( 30? ? C) 2R sin Asin( 30? ? C) ? b?c 2R sin B ? 2R sin C

=

sin Asin( 30? ? C) sin B ? sin C

11 分

3 1 3 ( cos C ? sin C ) 2 2 2 = sin( 60? ? C ) ? sin C
3 3 cos C ? sin C ) 4 4 = 3 3 cos C ? sin C 2 2
=

12 分

13 分

1 . 2
在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a +b )sin(A-B)=
2 2 2 2

14 分

例4 解
2

(a -b )sin(A+B) ,判断三角形的形状. 方法一
2

已知等式可化为
2 2

a [sin(A-B)-sin(A+B) ]=b [-sin(A+B)-sin(A-B)] ∴2a cosAsinB=2b cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为: sin AcosAsinB=sin BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2 ? 得 2A=2B 或 2A= ? -2B, 即 A=B 或 A= 方法二
2 2

?
2

-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形.
2 2

同方法一可得 2a cosAsinB=2b sinAcosB

由正、余弦定理,可得 ab
2

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 2 = ba 2bc 2ac
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴a (b +c -a )=b (a +c -b ) 即(a -b )(a +b -c )=0 ∴a=b 或 a +b =c
2 2 2

∴△ABC 为等腰或直角三角形.

1.(1)△ABC 中,a=8,B=60°,C=75°,求 b; (2)△ABC 中,B=30°,b=4,c=8,求 C、A、a. 解 (1)由正弦定理得

a b . ? sin A sin B

∵B=60°,C=75°,∴A=45°, ∴b=

a sin B 8 ? sin 60? =4 6 . ? sin A sin 45? c sin B 8 sin 30? =1. ? b 4

(2)由正弦定理得 sinC=

又∵30°<C<150°,∴C=90°.

∴A=180°-(B+C)=60°,a= c 2 ? b 2 =4 3 . 2.已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b) -c ,求 tanC 的值. 解 依题意得 absinC=a +b -c +2ab,
2 2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理知,a +b -c =2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即 sinC=2+2cosC, 所以 2sin

C C 2 C cos =4cos 2 2 2 C =2. 2
2 tan

化简得:tan

C 2 =- 4 . 从而 tanC= C 3 1 ? tan 2 2

3.(2008?辽宁理,17)在△ABC 中,内角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、c.已知 c=2,C=

?
3

.

(1)若△ABC 的面积等于 3 ,求 a、b 的值; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得 a +b -ab=4. 又因为△ABC 的面积等于 3 , 所以
2 2

1 absinC= 3 ,所以 ab=4. 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?a ? 2 ? 联立方程组 ? 解得 ? . ?ab ? 4, ?b ? 2 ?
(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即 sinBcosA=2sinAcosA, 当 cosA=0 时,A=

?
2

,B=

?
6

,a=

4 3 2 3 ,b= . 3 3

当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,
? ?a ? ? ? ?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 ? ?b ? 2a, ? ? ?b ? ? 2 3 , 3 4 3 . 3

所以△ABC 的面积 S=

2 3 1 absinC= . 3 2

4.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等差数列,且 2cos2B-8cosB+5=0,求 角 B 的大小并判断△ABC 的形状. 解 方法一
2

∵2cos2B-8cosB+5=0,

∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0.

∴4cos B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB=

2

1 3 1 或 cosB= (舍去).∴cosB= . 2 2 2

∵0<B< ? ,∴B=

?
3

.

∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.

a2 ? c2 ? b2 ∴cosB= = 2ac
2 2

a2 ? c2 ? (

a?c 2 ) 1 2 = , 2ac 2

化简得 a +c -2ac=0,解得 a=c. 又∵B= 方法二
2

?
3

,∴△ABC 是等边三角形. ∵2cos2B-8cosB+5=0,
2

∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= ∴cosB=

1 3 或 cosB= (舍去). 2 2

1 ? ,∵0<B< ? ,∴B= , 3 2

∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sin

?
3

= 3.

