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第六章 不等式 阶段质量检测

第六章







一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
? ? x ? ? 1.设集合 A=?x?x-1<0 ?,B={x|0<x<3},则 A∩B= ? ?

?

? ?

(

)

A.{x|1<x<3} C.{x|0<x<1} 解析:由

B.{x|0<x<3} D.?

x <0?x(x-1)<0?0<x<1, x-1

∵B={x|0<x<3},∴A∩B={x|0<x<1}. 答案:C 1 1 b a 2.若 < <0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ + >2 中正确的是 a b a b ( A.①② C.①④ B.②③ D.③④ )

1 1 解析:由 < <0 可知 b<a<0,所以 ab>0,显然有 a+b<ab,|b|>|a|,且由均值不等式 a b b a 有 + >2 a b 答案:C 3.在下列函数中,最小值为 2 的是 x 2 A.y= + 2 x 1 π C.y=sinx+ ,x∈(0, ) sinx 2 1 - 解析:7x+7 x=7x+ x≥2 7 1 7x· x=2. 7 B.y= x+2 x+1 (x>0) ( ) ba · =2. ab

D.y=7x+7

-x

1 当且仅当 7x= x,即 x=0 时,“=”成立. 7 答案:D f(x)-f(-x) 4.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 <0 的解集 x

为 A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)

(

)

f(x)-f(-x) 2f(x) 解析:由函数 f(x)为奇函数可知 = <0, x x 而 f(1)=0,则 f(-1)=-f(1)=0.当 x>0 时,f(x)<0=f(1);当 x<0 时,f(x)>0=f(- 1).又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,则奇函数 f(x)在(-∞,0)上也为增函数,所以 0<x<1 或-1<x<0. 答案:D 5.设 a,b∈R,则“a+b=1”是“4ab≤1”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

1 解析:若“a+b=1”,则 4ab=4a(1-a)=-4(a- )2+1≤1;若“4ab≤1”,取 a 2 =-4,b=1,a+b=-3,即“a+b=1”不成立;则“a+b=1”是“4ab≤1”的 充分不必要条件. 答案:A 6.已知不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 A.-4≤a≤4 C.a≥4 或 a≤-4 B.-4<a<4 D.a<-4 或 a>4 ( )

解析:不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,意味着方程 x2+ax+4=0 的根的判别 式大于零,解不等式 Δ=a2-4×4>0,a<-4 或 a>4. 答案:D 7.已知 a1>a2>a3>0,侧使得(1-aix)2<1(i=1,2,3)都成立的 x 的取值范围是 1 A.(0, ) a1 2 C.(0, ) a2 2 B.(0, ) a1 2 D.(0, ) a3 ( )

2 2 2 解析:(1-aix)2<1?a2 i x -2aix<0?ai x(x- )<0, ai 2 2 2 2 又 ai>0,所以不等式的解集为(0, ),又 < < , ai a1 a2 a3 因此选 B. 答案:B 8. 若不等式 x2+px>4x+p-3 当 0≤p≤4 时恒成立, 则 x 的取值范围是 A.[-1,3] C.[3,+∞) B.(-∞,-1] D.(-∞,-1)∪(3,+∞) ( )

解析:原不等式等价于(x-1)p+x2-4x+3>0,令 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,因为
? ?f(0)>0, f(p)是 p 的一次函数或常数函数,由 f(p)图象的性质知,问题等价于? 即 ?f(4)>0, ? ?x2-4x+3>0, ? ? 解得 x>3 或 x<-1. 2 ? ?4(x-1)+x -4x+3>0,

答案:D 9.p= ab+ cd,q= ma+nc· 小为 A.p≥q C.p>q 解析:q= B.p≤q D.不确定 mad nbc ab+ + +cd≥ n m ab+2 abcd+cd b d + (m、n、a、b、c、d 均为正数),则 p、q 的大 m n ( )

= ab+ cd=p. 答案:B 10.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若 A 在直线 mx+ny+1=0 1 2 上,其中 m、n 均为正数,则 + 的最小值为 m n A.2 C.6 B.4 D.8 ( )

解析:函数 y=loga(x+3)-1 的图象恒过定点 A(-2,-1), ∴-2m-n+1=0,即 2m+n=1, 1 2 1 2 n 4m 令 u= + =( + )· (2m+n)=4+ + ≥8. m n m n m n 答案:D
? ?1,x≥0 11.已知函数 f(x)=? ,则不等式 x+(x+2)· f(x+2)≤4 的解集是 ?-1,x<0 ?

