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山东省淄博市2013高三数学复习10《解三角形》达标检测试卷 文 新人教A版

《解三角形》达标检测试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知△ABC 中, a ? (A)135°

2 , b ? 3 ,B=60°,那么角 A 等于(
(C)45° (D)30°



(B)90°

2.在?ABC 中, ∠B=30o,AB= 2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积为( A. 2 3 B.



3

C. 2 3 或 4 3

D. 3 或 2 3 )

3.已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 1 ? x ? 5 B. 5 ? x ? 13 C. 0 ? x ?

5

D. 13 ? x ? 5 )

4. △ABC 中,若 a,b,c 成等差数列,则∠B 的取值范围是(
? π? ? 0, ? ? 3 ? A. ? ? π? ? 0, ? ? 6 ? B. ?
?π ? π ? ,? C. ? 3 ?

?π ? π ? ,? D. ? 6 ?

5.在?ABC 中,若 3a ? 2b sin A ,则 B= (

)

? A. 3

? B. 6

?
C. 3



2? 3

?
D. 6
2



5? 6
2 2

6.(2008 福建文)在中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,若 a ? c ? b ? 3ac ,则角 B 的值为 ( )

? A. 6

? B. 3

? 5? C. 6 或 6

? 2? D. 3 或 3

7.(2008 湖南文)在 ?ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB ? AC ? (

??? ??? ? ?

)

?
A.

3 2

?
B.

2 3

2 C. 3

3 D. 2

, 8.(2008 山 东 文 ) 已 知 a, b c为 △ ABC 的 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 , 向 量

m ? ( 3,1),n ? (cos A, A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ?csin C ,则角 A,B 的 ? sin
大小分别为( )

-1-

π π , A. 6 3

2π π , B. 3 6

π π , C. 3 6

π π , D. 3 3

, 的 9 . (2008 陕 西 理 ) △ ABC 的 内 角 A, B C 对 边 分 别 为 a,b,c , 若

c ? 2,b ? 6,B ? 120? ,则 a 等于(
A. 6 B.2 C. 3



D. 2

10.海上有 A、 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角, B 岛望 C 岛和 A B 从 岛成 75°的视角,则 B、C 间的距离是 ( ) A.10 海里 B.5 海里 C. 5 6 海里 D.5 3 海里 )

11.2012 上海在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( C A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 12.(2008 四川文) ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边边长分别为 a, b, c ,若 则 cos B ? ( )

a?

5 b, A ? 2 B 2 ,

5 (A) 3

5 (B) 4

5 (C) 5

5 (D) 6

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, c, a ? 角 b, 若 则角 A 的大小为 .

2 ,b ? 2 ,sin B ? cos B ? 2 ,

14.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔船沿北偏 东 105°方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 海里,则舰艇到达渔船的最 短时间是_________________ .

15.(2008

陕 西 文 )

△ ABC 的 内 角 A, B C 对 边 分 别 为 a,b,c , 若 , 的


c ? 2, b ? , B ? 1 ? 2 0 a ? 6 ,则

16 . 2008 浙 江 文 、 理 ) 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c 。 若 (

( 3b ? c) c o sA ? a c o s , 则 cos A= C

.
-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图所示,货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的 水平转角)为 140°的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°,航行 半小时后船到达 C 点,观测灯塔 A 的方位角是 65°,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是 多少?

18. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对 B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ) a,b,c 成等比数列,求 sinAsinB 的值. 19(本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (Ⅰ)求 A (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c (20)(本小题满分 12 分) 3asinC-ccosA

边,且角 A,

在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

21:(本题满分 12 分)2012 天津文科)在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , (

已知 a =2,

c= 2

2 cosA=- 4

(Ⅰ)求 sinC 和 b 的值;

2A ?
(Ⅱ)求 cos(

?
3 )的值。

22: (本题满分 14 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 (1)求∠A 的大小;

4 sin2

B?C 7 ? cos 2 A ? 2 2.

-3-

(2)若 a = 3 ,b + c = 3,求 b 和 c 的值.