? 2? ? ∴sinA+sin ? ? A? = 3 , 3 ? ?
∴sinA+sin

2? 2? cos A -cos sin A = 3 . 3 3

化简得 ∴A+ ∴C=

3 ?? 3 ? sinA+ cosA= 3 ,∴sin ? A ? ? =1. 2 6? 2 ?
=

?
6

?
2

,∴A=

?
3

,

?
3

,∴△ABC 为等边三角形.

一、填空题 1.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 答案 等腰 三角形.

2.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 答案

sin B 的值为 sin C

.

3 5

3.已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且面积 S△ABC= 答案 45°

1 2 2 2 (b +c -a ) ,则 A= 4

.

4.在△ABC 中,BC=2,B= 答案

?
3

,若△ABC 的面积为

3 ,则 tanC 为 2

.

3 3
2 2 2

5.在△ABC 中,a -c +b =ab,则 C= 答案 60° 6.△ABC 中,若 a +b +c =2c (a +b ),则 C= 答案 45°或 135°
4 4 4 2 2 2

. .

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7 ,c= 3 ,则 B= 答案

.

5? 6

8.某人向正东方向走了 x 千米,他右转 150°,然后朝新方向走了 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米,那 么 x 的值是 答案
3或2 3

.

二、解答题 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,并且 a =b(b+c). (1)求证:A=2B; (2)若 a= 3 b,判断△ABC 的形状. (1)证明 因为 a =b(b+c),即 a =b +bc,
2 2 2 2

所以在△ABC 中,由余弦定理可得, cosB= =
a 2 ? c 2 ? b 2 c 2 ? bc b ? c = = 2ac 2ac 2a

a2 a sin A = = , 2ab 2b 2 sin B

所以 sinA=sin2B,故 A=2B. (2)解
2

因为 a= 3 b,所以

a = 3, b

由 a =b(b+c)可得 c=2b, cosB=
a 2 ? c 2 ? b 2 3b 2 ? 4b 2 ? b 2 3 = = , 2 2ac 2 4 3b

所以 B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形. 10.(2008?全国Ⅱ理,17)在△ABC 中,cosB=(1)求 sinA 的值; (2)△ABC 的面积 S△ABC=

5 4 ,cosC= . 5 13

33 ,求 BC 的长. 2



(1)由 cosB=-

5 12 ,得 sinB= , 13 13

由 cosC=

3 4 ,得 sinC= . 5 5
33 . 65

所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= (2)由 S△ABC=

1 33 33 ,得 ?AB?AC?sinA= . 2 2 2
33 ,故 AB?AC=65. 65

由(1)知 sinA= 又 AC= 故

AB ? sin B 20 = AB, sin C 13

13 20 2 AB =65,AB= . 13 2
AB ? sin A 11 = . sin C 2
2

所以 BC=

11.已知 a、 c 是△ABC 的三边长, b、 关于 x 的方程 ax -2 c 2 ? b2 x-b=0 (a>c>b)的两根之差的平方等于 4, △ABC 的面积 S=10 3 ,c=7. (1)求角 C; (2)求 a,b 的值. 解 (1)设 x1、x2 为方程 ax -2 c 2 ? b 2 x-b=0 的两根,
2

则 x1+x2=

2 c2 ? b2 b ,x1?x2=- . a a
2 2

∴(x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2= ∴a +b -c =ab. 又 cosC=
2 2 2

4(c 2 ? b 2 ) a
2

+

4b =4. a

a 2 ? b 2 ? c 2 ab 1 = = , 2ab 2ab 2

又∵C∈(0°,180°),∴C=60°. (2)由 S=

1 absinC=10 3 ,∴ab=40. 2
2 2 2 2



由余弦定理 c =a +b -2abcosC, 即 c =(a+b) -2ab(1+cos60°).
2

? 1? 2 2 ∴7 =(a+b) -2?40? ?1 ? ? . 2? ?
∴a+b=13.又∵a>b ∴由①②,得 a=8,b=5. 12.(2008?广东五校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c= 7 ,且 4sin
2



A? B 7 -cos2C= . 2 2

(1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)∵A+B+C=180°, 由 4sin 得 4cos ∴4?
2

