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吉林省东北师范大学附属中学净月校区2016届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试卷


2013 级净月实验校高三年级

“百炼成钢 只争朝夕”第二次模拟考试
(数学理)学科试题
考试时间:120 分钟 命 题 人: 审 题 人: 试卷满分:150 分

一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 A= x 2 ? 3 x ? 2 x ? 0 ,B= x y ? ln( x ? 1) ,则 A ? B=(
2 2

?

?

?

?



A.(?2, ?1)

B. (??, ?2) ? (1, ??)

C.(?1, )

1 2

D. (?2, ?1) ? (1, ??) )

2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an ?1 ? 2an (n ? 2, n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的前 6 项和为( A.63
3.若 cos ? ? ?

B.127

C.

4 ? , ? 是第三象限的角,则 sin(? ? ) ? ( 5 4
B.

63 32

D.

127 64

)

A. ?

2 10

2 10

C. ?

7 2 10

D.

7 2 10


4.已知 ? , ? 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,则下列命题不正确的是( A.若 m // n , m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 m // ? , ? ? ? ? n ,则 m // n

2 2 2 5.已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , 2an ? an ?1 ? an ?1 ( n ? 2) ,则 a6

等于(

)A. 2 2

B.4

C.8

D.16

6. 已知两定点 A(0, ?2) , B (0, 2) ,点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,且满足 12 16

13

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AP | ? | BP | =2,则 AP?BP 为(


正视图

1

1

A.-12 B.12 C.一 9 D.9 7.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的侧面积 是( ) A. 2 B. 3 2 ? 26 C. 3 2 ? 22 ? 2 D. 3 2 ? 22
2
俯视图

侧视图

8. 点 F 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点,若椭圆上存在点 A 使 a 2 b2
1

?AOF 为正三角形,那么椭圆的离心率为(
D. 3 ? 1 9.已知抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F 到双曲线 C:

)A.

2 2

B.

3 2

C.

3 ?1 2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 渐近线的距离为 a 2 b2

4 5 , 点 P 是抛物线 y 2 ? 8 x 上的一动点, P 到双曲线 C 的上焦点 F1 (0, c) 的距离与到直 5
线 x ? ?2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( ) A.

y 2 x2 ? ?1 2 3

B. y ?
2

x2 ?1 4

C.

y2 ? x2 ? 1 4

D.

y 2 x2 ? ?1 3 2

10.已知 M 是 ?ABC 内的一点,且 AB?AC ? 2 3, ?BAC ? 30? , 若 ?MBC , ?MCA 和

??? ? ????

1 4 1 ?MAB 的面积分别为 , x, y ,则 ? 的最小值是( )A.20 2 x y
C.16 D.9

B.18

?x ? y ? 7 ? 0 ? 2 2 11.已知圆 C : ( x ? a ) ? ( y ? b) ? 1 ,平面区域 Ω : ? x ? y ? 3 ? 0 .若圆心 C ? ? ,且圆 ? y?0 ?

C 与 x 轴相切, 则 a 2 ? b 2 的最大值为 (
D. 5 12.已知函数 f ( x) ? ?

) A. 49

B. 37

C. 29

? lg x ,0 ? x ? 3 ?x , 设方程 f ( x) ? 2 ? b(b ? R ) 的四个实根从小到 ? f (6 ? x),3 ? x ? 6


大依次为 x1 , x2 , x3 , x4 , 对于满足条件的任意一组实根, 下列判断中正确的个数为 ( (1) 0 ? x1 x2 ? 1 或 0 ? ? 6 ? x3 ?? 6 ? x4 ? ? 1 ; (2) 0 ? x1 x2 ? 1 且 ? 6 ? x3 ?? 6 ? x4 ? ? 1 ; (3) 1 ? x1 x2 ? 9 或 9 ? x3 x4 ? 25 ; A.3 B.2 C.1 (4) 1 ? x1 x2 ? 9 且 25 ? x3 x4 ? 36 . D.0

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 13.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2 BD, CA ? 3CE ,则 AD?BE ? __________.
14. 若 等 比 数 列

?an ?