《解三角形》参考答案及评分标准 答案:1. C 2. D 10. C. 11. C 3. B 4. A 5. C 6. A7. D 8. C 9. D

12. B

【解】 :∵ ?ABC 中 二、填空题:

? 5 b ?a ? ? 2 ? A ? 2B ?



? 5 sin A ? sin B ? ? 2 ?sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B ?



cos B ?

5 4 故选 B;

? 13. 6
三、解答题 17.

14. 40

15. 2

3 16. 3

1 解:在△ABC 中,BC=40×2=20, ∠ABC=140°-110°=30°, ∠ACB=(180°-140°)+65°=105°, 所以∠A=180°-(30°+105°)=45°,--------------------6分 在△ABC 中,由正弦定理得 BC· sin∠ABC AC= sinA 20sin30° = sin45° =10 2(km).--------------------10分 即货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是 10 2 km. --------------------12 分 18.解: (Ⅰ)由已知 2B= A+C,A+B+C=1800,解得 B=600,

1 所以 cosB= 2 -------6 分

-4-

(Ⅱ)(解法一)

1 由已知 b2= ac,及 cosB= 2
根据正弦定理得 sin2B=sinAsinC, ----------9 分

3 所以 sinAsinC=1-cos2B= 4 ----------12 分
(解法二)

1 由已知 b2= ac,及 cosB= 2

a ?c
2

根据余弦定理得:cosB= 所以 A=B=C=600

? ac 1 2ac = 2 ,解得 a=c,----------9 分
2

3 故 sinAsinC=1-cos2B= 4 ----------12 分
19 解: (Ⅰ)由 c = 3asinC-ccosA 及正弦定理得 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0

? 1 由于 sinC ? 0,所以 sin(A- 6 )= 2 ----------------------4 分 ? 又 0<A< ? ,故 A= 3 ---------------------------6 分
1 (Ⅱ)△ABC 的面积 S= 2 bcsinA= 3 ,
故 bc=4-----------------8 分 而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8--------10 分 解得 b=c=2----------------12 分 (20) 解:(I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C





sin 2 B ? sin A sin C ,-----------------3 分
2 再由正弦定理可得: b ? ac ,

-5-

所以 a , b, c 成等比数列.---------------------6 分
2 (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b ? ac ? 2 ,



cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? 2ac 4 ,-----------------9 分
7 4 , 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? 2 2 4 4 ---------------------12 分

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 21:解:

S?

2 14 (Ⅰ)在△ABC 中,由 cosA=- 4 ,可得 sinA= 4 ,
a c ? 又由 sin A sin C ,及 a =2,c= 2

7 可得 sinC= 4 --------------------3分
由 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+ b-2=0,因为 b>0,故解得 b=1

7 所以 sinC= 4 ,b=1 -------------------6分
3 2 14 ? (Ⅱ)解:由 cosA=- 4 ,sinA= 4 ,得 cos2A=2cos2A-1= 4 ,

7 sin2A=2sinAconA=- 4 ,--------------------9分
2A ?
所以,cos(

?

? ? ? 3 ? 21 3 )=cos 2 A cos 3 - sin 2 A sin 3 = 8 ----------------12 分

22:解: B?C 7 4 sin2 ? cos 2 A ? 2 2 及 A + B + C = 180°, 由

7 得 2[1-cos(B + C)]-2cos2 A + 1 = 2 ,…………………………2 分
∴ 4(1 + cosA)- 4cos2 A = 5,…………………………………………4 分 1 即 4 cos2 A- 4cos A + 1= 0,∴ cos A = 2 ,………………………………6 分
-6-

∵ 0°<A<180°, ∴ A = 60°.……………………………………………………………………8 分
cos A ? b2 ? c2 ? a2 2bc ,…………………………10 分

(2)【解】由余弦定理,得

b2 ? c2 ? a2 1 1 2bc ∵ cos A = 2 ,∴ =2,

∴ (b + c)2 - a2 = 3bc.………………………………………………………………12 分 将 a = 3 ,b + c = 3 代入上式,得 bc = 2.
?b ? c ? 3, ? ? ?bc ? 2, ? ?b ? 1, ? ? ?c ? 2 ? ?b ? 2, ? ? ?c ? 1. 或 ? ……………………………………………………14 分





-7-



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