A? B 7 -cos2C= , 2 2

2

7 C -cos2C= , 2 2

1 ? cos C 7 2 -(2cos C-1)= , 2 2
2

整理,得 4cos C-4cosC+1=0,解得 cosC= ∵0°<C<180°,∴C=60°. (2)由余弦定理得 c =a +b -2abcosC, 即 7=a +b -ab,∴7=(a+b) -3ab, 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6, ∴S△ABC=
2 2 2 2 2 2

1 , 2

3 3 3 1 1 absinC= ?6? = . 2 2 2 2

§5.5

正弦定理、余弦定理的应用

1.在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°,C 点的俯角为 70°,则∠BAC= 答案 130° 2.从 A 处望 B 处的仰角为 ? ,从 B 处望 A 处的俯角为 ? ,则 ? 、 ? 的大小关系为 答案 .

.

? =?
三角形. 等边

3.在△ABC 中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 sinC=2sinAcosB,则△ABC 是 答案 km. 答案 10 7

4.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120°,则 A、C 两地的距离为

5.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始 答案 h 后,两车的距离最小.

70 43

例1

要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=

45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B 之间的距离.



如图所示,在△ACD 中,

∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°. ∴BC=

3 sin 75? 6? 2 = . sin 60? 2

△ABC 中,由余弦定理,得
2 AB =( 3 ) +(

2

6? 2 2 6? 2 ) -2? 3 ? ?cos75° 2 2

=3+2+ 3 - 3 =5, ∴AB= 5 (km). ∴A、B 之间的距离为 5 km. 例2 (14 分)沿一条小路前进,从 A 到 B,方位角(从正北方向顺时针转到 AB 方向所成的角)是

50°,距离是 3 km,从 B 到 C,方位角是 110°,距离是 3 km,从 C 到 D,方位角是 140°,距离是 (9+3 3 )km.试画出示意图,并计算出从 A 到 D 的方位角和距离(结果保留根号). 解 示意图如图所示, 3分

连接 AC,在△ABC 中, ∠ABC=50°+(180°-110°)=120°, 又 AB=BC=3, ∴∠BAC=∠BCA=30°. 由余弦定理可得 AC= AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos120 ? =
1 9 ? 9 ? 2 ? 3 ? 3 ? (? ) 2

5分

= 27 =3 3 (km).

8分

在△ACD 中,∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=3 3 +9. 由余弦定理得 AD= AC 2 ? CD2 ? 2 AC ? CDcos120 ? =
1 27 ? (3 3 ? 9) 2 ? 2 ? 3 3 ? (3 3 ? 9) ? (? ) 2

=

9( 2 ? 6 ) (km). 2

10 分

由正弦定理得 sin∠CAD=

CD ? sin ?ACD AD

(3 3 ? 9) ?

=

3 2 = 2 . 2 9 2 ?9 6 2

12 分

∴∠CAD=45°, 于是 AD 的方位角为 50°+30°+45°=125°, 所以,从 A 到 D 的方位角是 125°, 距离为 例3

9( 2 ? 6 ) km. 2

14 分

如图所示,已知半圆的直径 AB=2,点 C 在 AB

的延长线上,BC=1,点 P 为半圆上的一个动点,以 DC 为边作等边△PCD,且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧,求四边形 OPDC 面积的最大值. 解
2

设∠POB= ? ,四边形面积为 y,
2 2

则在△POC 中,由余弦定理得 PC =OP +OC -2OP?OCcos ? =5-4cos ? . ∴y=S△OPC+S△PCD= =2sin( ? ∴当 ? -

3 1 ?1?2sin ? + (5-4cos ? ) 4 2 5 3 . 4 5 3 5? 时,ymax=2+ . 4 6 5 3 . 4

?
3
=

)+

?
3

?
2

,即 ? =

所以四边形 OPDC 面积的最大值为 2+

1.某观测站 C 在 A 城的南偏西 20°的方向.由 A 城出发的一条公路,走向是南偏东 40°,在 C 处测得公路上 B 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米, 问这人还要走多少千米才能到达 A 城? 解 设∠ACD= ? ,∠CDB= ? . 在△BCD 中,由余弦定理得 cos ? = =

BD 2 ? CD 2 ? CB 2 2BD ? CD

20 2 ? 212 ? 312 1 =- , 2 ? 20 ? 21 7 4 3 , 7

则 sin ? =

而 sin ? =sin( ? -60°)=sin ? cos60°-cos ? sin60° =

4 3 3 1 1 5 3 ? + ? = , 7 2 2 7 14

在△ACD 中,由正弦定理得

21 AD = , sin 60? sin ?

21 sin ? ∴AD= = sin 60?