(

)

A.{x|-2≤x<1} C.{x|x<1}

B.{x|x≤1} D.{x|x<-2}

解析:当 x+2≥0 即 x≥-2 时,不等式 x+(x+2)f(x+2)≤4 化为:x+(x+2)×1≤4, 即 x≤1,故-2≤x≤1;当 x+2<0 即 x<-2 时,不等式 x+(x+2)f(x+2)≤4 化为: x+(x+2)×(-1)≤4, 即-2≤4, 这显然成立. 综上可知, 原不等式的解集为{x|x≤1}. 答案:B 12.设 f(x)是定义在(0,1)上的函数,且满足:(1)对任意的 x∈(0,1),恒有 f(x)>0;(2)对 f(x1) f(1-x1) 任意的 x1、x2∈(0,1),恒有 + ≤2.则关于函数 f(x)有:①对任意的 f(x2) f(1-x2)

x∈(0,1),都有 f(x)>f(1-x);②对任意的 x∈(0,1),都有 f(x)<f(1-x);③对任意的 x∈(0,1),都有 f(x)=f(1-x);④对任意的 x∈(0,1),恒有 f′(x)=0.上述命题中正确 的有 A.① C.③ 解析:设 x2=1-x1,得 B.② D.③④ f(1-x1) f(1-x1) f(x1) f(x1) + ≤2,另外可知 + ≥2,则 f(x1) f(x1) f(1-x1) f(1-x1) ( )

f(1-x1) f(x1) + =2,所以[f(x1)-f(1-x1)]2=0,即 f(x1)=f(1-x1), f(x1) f(1-x1) 故 f(x)=f(1-x),x∈(0,1),故①②错,③正确. 1 在题设中,取 x=x1∈(0,1),x2= , 2 1 得 f(x)+f(1-x)≤2f( ),又 f(x)=f(1-x), 2 1 则 f(x)≤f( )对任意的 x∈(0,1)成立; 2 1 1 1 另取 x1= ,x2=x∈(0,1),得 f(x)≥f( )对任意的 x∈(0,1)成立,故 f(x)=f( )对任意 2 2 2 的 x∈(0,1)成立, 所以 f′(x)=0,故④正确. 答案:D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横线上. 13.已知向量 a=(-1,1),b=(5,k),若|a+b|不超过 5,则 k 的取值范围是 ____________. 解析:根据题意|a+b|= 16+(k+1)2≤5, 得(k+1)2≤9,解得-4≤k≤2. 答案:[-4,2] 14.在 R 上定义运算⊙:x⊙y=x(2-y),若不等式(x+m)⊙x<1 对一切实数 x 恒成立, 则实数 m 的取值范围是____________. 解析:由题意得不等式(x+m)(2-x)<1, 即 x2+(m-2)x+(1-2m)>0 对任意 x∈R 恒成立,因此 Δ=(m-2)2-4(1-2m)<0, 即 m2+4m<0,解得-4<m<0. 答案:(-4,0) 1 15.设 x>0,则 y=3-2x- 的最大值等于________. x 1 解析:∵x>0,则 2x+ ≥2 2, x

1 1 2 1 所以-(2x+ )≤-2 2,2x= 时,x= 时等号成立,则 y=3-2x- ≤3- x x 2 x 2 2,即 ymax=3-2 2. 答案:3-2 2 1 1 k 16.已知 a>b>c,且 + ≥ 恒成立,则 k 的取值范围是____________. a-b b-c a-c 1 1 解析:依题意,k≤(a-c)( + ) a-b b-c a-b b-c a-b b-c 1 1 =[(a-b)+(b-c)]( + )=2+ + 恒成立,又 2+ + ≥4, a-b b-c b-c a-b b-c a-b 当且仅当 a-b=b-c 时取“=”号,故 k≤4. 答案:(-∞,4] 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y)的大小. 解:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y), ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 18.(本小题满分 12 分)解下列问题: (1)已知 a>0,b>0,且 4a+b=1,求 ab 的最大值; 4 (2)已知 x>2,求 x+ 的最小值; x-2 4 9 (3)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值. x y 解:(1)法一:∵a>0,b>0,4a+b=1, ∴1=4a+b≥2 4ab=4 ab, 1 1 1 当且仅当 4a=b= ,即 a= ,b= 时,等号成立. 2 8 2 1 1 1 ∴ ab≤ ,∴ab≤ .所以 ab 的最大值为 . 4 16 16 法二:∵a>0,b>0,4a+b=1, 1 1 4a+b 2 1 ∴ab= 4a· b≤ ( )= , 4 4 2 16 1 1 1 当且仅当 4a=b= ,即 a= ,b= 时,等号成立. 2 8 2 1 所以 ab 的最大值为 . 16

