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2018版高中数学苏教版必修5课件:3.2 一元二次不等式(一)


第3章 不等式

§3.2 一元二次不等式 (一)

学习 目标

1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图象法解一元二次不等式.

3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力.

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知识梳理

自主学习

知识点一

一元二次不等式的概念 一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的 最高次数是2 的不等

定义

式,叫做一元二次不等式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx

表达式

+c≤0,其中a≠0,a,b,c均为常数

答案

ax2+bx+c>0(a≠0)

解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值为正

数的自变量x的取值集合
解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值为负




ax2+bx+c<0(a≠0)

数的自变量x的取值集合
解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值大于

ax2+bx+c≥0(a≠0)

或等于0的自变量x的取值集合
解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值小于

ax2+bx+c≤0(a≠0)

或等于0的自变量x的取值集合

①② 思考 下列不等式是一元二次不等式的有________. ①x2>0;②-3x2-x≤5;③x3+5x-6>0;④ax2-5y<0(a为常数);

⑤ax2+bx+c>0.
解析 ①②是,符合定义;③不是,因为未知数的最高次数是3,不符

合定义;④不是,当a=0时,它是一元一次不等式,当a≠0时,它含
有两个变量x,y;⑤不是,当a=0时,不符合一元二次不等式的定义.

解析答案

知识点二

一元二次不等式的解法

利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式 .解一元二次不等 式的一般步骤: (1)将不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0; (2)计算相应的判别式; (3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.

知识点三

“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式) 的关系

Δ=b2-4ac y=ax2+bx+c(a

Δ>0

Δ=0

Δ<0

>0)的图象
有两个不相等的

ax2+bx+c=0(a >0)的根

实根x1,x2,且x1
<x2

没有实数根

答案

ax2+bx+c> 0(a>0)的解集

{x|x<x1或x>x2}

? ? b ? ? ?x?x≠- ? 2a ? ? ?

R

ax2+bx+c<

0(a>0)的解集

{x|x1<x<x2}

?

?

答案

思考

一元二次不等式 ax2 + 2x - 1 < 0 的解集为 R ,则 a 的取值范围是

(-∞,-1) ______________.

解析

? ? ? a <0 , ?a<0, ? ?? ?a<-1. ? ? ? Δ <0 ?4+4a<0

解析答案

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题型探究

重点突破

题型一

一元二次不等式的解法

例1 解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;

1 2

解析答案



? 9? ? 2 原不等式可化为?2x-2? ? ≤0, ? ?

? ? ? 9 ? ?. x | x = 所以原不等式的解集为? ? 4? ? ?

(3)-2x2+3x-2<0; 解 原不等式可化为 2x2 - 3x + 2 > 0 ,因为 Δ = 9 - 4×2×2 =- 7 < 0 ,

所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口
向上,所以原不等式的解集为R.

解析答案



原不等式可化为x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0,所以方

程x2-6x+10=0无实根,又二次函数y=x2-6x+10的图象开口向上,

所以原不等式的解集为?.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1


解下列不等式:

(1)x2-5x-6>0; 方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6. 结合二次函数y=x2-5x-6的图象知, 原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.

解析答案

(2)(2-x)(x+3)<0;
解 原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.

方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3. 结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知, 原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.

解析答案

(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).

解析答案

题型二

解含参数的一元二次不等式

例2 解关于x的不等式:ax2-(a-1)x-1<0(a∈R).

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2

解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0.

解析答案

题型三

“三个二次”关系的应用

例3

已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,

求不等式cx2+bx+a<0的解集.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练3

已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},求关

于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.
解 ∵x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},

∴1,2是方程x2+ax+b=0的两根.
? ? ?-a=1+2, ?a=-3, 由根与系数的关系得? 得? ? ? ?b=1×2, ?b=2,

代入所求不等式,得2x2-3x+1>0.
1 解得 x<2或 x>1.
1 ∴bx +ax+1>0 的解集为{x|x<2或 x>1}.
2
解析答案

易错点

不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误 若一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-3或x>5},则

例4

ax2-bx+c<0的解集为__________.

防范措施

解析答案

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当堂检测

1

2

3

4

5

1.下面所给关于x的几个不等式:①3x+4<0;②x2+mx-1>0;③ax2 2 +4x-7>0;④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________ 个. 解析 ②④一定是一元二次不等式.

解析答案

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5

?1 ? 1 ? ? 2 2. 若不等式 ax + 5x + c > 0 的解集为 ?x? <x< ? ,则 a , c 的值为 2 ? ? ?3

-6,-1 ____________.
? ?-5=1+1 , ? a 2 3 易知 a<0,且? ?c 1 1 = × , ? ?a 3 2

解析

? ?a=-6, ?? ? ?c=-1.

解析答案

1

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4

5

3. 已 知 x = 1 是 不 等 式 k2x2 - 6kx + 8≥0 的 解 , 则 k 的 取 值 范 围 是

{k|k≤2或k≥4} _________________.
解析 x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,把x=1代入不等式得k2-6k

+8≥0,解得k≥4或k≤2.

解析答案

1

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5

(-4,1) 4.不等式x2+3x-4<0的解集为________. 解析 易得方程x2+3x-4=0的两根为-4,1,所以不等式x2+3x-4<0

的解集为(-4,1).

解析答案

1

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5.已知关于x的不等式mx2-(2m+1)x+m-1≥0的解集为空集,求实数 m的取值范围.

解 (1)当m=0时,原不等式化为-x-1≥0,∴x≤-1,
解集非空.
? ?m<0, (2)当 m≠0 时,? 2 Δ = [ - ? 2 m + 1 ? ] -4m ?m-1?<0, ? ?

1 ∴m<- , 8

1 ∴综上,m<- . 8
解析答案

课堂小结 1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以 得到解一元二次不等式的一般步骤: ①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0); ②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应二次函数y=ax2+bx+c图 象的简图; ③由图象得出不等式的解集. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解. 当m<n时,若(x-m)(x-n)>0,则可得x>n或x<m; 若(x-m)(x-n)<0,则可得m<x<n.有口诀如下:大于取两边,小于取中间.

2.含参数的一元二次不等式
在解含参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了

做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑:
(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.

(2)关于不等式对应的方程的根的讨论:二根 (Δ>0),一根(Δ=0),无根
(Δ<0).

(3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2.

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本课结束



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