21?

5 3 14 =15(千米). 3 2

这个人再走 15 千米就可到达 A 城.

2.如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,现测得 ∠BCD= ? ,∠BDC= ? ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB. 解 在△BCD 中,∠CBD= ? - ? - ?

由正弦定理得 所以 BC=

BC CD = , sin ?BDC sin ?CBD

s ? sin ? CD sin ?BDC = sin( ? ? ? ) sin ?CBD
s tan? sin ? . sin(? ? ? )

在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=

3.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架.三角形支架如图 所示,要求∠ACB=60°,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了使广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越 好,求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 长度为多 少米? 解
2

设 BC=a(a>1),AB=c,AC=b,b-c=
2 2

1 . 2

c =a +b -2abcos60°, 将 c=b-

1 1 2 2 2 代入得(b- ) =a +b -ab, 2 2
2

化简得 b(a-1)=a -

1 .由 a>1,知 a-1>0. 4

3 1 ( a ? 1) 2 ? 2a ? 2 ? 4 4 = b= a ?1 a ?1 a2 ?

=(a-1)+

3 +2 ? 4(a ? 1)

3 +2,

当且仅当 a-1=

3 时,取“=”号, 4(a ? 1)

即 a=1+ 答

3 时,b 有最小值 2+ 3 . 2 3 )米. 2

AC 最短为(2+ 3 )米,此时,BC 长为(1+

一、填空题 1.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°视角,则 B、C 的距离是 答案 5 6 海里.

2.为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°,测得塔基 B 的俯角 为 45°,那么塔 AB 的高度是 答案 20(1+ m.

3 ) 3

3.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°, 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 答案
3a

km.

4.一船自西向东匀速航行, 上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处, 则这只船的航行速度为 小时. 答案 海

M 里 /

17 6 2
(填序号). ③c 和 ? ④b 和 ?

5.如图所示,在河岸 AC 测量河的宽度 BC,图中所标的数据 a,b,c, ? , ? 是可供测量的数据.下面给出的 四组数据中,对测量河宽较适宜的是 ①c 和 ? ②c 和 b

答案



6.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°,与灯塔 S 相 距 20 海里,随后货轮按北偏西 30°的方向航行 30 分钟后,又测得灯塔在 货轮的东北方向,则货轮的速度为 答案 20( 6 - 2 ) 7.在△ABC 中,若∠C=60°,则 答案 1 8.(2008?苏州模拟)在△ABC 中,边 a,b,c 所对角分别为 A,B,C,且 答案 海里/小时.

a b + = b?c c?a

.

sin A cos B cos C = = ,则∠A= a c b

.

?
2
2 2 2 2 2

二、解答题 9.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边,设 f(x)=a x -(a -b )x-4c . (1)f(1)=0 且 B-C=

?
3

,求角 C 的大小;

(2)若 f(2)=0,求角 C 的取值范围. 解 (1)∵f(1)=0,∴a -(a -b )-4c =0, ∴b =4c ,∴b=2c,∴sinB=2sinC, 又 B-C=
2 2 2 2 2 2

?
3

.∴sin(C+

?
3

)=2sinC,

∴sinC?cos

?
3

+cosC?sin

?
3

=2sinC,



3 3 ? sinCcosC=0,∴sin(C- )=0, 2 6 2

又∵-

?
6

<C-

?
6



5? ? ,∴C= . 6 6
2 2 2 2

(2)若 f(2)=0,则 4a -2(a -b )-4c =0, ∴a +b =2c ,∴cosC=
2 2 2 2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 c2 = , 2ab 2ab
2

又 2c =a +b ≥2ab,∴ab≤c ,∴cosC≥ 又∵C∈(0, ? ) ,∴0<C≤

1 , 2

?
3

.

