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双流中学2014级高一上半期考试数学试题(含答案)0


解密时间:2014 年 11 月 11 日上午 11:00

四川省双流中学 2014 届高一(上)期中考试试题


命题人:杜江涛


审题人:王林 曹军才

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 2 共 4 页,共 4 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷上答题无效.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 2} ,则 (A)1? A (B) 2 ? A (C) ? ? A (D) 2 ? A

2.若函数 f ( x) ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )经过点 (4, 2) ,则 f (2) ? (A)

1 2

(B) 1

(C) 2

(D) 4

2 3.集合 M ? {0,1,2,3} ,集合 P ? {x | x ? 9} ,则 M

P?
(D) {3}

3} (A){?3, 0,1, 2,

3} (B) {0,1, 2,

(C) {0,1, 2}

4.与 y ? x 为同一个函数的是 (A) y ?

x2

(B) y ?

x2 x

(C) x

3

3

(D) y ? ( x )

2

5.定义在集合 {1, 2,3, 4} 上的函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出:

x
f ( x)

1 3

2 4

3 2

4 1

x
g ( x)

1 4

2 3

3 1

4 2

则与 f ? g (1)? 相同的是 (A) g ( f (3)) (B) g ( f (1)) (C) g ( f (4)) (D) g ( f (2))

第 1 页 共 8 页

6.下列结论正确的是 (A) 3
0.8

? 30.7

(B) 0.75

?0.1

? 0.750.1

(C) ln 3.4 ? ln 8.5

(D) lg 0.3 ? lg 0.5

7.已知偶函数 f ( x ) 在 [0,??) 上单调递减,则 f (1) 和 f ( ?10) 的大小关系为 (A) f (1) ? f (?10) (C) f (1) ? f (?10) (B) f (1) ? f (?10) (D) f (1) 与 f ( ?10) 的大小关系不确定

8.如果函数 f ( x) ? x2 ? (a ?1) x ? 3 在区间 (4,??) 上是增函数,那么实数 a 的取值范围是 (A) ( ??,9] (C) [9, ??) (B) [5, ??) (D) ( ??,5]

9 .已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? ) 的图象与 x 轴的交点分别为 ( a, 0) 和 (b, 0) ,则函数

1 2

g ( x) ? a x ? b 的图象可能为
y 1
O

y 2

y

y 2
1

x

1
O

1
x
O

x

O

x

(A) (D)
2

(B)

(C)

10.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 2? x ? a , g ? x ? ? ?x ? 2 ? a ? 2? x ? a ? 8 .设
2 2 2

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? , H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? (其中 max ? p, q? 表示 p, q 中
的较大值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值).记 H1 ? x ? 的最小值为 A , H 2 ? x ? 的最大值 为 B ,则 A ? B ? (A) a ? 2a ? 16
2

(B) a ? 2a ? 16
2

(C) 16

(D) ? 16

第 2 页 共 8 页

第 II 卷(共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可 先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.

(? ? 4) 2 ?

. .

12. 函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? 3 ? 4 x 的定义域是

13. 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 (?1,1) 上的减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,则实数 a 的 取值范围是 .

x 14. 若 直 线 y ? m 与 函 数 y ? 2 ? 1 的 图 象 有 两 个 公 共 点 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是

_____________. 15. D( x) ? ?

?1, x为有理数 x ?0 ,为无理数

,则给出下列结论

①函数 D ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} ; ③函数 D ( x ) 是偶函数;

②函数 D ( x ) 的值域 [0,1] ; ④函数 D ( x ) 不是单调函数.

⑤对任意的 x ? R ,都存在 T0 ? R ,使得 D( x ? T0 ) ? D( x) . 其中的正确的结论是 (写出所有正确结论的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)计算 ? ? 2 ? ( )
0 ?2

9 4

?

1 2

? (0.01) 0.5 ;

(Ⅱ)计算 2log5 10 ? log5 0.25 . 17. (本小题满分 12 分) 设 全 集 U ?R , 集 合

A ? ? x ?1 ? x ? 4? ,

B ? ? x x ? 2 ? 0? ,

C ? ? x 2m ? 1 ? x ? m ? 1, m ? R? .
(Ⅰ)求 A

B; (Ⅱ)求 ? CU A? ?CU B ? .
第 3 页 共 8 页

(Ⅲ)若 C ? A ,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)

1 1 ? ?a ? 0, x ? 0 ? a x (Ⅰ)判断函数 f ?x ? 在(0,+∞)上的单调性,并用函数单调性定义加以证明;
已知函数 f ? x ? ?

