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排列组合典型例题(带详细答案)


例 1 用 0 到 9 这 10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数?

例 2 三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?

例 3 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?

例 4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节 不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.

例 5 现有 3 辆公交车、 3 位司机和 3 位售票员,每辆车上需配 1 位司机和1 位售票员.问车 辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种?

例 6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有 4 所重点院校,每所院校有 3 个专业 是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话, 你将有多少种不同的填表方法?
学 1 2 3 校 1 1 1 专 业 2 2 2

例 7 7 名同学排队照相. (1)若分成两排照,前排 3 人,后排 4 人,有多少种不同的排法? 1

(2)若排成两排照,前排 3 人,后排 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不 同的排法? (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照, 7 人中有 4 名男生, 3 名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法?

例 8 计算下列各题:
2 (1) A15 ; 6 (2) A6 ;

(3)

m ?1 n?m An ?1 ? An ? m ; n ?1 An ?1

例 9

a , b , c , d , e , f 六人排一列纵队,限定 a 要排在 b 的前面( a 与 b 可以相邻,也可

以不相邻) ,求共有几种排法.

例 10 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有 多少种安排办法?

例 11 计划在某画廊展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,排成一行 陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有

例 12 由数字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 组成没有重复数字的六位数, 其中个位数字小于十位数的个数 共有( ) .

例 13 用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有(

) .

1、 2、 3、 4、 5 共六个数字, 例 14 用 0 、 组成无重复数字的自然数, (1)可以组成多少个无重
复数字的 3 位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被 3 整除的三位数?

2

1、解法 1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选 3 个
3 来排列,故有 A9 个;当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个

非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有
1 1 3 1 1 .∴ 没有重复数字的四位偶数有 A9 A4 ? A8 ? A82 (个) ? A4 ? A8 ? A82 ? 504? 1792? 2296

2、解: (1) (捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样
6 同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有 A6 种不同排法.对于其中的每一种排法,三 3 6 3 个女生之间又都有 A3 对种不同的排法,因此共有 A6 ? A3 ? 4320种不同的排法.

(2) (插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个 空档.这样共有 4 个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女 生插入这六个位置中, 只要保证每个位置至多插入一个女生, 就能保证任意两个女生都不相
5 邻.由于五个男生排成一排有 A5 种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中 3 5 3 选出三个来让三个女生插入都有 A6 种方法,因此共有 A5 ? A6 ? 14400种不同的排法.

(3)解法 1: (位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个,
2 6 有 A5 种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有 A6 种排法,所以共有 2 6 A5 ? A6 ? 14400种不同的排法. 8 2 6 (4)3 个女生和 5 个男生排成一排有 A8 种排法,从中扣去两端都是女生排法 A3 种, ? A6 8 2 6 就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有 A8 ? A3 ? A6 ? 36000种不同的排法. 5 3、解: (1)先排歌唱节目有 A5 种,歌唱节目之间以及两端共有 6 个位子,从中选 4 个放入 4 5 舞蹈节目,共有 A6 中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有: A5 A64 =43200.

(2)先排舞蹈节目有 A4 中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位,恰好供 5 个歌唱
5 节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有: A4 A5 =2880 种方法。
4

4

4、 A6 ? 2 A5 ? A4 ? 504(种) .5、 A3 ? A3 ? 36 种.
6 5 4 3 3

6、解:填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在 4 所学校中选出 3 所并 加排列,共有 A4 种不同的排法;第二步,从每所院校的 3 个专业中选出 2 个专业并确定其 顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有 A3 ? A3 ? A3 种.综合以上两步,由分步计数
2 2 2
3

原理得不同的填表方法有: A4 ? A3 ? A3 ? A3 ? 5184种.
3 2 2 2

3

3 4 7 1 1 5 5 3 7、解:(1) A7 (2) A3 (3) A5 ? A4 ? A7 ? 5040种. ? A4 ? A5 ? 1440种. ? A3 ? 720. 4 3 (4) A4 ? A5 ? 1440种. 2 6 8、解:(1) A 15 ? 15?14 ? 210;(2) A 6 ? 6 !? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 720;

(3)原式 ?

(n ? 1) ! 1 (n ? 1) ! 1 ? (n ? m) ! ? ? ? (n ? m) ! ? ?1; [n ? 1 ? (m ? 1) !] (n ? 1) ! (n ? m) ! (n ? 1) !

4 9、 A6

10、解法 1:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐 在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理,在每类情况下,划分“乙丙坐下” 、 “甲 坐下” ; “其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步计数原理,这样可有如下算法:
2 1 5 2 1 5 A4 ? A2 ? A5 ? A4 ? A4 ? A5 ? 8 640(种).
2 11、将同一品种的画“捆”在一起,注意到水彩画不放在两端,共有 A2 种排列.但 4 幅油

2 4 5 画、5 幅国画本身还有排列顺序要求.所以共有 A2 种陈列方式. ? A4 ? A5
2 13、将符合条件的偶数分为两类.一类是 2 作个位数,共有 A4 个,另一类是 4

12、300

2 2 2 作个位数,也有 A4 个.因此符合条件的偶数共有 A4 ? A4 ? 24 个.

4 分成两类,个位用 0 ,其它两位从 1 、 2、 3、 4 中任取两 14、解:(1)就个位用 0 还是用 2 、
2 数 排 列 , 共 有 A4 ? 12 ( 个 ) , 个 位 用 2 或 4 , 再 确 定 首 位 , 最 后 确 定 十 位 , 共 有

2 ? 4 ? 4 ? 32 (个),所有 3 位偶数的总数为: 12 ? 32 ? 44 (个).

1、 2、 3、 4、 5 中取出和为 3 的倍数的三个数,分别有下列取法: (0 1 2) 、 (2) 从 0 、 (0 1 5) 、 (0 2 4) 、 (0 4 5) 、 (1 2 3) 、 (1 3 5) 、 (2 3 4) 、 (3 4 5) ,前四组中有 0 ,
后四组中没有 0 ,用它们排成三位数,如果用前 4 组,共有 4 ? 2 ? A2 ? 16 (个),如果用后
2

四组,共有 4 ? A3 ? 24 (个),所有被 3 整除的三位数的总数为 16 ? 24 ? 40 (个).
3

4


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