10.(2008?泰安模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边.已知 a=1,b=2,cosC= (1)求边 c 的值; (2)求 sin(C-A)的值. 解(1)c =a +b -2abcosC =1 +2 -2?1?2? ∴c= 2 . (2)∵cosC=
2 2 2 2 2

3 . 4

3 =2, 4

7 3 ,∴sinC= . 4 4

在△ABC 中,

a c 1 = ,即 = sin A sin C sin A

2 7 4

.

∴sinA=

14 5 2 ,∵a<b,∴A 为锐角,cosA= . 8 8

∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA =

7 5 2 3 14 14 ? - ? = . 8 4 8 16 4
AB 上有一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C, 设∠AOP= ? ,求△POC 面积的最大值及此时 ? 的值. 解 ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°- ? , ∠OCP=120°. 在△POC 中,由正弦定理得

11.如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60°,半径为 2,在弧

OP CP = , sin ?PCO sin ?

∴ 又

4 2 CP = ,∴CP= sin ? . sin 120? sin ? 3
OC 2 = , sin( 60 ? ? ? ) sin 120?

∴OC=

4 3

sin(60°- ? ).

因此△POC 的面积为 S( ? )= = =

1 CP?OCsin120° 2

4 4 3 1 ? sin(60°- ? )? sin ? ? 2 2 3 3

4 3

sin ? sin(60°- ? ) sin ? (

=

4 3

3 1 cos ? - sin ? ) 2 2
2 3
2 sin ?

=2sin ? ?cos ? -

=sin2 ? + =

3 3 cos2 ? 3 3

2 3 3 ? sin(2 ? + ). 3 3 6

∴? =

?
6

时,S( ? )取得最大值为

3 . 3

12.在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A( 3 -1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°的 方向,距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的 速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 解 如图所示,注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在 D 处相遇,则可先在△ABC 中求出 BC, 再在△BCD 中求∠BCD. 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,则有 CD=10 3 t,BD=10t. 在△ABC 中,∵AB= 3 -1,AC=2,∠BAC=120°, ∴由余弦定理, 得 BC =AB +AC -2AB?AC?cos∠BAC
2 2 =( 3 -1) +2 -2?( 3 -1)?2?cos120°=6, 2 2 2

∴BC= 6 ,∵∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠BCD=

BD ? sin ?CBD 10t sin 120? 1 = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°. 即缉私船北偏东 60°方向能最快追上走私船.

单元检测五
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.(2008?辽宁理)已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC + CB =0,则 OC = (用 OA 、 OB 表示).

答案 2 OA - OB 2.向量 a,b 满足|a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量 a 与 b 的夹角为 答案 90° 3.如图所示,已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=3CD,M,N 分别是 AB,CD 的中点,设 AB =e1, AD =e2, MN 可表示为 答案 e2(用 e1,e2 表示). .

1 e1 3
.

4.在△ABC 中,A=105°,C=45°,AB= 2 ,则 AC= 答案 1

5. (2008? 湖南理) D、 F 分别是△ABC 的三边 BC、 AB 上的点, DC =2 BD ,CE =2 EA ,AF =2 FB , 设 E、 CA、 且 则 AD + BE +

CF 与 BC 的位置关系为
答案 平行

.

6.(2008?湖北理)设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)?c= 答案 -3

.

7.(2008?重庆理)若过两点 P1(-1,2) 2(5,6)的直线与 x 轴相交于点 P,则点 P 分有向线段 P1 P2 所 ,P 成的比 ? 的值为 答案 .

1 3
a ? 2b a ? 2b

8.已知非零向量 a,b,若 a?b=0,则 答案 1

=

.

1 1 2 2 9.设平面向量 a=(x,y),b=(x ,y ),c=(1,-1),d=( ,? ),若 a?c=b?d=1,则这样的向量 a 的个数是 9 4
答案 0 10.已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=3,|a+b|= 13 ,则|b|= 答案 4 11.(2008?北京理,10)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=|b|=4,那么 b? (2a+b)的值为 答案 0 12.(2008?天津文,14)已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2).若 c=a-(a?b)b,则|c|= 答案 8 2 . . .

个.

13.(2008?陕西理,15)关于平面向量 a,b,c 有下列三个命题: ①若 a?b=a?c,则 b=c;②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3;③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|, 则 a 与 a+b 的夹角为 60°.其中真命题的序号为 答案 ② m. .

