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鄂州高中2011年自主招生考试试题数学


鄂州高中 2011 年自主招生考试试题


一、选择题(每题 4 分,共 48 分)
2 n


2

1、设 f ( x ) = a1 x + a 2 x + ? + a n x (n 为正整数) ,若 f (1) = n ,则( A、 a n = 2n ? 1 , f ( ) 的最小值为 1



1 3 1 1 C、 a n = 2n ? 1 , f ( ) 的最小值为 3 3

1 1 3 3 1 2 D、 a n = n , f ( ) 的最小值为 3 3
B、 a n = n , f ( ) 的最小值为

2、如图,点 A、B 在反比例函数 y =

8 的图像上,过点 A 作 x

y A

C AC⊥y 轴,过点 B 作 BD⊥x 轴,垂足分别为 C、D,则( ) B A、AB 与 CD 平行 B、AB 与 CD 相交 C、AB 与 CD 可能平行也可 O 能相交 D、以上均不对 D x 3、设 A、B 两个杯子,A 杯中装有 12 升甲溶液,B 杯中装有 12 升乙溶液。现在从 A 杯中取出一定量的甲溶液,倒入 B 杯并搅 拌均匀,再从 B 杯中取出等量的混合液倒入 A 杯。测得 A 杯中 甲溶液和乙溶液的比为 4:1, 则第一次从 A 杯中取出的甲溶液是 ( )升 A、2 B、3 C、4 D、5 4、一圆周上均匀分布着 2000 个点,从中均等的选出 A、B、C、D 四个不同的点,则弦 AB 与 CD 相交的概率是( )

A、

2 3

B、

1 4

C、

1 2

D、

1 3

5、正整数 n 小于 100,并且满足 ? ? + ? ? + ? ? = n ,其中 [x ] 表示不超过 x 的最大整 ?3? ?4? ?6? 4

?n?

?n?

?n?

3

数,则这样的正整数 n 的个数是( ) A、4 B、6 C、8 D、10 6、 已知三角形的三条边长 a、 c 是互不相等的整数, b、 且满足 abc+2ab+ac+bc+2a+2b+c=138, 则此三角形的面积为( ) A、4 B、5 C、6 D、不确定 7、设 a、b 为任意不相等的正数,又 x = A、都大于 4

b2 + 4 a2 + 4 ,y= ,则 x、y 一定( a b
D、至少有一个小于 4



B、至少有一个大于 4 C、都不小于 4

8、已知抛物线 y = ax 2 ? 2ax + m 与 x 轴交于 A(-1,0) 、B 两点,与 y 轴负半轴交于 C, 且 S ?ABC = 6 ,则( )

A、在 y 轴右侧该抛物线上不存在点 M,使 S ?ACM = 3

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B、在 y 轴右侧该抛物线上存在两个点 M,使 S ?ACM = 3 C、在 y 轴右侧该抛物线上存在唯一点 M(2,3) ,使 S ?ACM = 3 D、在 y 轴右侧该抛物线上存在唯一点 M(2,-3) ,使 S ?ACM = 3 9、已知 f 1 =

1 1? 1 x

, f ( n +1) =

1 , (其中 n 为正整数) ,则 f 2011 =( 1? fn
1 x
) D、5
A
B



A、

x x ?1

B、1-x

C、

D、x

10、如图所示,在△ABC 中,AC=10,BC=6,D 为 AB 的中点,E 为 AC 边上一点,且∠ AED=90°+ A、6

1 ∠C,则 CE=( 2
B、8
B

C、7

E
D C A E

D

E F D C
C A

11、已知对于任意两组正实数 a1 , a 2 ,? , a n ; b1 , b2 ,? , bn ,总有:

(a1 + a 2 + ? + a n )(b1 + b2 + ? + bn ) ≥ (a1b1 + a 2 b2 + ? + a n bn ) 2 ,当且仅当
2 2 2 2 2 2

a a1 a 2 1 1 1 = = ? = n 时取等号。 据此我们可以得到: 正数 a、 c 满足 a+b+c=1, b、 则 + + b1 b2 bn a b c
的最小值为( ) A、3 B、6 C、9 D、12 12、如图,△ABC 中,AB=6,AC=4,BC=5,∠BAC 的平分线 AD 之中垂线 EF 交 BC 延 长线于 F,则( ) A、∠ACB=2∠B,AF=6 B、∠ACB=2∠B,AF=4 C、∠ACB=2∠B,AF=5 D、∠ACB=3∠B,AF=6 二、填空题(每题 4 分,共 24 分) 13、如图所示,已知△ABC 中,∠B=30°,∠C=90°,D 为 BC 中点,DE⊥AB 于 E,连 CE, 则 tan∠ACE= 。 14、方程 x =

x?

1 1 + 1 ? 的根为 x x



2 2 2 15、正实数 x、y、z 满足 xy+3yz=20,则 2 x + 5 y + 2 z 的最小值为



第 2 页 (共 4 页)

16、已知 a、b、c 满足

ab 1 bc 1 ca 1 abc = , = , = ,则 = a+b 4 b+c 5 c+a 6 ab + bc + ca




17、写出方程 x1 + x 2 + ? + x 300 = x1 ? x 2 ? ? ? x300 的一组正整数解

18、对于三个数 a、b、c,用 min{a,b,c}表示这三个数中的最小数,则 min{x+1,2-x,

( x ? 1) 2 }的最大值为



三、解答题(19—22 题每题 10 分,第 23 题 8 分,共 48 分) 19、已知 α , β 是一元二次方程 x + x ? 1 = 0 的两个根,是否存在正整数对(m,n) ,使得
2

mα 6 + nβ 4 为定值,若存在,求出 m、n 最小时相应的定值;若不存在请说明理由。

20、给定 100 个实数 a1 , a 2 ,? , a100 ,满足 a1 ? 4a 2 + 3a 3 ≥ 0 , a 2 -4 a3 +3 a 4 ≥0,

a 3 ? 4a 4 + 3a5 ≥ 0 ,…, a 99 ? 4a100 + 3a1 ≥ 0 , a100 ? 4a `1 + 3a 2 ≥ 0 ,求证:这 100 个数全
相等。

第 3 页 (共 4 页)

21、已知二次函数 y = x + 2( m + 1) x ? m + 1 。 (1)随着 m 的变化,该二次函数图象的顶
2

点 P 是否都在某条抛物线上?如果是,请求出抛物线表达式;如果不是,请说明理由。 (2) 如果直线 y=x+1 经过二次函数 y = x 2 + 2( m + 1) x ? m + 1 图象的顶点 P,求此时 m 的值。

22、如图,点 A、B、C、D 四点顺次在⊙O 上,弧 AB=弧 BD,BM⊥AC 于 M,小华对此进行了 研究:首先,他取△ABD 为正三角形,且 AC 为直径,计算后发现:AM=DC+CM;接着,他取 △ABD 为等腰 Rt△,AC 平分∠BAD,试问 AM=DC+CM 还成立吗?小华利用这种情形还计算出 tan22.5°= 2 ? 1 ,请问他的结论正确吗?另外,小华还猜 想,一般地 AM=DC+CM 恒成立,请你帮助他证明或否定这个结 论。 (对于前面两问只需作出肯定或否定回答,不证明)
B

C O M

A

D

23、已知:a>0,0<b≤1,求证: ( ab ? b ? 1)(b ? 1 + ab)(1 ? ab + b) ≤ ab 。

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