的 各 项 均 为 正 数 , 且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e

5

, 则

2

ln a1 ? ln a2 ? ? ln a20 ? ________.
15.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥 P ? ABCD ,其中底面四边形 ABCD 是边长 为 1 的正方形, PA ? 1 ,且 PA ? 平面 ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为 .

16.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 F ( x) 和 G ( x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足:

F ( x) ? kx ? b 和 G ( x) ? kx ? b 恒成立,则称此直线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的“隔
离直线”,已知函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R ) , g ( x) ? 题: ① F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? ? ?

1 ( x ? 0) , h( x) ? 2e ln x ,有下列命 x

? ?

3

1 ? , 0 ? 内单调递增; 2 ?

② f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为 ?4 ; ③ f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是 (?4, 0] ; · ④ f ( x) 和 h( x) 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e . 其中真命题的个数为 (请填所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出证明过程或演算步骤)
17.(本小题 12 分) 在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 3a ? 2c sin A . (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ?

7 ,且 ?ABC 的面积为

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

18.(本小题 12 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 4 S n ? ? 2n ? 1? an ?1 ? 1 ( n ? N* ),且 a1 ? 1 . (Ⅰ)求证:数列 ?a n ? 为等差数列; (Ⅱ)设 bn ?

1 an S n

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ?

3 ( n ? N* ). 2

19.(本小题 12 分) 如图 , 已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形, AD ∥ BC , CE ∥ BG ,且

3

?BCD ? ?BCE ?

?
2

,平面 ABCD ⊥平面 BCEG , BC ? CD ? CE ? 2 AD ? 2 BG ? 2

(Ⅰ)证明: AG // 平面 BDE ; (Ⅱ)求平面 BDE 和平面 BAG 所成锐二面角的余弦值. 20.(本小题 12 分)

x2 y2 ? ? 1( a ? 0) 的一个焦点为 F ( ?1,0) ,左右顶点分别为 A , B . 经 a2 3 过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长;
已知椭圆 M : (Ⅲ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值. 21. (本小题 12 分) 设函数 f ( x) ?

x ? ax . ln x

? ? ? 上为减函数,求实数 a 的最小值; (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 ? 2,
2 (Ⅱ)若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f ?( x 2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
B D E A O C

? 的中点, E 为 BC 的中点. 如图所示, AC 为 ? O 的直径, D 为 BC
(Ⅰ)求证: DE // AB ;

CD . (Ⅱ)求证: AC ?BC ? 2 AD?
23. (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ?

? ?x ? t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, ? ? y ? 3t

x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | . 24.(本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x ) = 2 x + 1 - x - 4 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若 f ( x) ? 3 x ? 4 ? m 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围.

4

ACCDB

DDDCB

BA



3 ? ;50; 2 ;①②④

17.(本小题 10 分) 在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C,所对的边,且 3a ? 2c sin A (1)确定角 C 的大小; (2)若 c ?

7 ,且△ABC 的面积为

3 3 ,求 a 十 b 的值. 2

17.(本题 10 分) 解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

…………5 分

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? , 即ab ? 6         ① 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3
2

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

由②变形得 (a+b) ? 25, 故a ? b ? 5 解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b 2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b 2=13   ?? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a 4 ? 13a 2 ? 36 ? 0 解得 a 2 ? 4或a 2 ? 9 所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 或? 故a?b ? 5 ?b ? 3 ?b ? 2

…………10 分

5

18.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 4 S n ? ? 2n ? 1? an ?1 ? 1 ( n ? N* ),且 a1 ? 1 . (1) 求证:数列 ?a n ? 为等差数列; (2) 设 bn ?

1 an S n

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ?