14.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°、60°,则塔高为 答案

400 3

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(14 分)设 a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2), (1)求证 a 与 b 不共线,并求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)求 c 在 a 方向上的投影; (3)求 ? 1 和 ? 2,使 c= ? 1a+ ? 2b. (1)证明 ∵a=(-1,1),b=(4,3),-1?3≠1?4, ∴a 与 b 不共线,设 a 与 b 的夹角为 ? , cos ? = (2)解 cos ? =

2 a ? b ?4 ? 3 = =. 10 ab 2 ?5
设 a 与 c 的夹角为 ? ,
?5 ? 2 7 58 a ?c = =, 58 ac 2 ? 29

∴c 在 a 方向上的投影为 |c|cos ? =(3)解

7 2. 2

?5 ? ??1 ? 4? 2 ∵c= ? 1a+ ? 2b,∴ ? , ?? 2 ? ?1 ? 3? 2

解得 ? 1=-

23 3 , ? 2= . 7 7

16.(2008?合肥模拟)(14 分)已知向量 a=(cosx,sinx),|b|=1,且 a 与 b 满足|ka+b|= 3 |a-kb| (k>0). (1)试用 k 表示 a?b,并求 a?b 的最小值;

1 3 (2)若 0≤x≤ ? ,b= ( , ) ,求 a?b 的最大值及相应的 x 值. 2 2
解(1)∵|a|=1,|b|=1, 由|ka+b|= 3 |a-kb|, 得(ka+b) =3(a-kb) , 整理得 a?b=
2 2

k 2 ?1 1 1 1 = (k ? ) ≥ , 4k 4 k 2

当且仅当 k=1 时,a?b 取最小值

1 . 2

(2)由 a?b=

3 1 ? cosx+ sinx=sin(x+ ). 2 6 2

∵0≤x≤ ? ,∴ ∴-

?
6

≤x+

?
6



7? , 6

1 ? ≤sin(x+ )≤1. 6 2

当 x=

?
3

时,a?b 取最大值为 1.

17. (2009? 海安高级中学测试题) 分) (14 在△ABC 中, A、 C 的对边分别为 a、 c, 设 B、 b、 向量 m=(cosA,sinA), n=( 2 -sinA,cosA),若|m+n|=2. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=4 2 ,且 c= 2 a,求△ABC 的面积. 解 (1)m+n=( 2 +cosA-sinA,cosA+sinA)
2 2 2 2 2

|m+n| =( 2 +cosA-sinA) +(cosA+sinA) =2+2 2 (cosA-sinA)+2 =4-4sin(A-

=2+2 2 (cosA-sinA)+(cosA-sinA) +(cosA+sinA)

?
4



∵|m+n|=2,∴4-4sin(A又∵0<A< ? ,∴∴A=

?
4

)=4,sin(A<

?
4

)=0.

?
4

<A-

?
4

3? ? ,∴A- =0, 4 4

?
4

.
2 2 2

(2)由余弦定理,a =b +c -2bccosA, 又 b=4 2 ,c= 2 a,A=
2 2

?
4



得 a =32+2a -2?4 2 ? 2 a?
2

2 , 2

即 a -8 2 a+32=0,解得 a=4 2 ,∴c=8. ∴S△ABC= S△ABC=

1 1 ? b?csinA= ?4 2 ?8?sin =16. 4 2 2

1 2 ?(4 2 ) =16. 2

18.(2008?重庆理,17) (16 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A=60°,c=3b.求: (1) (2) 解
2

a 的值; c 1 1 的值. ? tan B tan C
(1)由余弦定理得
2 2

a =b +c -2bccosA

1 1 1 7 2 2 = ( c) 2 +c -2? c?c? = c , 3 3 2 9


7 a = . 3 c

(2)方法一 =

1 1 cos B sin C ? cos C sin B = ? tan B tan C sin B sin C

sin( B ? C) sin A = , sin B sin C sin B sin C

由正弦定理和(1)的结论得
7 2 c 2 14 14 3 sin A 1 a2 = ? = ? 9 = = . 1 bc 9 sin B sin C sin A 3 c?c 3 3 3