(2)∵x>2,∴x-2>0, 4 4 ∴x+ =x-2+ +2≥2 x-2 x-2 当且仅当 x-2= 4 (x-2)· +2=6, x-2

4 ,即 x=4 时,等号成立. x-2

4 所以 x+ 的最小值为 6. x-2 (3)∵x>0,y>0,x+y=1, 4 9 4 9 4y 9x ∴ + =(x+y)( + )=13+ + x y x y x y ≥13+2 4y 9x · =25, x y 2

x+y=1, ? ?x=5, ? 4y 9x 当且仅当 = 时等号成立,由?4y 9x 得? x y 3 ? ?x=y, ?y=5, 2 3 4 9 ∴当 x= ,y= 时取等号.所以 + 的最小值为 25. 5 5 x y 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax2+4(a 为非零实数),设函数 F(x)=
? ?f(x) ? ?-f(x) ?

(x>0) (x<0)

.

(1)若 f(-2)=0,求 F(x)的表达式; (2)mn<0,m+n>0,试判断 F(m)+F(n)能否大于 0? 解:(1)由 f(-2)=0,4a+4=0?a=-1,
?-x2+4 (x>0) ? ∴F(x)=? 2 . ?x -4 (x<0) ?

n<0 ?m· ? (2)∵? , ?m+n>0 ? ∴m,n 一正一负. 不妨设 m>0 且 n<0,则 m>-n>0, F(m)+F(n)=f(m)-f(n) =am2+4-(an2+4) =a(m2-n2), 当 a>0 时,F(m)+F(n)能大于 0, 当 a<0 时,F(m)+F(n)不能大于 0. 20.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式(1-ax)2<1. 解:由(1-ax)2<1 得 a2x2-2ax+1<1,

即 ax(ax-2)<0. (1)当 a=0 时,不等式转化为 0<0,故 x 无解. (2)当 a<0 时,不等式转化为 x(ax-2)>0, 2 即 x(x- )<0. a 2 ? 2 ? ∵ <0,∴不等式的解集为?x|a<x<0?. a ? ? (3)当 a>0 时,不等式转化为 x(ax-2)<0, 2? 2 ? 又 >0,∴不等式的解集为?x|0<x<a?. a ? ? 综上所述:当 a=0 时,不等式解集为空集;
? 2 ? 当 a<0 时,不等式解集为?x|a<x<0?; ? ? ? ?

2? ? 当 a>0 时,不等式解集为?x|0<x<a?. 21.(本小题满分 12 分)如图,某农厂要修建 3 个矩形养鱼塘,每个面积为 10 000 平方 米.鱼塘前面要留 4 米宽的运料通道,其余各边为 2 米宽的堤埂,问每个鱼塘的 长、宽各为多少米时占地面积最少?

解:设每个鱼塘的宽为 x 米, 10 000 且 x>0,且 AB=3x+8,AD= +6, x 10 000 则总面积 y=(3x+8)( +6) x 80 000 =30 048+ +18x x ≥30 048+2 80 000 · 18x=32 448, x

80 000 当且仅当 18x= , x 200 10 000 即 x= 时,等号成立,此时 =150. 3 x 200 即鱼塘的长为 150 米,宽为 米时, 3 占地面积最少为 32448 平方米.

1 c 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (x+ )(x≠0,a>0,c>0).当 x∈(0,+∞)时, a x 函数 f(x)在 x=2 处取得最小值 1. (1)求函数 f(x)的解析式; 2k(k+1)-4 (2)设 k>0,解关于 x 的不等式(3k+1)-4f(x)> . x 解:(1)∵a>0,c>0, 1 c 1 ∴当 x>0 时,f(x)= (x+ )≥ · 2 c. a x a c 2 c 当 x= 即 x= c时,函数 f(x)取得最小值 . x a c=2 ? ?c=4, ? ? x2+4 由题意,得?2 c ?? ∴f(x)= (x≠0). 4x ?a=4. ? =1 ? ? a 2k(k+1)-4 (2)(3k+1)-4f(x)> x x2+4 2k(k+1)-4 ?(3k+1)-4· > 4x x x2-(3k+1)x+2k(k+1) ? <0 x (x-2k)[x-(k+1)] ? <0. x ∵k>0,∴k+1>k>0. ①当 0<k<1 时,0<2k<k+1, 原不等式的解集为(-∞,0)∪(2k,k+1); ②当 k>1 时,0<k+1<2k, 原不等式的解集为(-∞,0)∪(k+1,2k); ③当 k=1 时,0<k+1=2k, 原不等式的解集为(-∞,0). 综上所述,当 0<k<1 时,x∈(-∞,0)∪(2k,k+1); 当 k=1 时,x∈(-∞,0); 当 k>1 时,x∈(-∞,0)∪(k+1,2k).



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