3 ( n ? N* ). 2

18.解(Ⅰ) 由题设 4Sn ? ? 2n ? 1? an ?1 ? 1 ,则 a2 ? 4 S1 ? 1 ? 3 , 3a3 ? 4 S 2 ? 1 ? 15, a3 ? 5 . 当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? ? 2n ? 3? an ? 1 , 两式相减得

? 2n ? 1? an ? ? 2n ? 1? an?1 ,
方法一:由 ? 2n ? 1? an ? ? 2n ? 1? an ?1 ,得

???????2 分

an ?1 a a a ? n ,且 2 ? 1 . 2n ? 1 2n ? 1 3 1 an a1 ? a ? 则数列 ? n ? 是常数列,即 ? ? 1 ,也即 an ? 2n ? 1 ???????? 2n ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ?
6分 所以数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数 列 ?????????7 分 方法二:由 ? 2n ? 1? an ? ? 2n ? 1? an ?1 ,得 ? 2n ? 3? an ?1 ? ? 2n ? 1? an ? 2 , 两式相减得 an ? an ? 2 ? 2an ?1 ,且

a1 ? a3 ? 2a2
所以数列 ?an ? 等差数 列. ( Ⅱ ) 由
n

???????6 分

???????7 分 ( Ⅰ ) 得

a n ? 2n ? 1 , S n ?

?1 ? 2n ? 1? n ? n 2 , b
2

?

1 , n ? 2n ? 1?

???????9 分

当 n ? 1 时, T1 ? 1 ? 当 时, bn ?

3 成立;?????????????????????10 分 2

n?2
1 ? n ? 2n ? 1? 1 1? ? 2n ? n ? ? 2? ? ? 1 1? 1 1? ? ? ? ? 2n ? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ?
???????12 分

所以 Tn ? 1 ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1? 1? 1 3 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 2 ? ? 2 3 ? 2? n? 2 2 ? n ?1 n ??
??????

综上所述,命题得证.

(理)19.如图, 已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形, AD ∥ BC , CE ∥ BG , 且 ?BCD ? ?BCE ?
?
2



6

平面 ABCD ⊥平面 BCEG , BC ? CD ? CE ? 2 AD ? 2 BG ? 2 (Ⅰ)证明:AG // 平面 BDE; (Ⅱ)求平面 BDE 和平面 BAG 所成锐二面角的余弦值.

19. 如图 , 已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形, AD ∥ BC , CE ∥ BG ,且
?BCD ? ?BCE ?

?
2

,平面 ABCD ⊥平面 BCEG , BC ? CD ? CE ? 2 AD ? 2 BG ? 2

(Ⅰ)证明:AG // 平面 BDE; (Ⅱ)求平面 BDE 和平面 BAG 所成锐二面角的余弦值. 【解析】由平面 ABCD ? 平面BCEG ,平面 ABCD ? 平面BCEG ? BC ,
CE ? BC , CE ? 平面 BCEG, ? EC ? 平面ABCD .???2 分

根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,可得
B(0, 2, 0),D(2, 0, 0),E (0, 0, 2),A(2,1, 0) G(0, 2,1) ????.3 分

?? ??? ? ???? (Ⅰ)设平面 BDE 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则? EB ? (0, 2, ?2), ED ? (2, 0, ?2) ??? ? ?? ? EB ? m ? 0 ???? ?? ED ? m ? 0

即?
??

?y ? z ? 0 , ?x ? y ? z , ?x ? z ? 0

,1) ??????????????????..5 分 ? 平面 BDE 的一个法向量为 m ? (1, 1 , ???? ? AG ? (?2, 1, 1)
???? ?? ???? ?? ? AG ? m ? ?2 ? 1 ? 1 ? 0 ,? AG ? m ,

? AG ? 平面BDE ,∴AG∥平面 BDE. ??????????????????.7 分

(Ⅱ)设平面 BAG 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,平面 BDE 和平面 BAG 所成锐二面角为

? ???.8 分
因为 BA ? ?2,?1,0 ? , BG ? ?0,0,1? ,由 n ? BA ? 0, n ? BG ? 0 得 ? 分? 平面 BAG 的一个法向量为 n ? ?1,2,0 ? ,? cos ? ?

?2 x ? y ? 0 ,???.10 ? z?0
1? 2 15 ? . 5 3? 5

m?n m?n

?