14 3 1 1 = . ? 9 tan B tan C
由余弦定理及(1)的结论有

方法二

7 2 1 c ? c 2 ? ( c )2 5 a2 ? c2 ? b2 9 3 cosB= = = , 2ac 7 2 7 2? c?c 3

故 sinB= 1? cos2 B = 1? 同理可得

25 3 = . 28 2 7

7 2 1 2 c ? c ? c2 1 a2 ? b2 ? c2 9 9 cosC= = =, 2ab 7 1 2 7 2? c? c 3 3

sinC= 1? cos2 c = 1? 从而

1 3 3 = . 28 2 7

1 1 cos B cos C = + ? tan B tan C sin B sin C

=

14 3 5 1 . 33= 9 3 9

19.(2008?湖南理,19) (16 分)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相 距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45°+ ?( 其中 sin ? = <90°)且与点 A 相距 10 13 海里的位 置 C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解 (1)如图(1)所示,AB=40 2 ,

26 ,0°< ? 26

AC=10 13 ,∠BAC= ? ,sin ? = 由于 0°< ? <90°,

26 . 26

? 26 ? ? = 5 26 . 所以 cos ? = 1 ? ? ? 26 ? 26 ? ?
由余弦定理得 BC= AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos? ? 10 5 . 所以船的行驶速度为
10 5 10 5 = =15 5 (海里/小时). 40 2 60 3

2

图(1)

(2)方法一

如图(2)所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y1) 、C(x2,

y2) ,BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有, x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos∠CAD =10 13 cos(45°- ? )=30, y2=ACsin∠CAD =10 13 sin(45°- ? )=20. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

20 =2, 10

直线 l 的方程为 y=2x-40. 又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=
0 ? 55 ? 40 1? 4

=3 5 <7,

所以船会进入警戒水域. 方法二 如图(3)所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得 cos∠ABC= =

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 2 AB ? BC

(40 2 ) 2 ? (10 5 ) 2 ? (10 13 ) 2 2 ? 40 2 ?10 5

=

3 10 . 10

从而 sin∠ABC= 1 ? cos2 ?ABC = 1?
9 10 = . 10 10

在△ABQ 中,由正弦定理得
AB sin ?ABC ? AQ= sin( 45? ? ?ABC) 40 2 ? 10 10 =40. 10 2? 10

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP⊥BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt△QPE 中,PE=QE?sin∠PQE=QE?sin∠AQC =QE?sin(45°-∠ABC)=15? 所以船会进入警戒水域.

5 =3 5 <7. 5

20.(16 分)如图所示,有两条相交成 60°角的直路 XX′ 和 YY′,交点是 O,甲、乙分别在 OX、OY 上,起初 甲离 O 点 3 km,乙离 O 点 1 km,后来两人同时用每小 时 4 km 的速度,甲沿 XX′方向,乙沿 Y′Y 的方向步行. (1)起初,两人的距离是多少? (2)用 t 表示 t 小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短? 解 (1)设甲、乙两人起初的位置是 A、B,则由余弦定理:
2 2 2

|AB| =|OA| +|OB| -2|OA|?|OB|?cos60° =3 +1 -2?3?1?
2 2

1 =7,∴|AB|= 7 . 2

所以甲、乙两人起初的距离是 7 km. (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q, 则|AP|=4t,|BQ|=4t, 当 0≤t≤
2

3 时,由余弦定理 4
2 2

|PQ| =(3-4t) +(1+4t) -2(3-4t) (1+4t) ?cos60°, 当 t>
2

3 时, 4
2 2

|PQ| =(4t-3) +(1+4t) -2(4t-3) (1+4t)cos120°. 注意到上面两式实际上是统一的, 所以|PQ| =(16t -24t+9)+(16t +8t+1)+(16t -8t-3)=48t -24t+7, 即|PQ|= 48 2 ? 24t ? 7 . t
2 2 2 2 2

? 1? (3)∵|PQ|= 48? t ? ? ? 4 , 4? ?
∴当 t=

2

1 时,|PQ|的最小值是 2. 4

即在第 15 分钟末,两人的距离最短.



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