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黑龙江省安达市高级中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题

黑龙江省安达市高级中学 2014-2015 学年高二上学期期中考试数学

(文)试题

1. 复数 2 ? i 对应的点位于 1? i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2. 过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那|AB|=

()

A.8

B.10

C.6

D.4

3. 设抛物线的方程为 y ? 4x2 ,则其准线方程为 ( )

A. x ? ? 1 16

B. x ? ?1

C. y ? ? 1 16

D. y ? ?1

4. 以下四个关于圆锥曲线的命题中:

① A 、 B 为两个定点, k 为非零常数, PA ? PB ? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线;

②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB , P 是 AB 中点,则动点 P 的轨迹为椭圆;

③方程 2x2 ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线 x 2 ? y 2 ? 1与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1有相同的焦点.其中正确命题的个数( )

25 9

35

A. 0 个 B. 1 个

C. 2 个 D. 3 个

5 已知双曲线离心率 e ? 2 ,且与椭圆 x2 ? y 2 ?1 有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程是
24 8 ()

A.

y

?

?

1 3

x

B. y ? ?

3x 3

C. y ? ? 3x

D. y ? ?2 3x

6. 若抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6,则 p 的值

为( )

A. 2

B. 18

C. 2 或 18

D. 4 或 16

7. 直线 y ?1? x 交抛物线 y2 ? 2 px? p ? 0?于 M , N 两点,且 | OM ? ON |?| OM ? ON | ,则 p 的值为

()

(A)2

(B)1

(C) 1

(D) 1

4

2

8. 设 F1,F2 分别为双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得(|PF1|

-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( )

A. 2 B. 15

C.4

D. 17

9. 设 a,b 是关于 t 的方程 t2cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根,则过 A(a,a2),B(b,b2)

两点的直线与双曲线coxs22θ -siny22θ =1 的公共点的个数为(

)

A.0 B.1 C.2

D.3

10.

过双曲线 x 2 a2

y2 ?
b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的右焦点 F ,作渐近线 y ?

b x 的垂线与双曲线左右两支 a

都相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围为( )

A.1 ? e ? 2 B.1 ? e ? 2

C. e ? 2

D. e ? 2

11. 已知抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,A,B,C 都是抛物线上的点,满足 FA ? FB ? FC ? 0 ,

则 kAB ? kBC ? kAC ? ( )

A.0

B. 1

C.1

D.不能确定

2

12. 在抛物线 y ? x2 ? ax ? 5 ?a ? 0? 上取横坐标为 x1 ? ?4 , x 2 ? 2 的两点,过这两点引一条直

线,有平行于该直线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 ? 5y2 ? 36 相切,则抛物线顶点的坐标

为( )

A. (?2, ?9) B. (0, ?5) C. (2, ?9)

D. (1, ?6)

15. 以知 F 是双曲线 x2 ? y2 ? 1的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 的最小值 4 12





16. 已知椭圆 C:x92+y42=1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,

B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________.

三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,18—22 题每题 12 分,共 70 分.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤)
17. (Ⅰ)已知 a 是实数, i 是虚数单位, ?a ? i??1 ? i? 是纯虚数,求 a 的值;
i
(Ⅱ)设 z ? (1 ? 4i)(1 ? i) ? 2 ? 4i ,求 z . 3 ? 4i

18. 在对安达高中高二学生喜欢学的科目的一次调查中,共调查了 200 人,其中男同学120 人,女同学 80 人,男同学中有 80 人喜欢学数学,另外 40 人喜欢学语文;女同学中有 30 人 喜欢学数学,另外 50人喜欢学语文. (Ⅰ)填表,完成 2?2 列联表;

喜欢科目

性别

数学

语文

总计





总计

(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为性别与喜欢科目有关系?

参考公式

K2

?

?a

n?ad ? bc?2 ? b??c ? d ??a ? c??b

?

d?

? ? P K 2 ? k 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

20.已知椭圆 C

:

x2 m2

?

y2

? 1(m

? 1), P

是曲线 C

上的动点,

M 是曲线C

的右顶点,定点

A(2, 0)

(1)若 m ? 3 ,求| PA | 的最大值与最小值;

(2)若| PA | 的最小值为| MA | ,求实数 m 的取值范围.

? ? 21

已知椭圆

C:

x2 a2

+

y2 b2

=1?a

?

b

?

0? 的离心率

e=

2 2

,左,右焦点分别为

F 1 ,F

2

,点

P

2,3



点 F 2 在线段 PF 1 的中垂线上。 (1)求椭圆 C 的方程 (2)设直线 L: y=kx+m 与椭圆 C 交于 M,N 两点,直线 F 2 M 与 F 2 N 的倾斜角互补,求证: 直线 L 过定点,并求该定点坐标。

[来源:]

22 抛物线 y2 =4ax ?a ? 0? 的焦点为 A,以 B(a+4,0)为圆心, AB 为半径,在 X 轴上方的半圆交抛

物线于不同的两点 M,N,点 P 是 MN 的中点。 求(1)实数 a 取值范围

(2)求 AM + AN

(3)是否存在实数 a,恰使 AM ,AP ,AN 成等差数列?



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