故平面 BDE 和平面 BAG 所成锐二面角的余弦值为

15 ???.12 分 5

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1( a ? 0) 的一个焦点为 F ( ?1,0) ,左右顶点分别为 A , B . a2 3
7

经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值. 20.(本小题满分 12 分) 解: (I)因为 F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b2 ? 3,

x2 y2 ??????????3 分 ? ?1 4 3 (Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45? ,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y ? x ? 1 ,和椭圆方程联立得到
所以 a 2 ? 4, 所以椭圆方程为

? x2 y2 ?1 ? ? ,消掉 y ,得到 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 3 ?4 ? y ? x ?1 ?
所以 ? ? 288, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 所以 | CD |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

??????????5 分

8 7

8 7
??????????6 分

24 7

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x ? ?1 , 此时 D ( ?1, ), C ( ?1, ? ) ,

当直线 l 斜率存在(显然 k ? 0 )时,设直线方程为 y ? k ( x ? 1)( k ? 0) , 设 C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 )

3 2

3 2

?ABD, ?ABC 面积相等, | S1 ? S2 |? 0

????7 分

? x2 y2 ?1 ? ? 和椭圆方程联立得到 ? 4 ,消掉 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
显然 ? ? 0 ,方程有根,且 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 ??????8 分 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

此时 | S1 ? S2 |?| 2 || y2 | ? | y1 ||? 2 | y2 ? y1 | ? 2 | k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) |

? 2 | k ( x2 ? x1 ) ? 2k |?
因为 k ? 0 ,上式 ?

12 | k | 3 ? 4k 2

????????????10 分

12 3 ?4|k | |k |

?

12 12 3 ? ? 3, (k ? ? 时等号成立) 2 3 2 12 2 ?4 | k | |k |
????????????12 分

所以 | S1 ? S2 | 的最大值为 3

8

另解: (Ⅲ)设直线 l 的方程为: x ? my ? 1 ?m ? R ? ,则

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y2 得, 3m ? 4 y ? 6my ? 9 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4

?

?

设 C ? x1 , y1 ? , D? x2 , y2 ? ,

6m 9 , y1 ? y2 ? ? ? 0. 2 2 3m ? 4 3m ? 4 1 1 所以, S1 ? AB ? y2 , S 2 ? AB ? y1 , 2 2
则 y1 ? y2 ?

??????8 分

S1 ? S 2 ?

12 m 1 1 AB ? y2 ? y1 ? ? ? 4 ? y1 ? y2 ? 3m 2 ? 4 2 2

????????10 分

当 m ? 0 时, S1 ? S 2 ? ?

12 m 12 m ? ? 3 ?m ? R ? . 2 3m ? 4 2 3 ? 4m 2

由 3m 2 ? 4 ,得 m ? ?

2 3 . 3

当 m ? 0 时, S1 ? S 2 ? 0 ? 从而,当 m ? ?

3

2 3 时, S1 ? S 2 取得最大值 3 .??????????12 分 3
x ? ax . ln x

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

? ? ? 上为减函数,求实数 a 的最小值; (1)若函数 f ( x) 在 ? 2,
2 (2)若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f ?( x 2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

21.解: (1)由已知得 x>0,x≠1.
1 ? a≤0 在 2, f ?( x) ? ln x ?2 ? ? ? ? 上恒成立.?1 分 (ln x)

所以当 x ? ? 2, ?? ? 时, f ?( x) max ? 0

ln x ? 1 1 1 1? 1 ? 1 又 f ?( x) ? ?a ? ? 2 ? ? a ? ?? ? ? ? ? a ,???2 分 2 ln x ln x ln x ? ln x 2 ? 4

2

9

1 故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x) max ? ? a . ln x 2 4
所以 1 ? a≤0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 . ?????5 分 4 4 4
2 (2)命题“若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f ?( x 2 ) ? a 成立”等价于

“当 x ? [e, e2 ] 时,有 f ( x)min ≤f ? ? x ?max ? a ”. 由(1) ,当 x ? [e, e2 ] 时, f ?( x) max ?

1 1 ? a ,? f ?( x) max ? a ? . 4 4

问题等价于:“当 x ? [e, e2 ] 时,有 f ( x) min ?

1 ”. 4

①当 a≥ 1 时,由(1) , f ( x) 在 [e, e2 ] 上为减函数, 4
2 则 f ( x) min = f (e2 ) ? e ? ae2 ≤ 1 ,故 a≥ 1 ? 1 2 . 2 4e 2 4

???????7 分

②当 a <

1 1 1 1 1 ? ? 时,由于 f ' ( x) ? ?( 上的值域为 ? ? a, ? a ? ? )2 ? ? a 在 ? e, e 2 ? ? ? 4 ln x 2 4 4 ? ?
'

2 2 (ⅰ) ? a ? 0 ,即 a ? 0 , f ( x) ? 0 在 ? ?e, e ? ? 恒成立,故 f ( x) 在 ? ?e, e ? ? 上为增函数,

于是, f ( x) min ? f (e) ? e ? ae ? e ? (ⅱ) ? a ? 0 ,即 0 ? a ?

1 ,矛盾.???????9 分 4

1 ' ,由 f ( x) 的单调性和值域知, 4
'

存在唯一 x0 ? (e, e 2 ) ,使 f ( x) ? 0 ,且满足: 当 x ? (e, x ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 , e 2 ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为 0 增函数;所以, f min ( x) ? f ( x0 ) ?

x0 1 ? ax0 ? , x0 ? (e, e 2 ) ????????11 分 ln x0 4

所以, a ? 综上得 a ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,与 0 ? a ? 矛盾. 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 1 1 ???????????????????????12 分 ? 2 4e 2
B

请考生在第 (22) , (23) , (24) 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ︵ 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 BC 的中点,E 为 BC 的中点.
A O 10 E C D

(Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC·BC=2AD·CD.

【证明】 : (Ⅰ)连接 OE,因为 D 为的中点,E 为 BC 的中点, 所以 OED 三点共线.?????????? ?2 分 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点, 所以 OE∥AB,故 DE∥AB.?????????? ?5 分 (Ⅱ)因为 D 为的中点,所以∠BAD=∠DAC,又∠BAD=∠DCB?∠

B D E A O C

DAC=∠DCB.
又因为 AD⊥DC,DE⊥CE?△DAC∽△ECD.???? ?8 分 ?

AC AD = ?AD·CD=AC·CE CD CE

? 2AD·CD=AC·2CE ? 2AD·CD=AC·BC.???????????10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? ?x ? t 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) , ? ? y ? 3t
以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线

C 的极坐标方程为 ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | . 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ?

3 x ---------2 分

? x ? ? cos ? 由? 代入得 ? sin ? ? ? y ? ? sin ?
( 也可以是: ? ?

3 ? cos ? ? ? ?

?
3

( ? ? R) .

? 4? ( ? ? 0) )---------------------5 分 或? ? 3 3 ? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? 0 ? (Ⅱ) ? 得 ? ? ? ?
? 3

? ? 3 ? ? 3 ? 0 -----------------------------7 分 ? ? 设 A( ? 1 , ) , B( ? 2 , ) , 3 3
2

则 | AB |?| ? 1 ? ? 2 |? ( ? 1 ? ? 2 ) 2 ? 4 ? 1 ? 2 ? 15 .---------10 分 (若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分) 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x ) = 2 x + 1 - x - 4 .

11

(I)解不等式 f(x)>0; (II)若 f(x)+ x - 4 >m 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围.

24.解: (I)当 x ? 4 时, f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得 x>-5,所以 x ? 4 成立. 当?

1 ? x ? 4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得 x>1,所以 1<x<4 成立. 2 1 时, f(x)=-x-5>0,得 x<-5,所以 x<-5 成立. 2
…………5 分

当x? ?

综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5} . (II)f(x)+ 3 x ? 4 =|2x+1|+2|x-4| ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 . 当 x ? 4或x ? ? 时等号成立 ,所以 m<9.

1 2

…………10 分

12


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