?1 ? ?1 ? (Ⅱ)若 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的值域是 ? , 2 ? ,求实数 a 的值. ?2 ? ?2 ?

19. (本小题满分 12 分) 设某旅游景点每天的固定成本为 500 元,门票每张为 30 元,变动成本与购票进入旅游 景点的人数的算术平方根成正比.一天购票人数为 25 时, 该旅游景点收支平衡; 一天购票人 数超过 100 时,该旅游景点须另交保险费 200 元.设每天的购票人数为 x ,盈利额为 y 元. (Ⅰ)求 y 与 x 之间的函数关系; (Ⅱ)该旅游景点希望在人数达到 20 人时,就不出现亏损,若用提高门票价格的措施, 则每张门票至少要多少元(取整数)? (参考数据: 2 ? 1.41 , 3 ? 1.71, 5 ? 2.24 ) 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x)=x2 ? (2a ?1) x ? 3 (Ⅰ)当 a ? 2 时,若 x ?[?2,3] ,求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 [?2,3] 上的最小值为 g (a ) . ①求函数 g (a ) 的表达式; ②是否存在实数 a ,使得 g (a) ? 1 ,若存在,求出实数 a 的值,若不存在,请 说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 数 h( x) 之和. (Ⅰ)求 g ( x) 与 h( x) 的解析式; (Ⅱ)设 h( x) ? t , p(t ) ? g (2 x) ? 2mh( x) ? m ? m ?1(m ? R) ,求出 p(t ) 的解析式;
2
x ?1

定义在 R 上. 且 f ( x) 可以表示为一个偶函数 g ( x) 与一个奇函

第 4 页 共 8 页

(Ⅲ)若 p(t ) ? m2 ? m ?1 对于 t ? [2, 4] 恒成立,求 m 的取值范围.

四川省双流中学 2014 级高一(上)期中考试试题

数学参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 C 5 B 6 C 7 A 8 A 9 C 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11. 4 ? ? 12. ? ?

? 1 3? , ? 2 4? ?

13. (0, )

2 3

14. (0,1)

15.③④⑤

评分建议:第 12 题,定义域凡是不写成集合或区间形式的均不得分; 第 15 题,只有 0 分和 5 分的区别,不给部分分.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
1 1 9 -1 1 2 [ ) ] ? 0.012 解: (Ⅰ)原式 ? 1+ 2 ?( 2 4

1 4 1 1 1 2 ? 1+ ? [ ] ? ( )2 4 9 100
1 2 1 ? 1+ ? ? 4 3 10
? 16 …………………………………………………………………………6 分 15

(Ⅱ)原式 ? log5 100 ? log5 0.25

? log5 25

? 2 …………………………………………………………………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) A

B ? {x | 2 ? x ? 4} ……………………………………………………… 4 分

(Ⅱ) ? CU A?

?CU B? ? CU ? A

B? ? {x | x ? 2或x ? 4} ………………………8 分

(Ⅲ) (1)当 C ? ? ,即 2m ? 1 ? m ? 1 ,即 m ? 2 时,显然符合题意;………9 分
第 5 页 共 8 页

(2)当 C ? ? ,即 2m ? 1 ? m ? 1 ,即 m ? 2 时, 若 C ? A ,则 ?

?2m ? 1? ? 1 ,解之 0 ? m ? 3 ?m ? 1 ? 4

∴此时 0 ? m ? 2 综合(1) (2)可得 m ? 0 ……………………………………………………12 分 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)函数 f ?x ? 在(0,+∞)上的单调递增,下面用定义证明 证明:任取 x1 , x2 ? (0,??) ,且 x1 ? x2 ,则

1 1 1 1 1 1 x ?x f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? 1 2 a x1 a x2 x2 x1 x1 x2 ,又∵ x1 , x2 ? (0,??) ,且 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 0 ,即 f ( x ) ? f ( x ) ∴ x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 , ∴ 1 2 x1 x2
∴函数 f ?x ? 在(0,+∞)上的单调递增………………………………………8 分 (Ⅱ)

?1 ? f ( x) 在 ? ,2? 上单调递增, ?2 ?

2 1 1 ? f ( ) ? , f ( 2) ? 2 ,易得 a ? . ………………………………………12 分 5 2 2
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)根据题意,当购票人数不多于 100 时,可设 y 与 x 之间的函数关系为

y ? 30x ? 500 ? k x .
∵人数为 25 时,该旅游景点收支平衡, ∴ 30 ? 25 ? 500 ? k 25 ? 0 ,解得 k ? 50.
? ? ?30 x ? 50 x ? 500 ( x ? N , x ? 100), ∴y?? ……………………………8 分 ? ? ?30 x ? 50 x ? 700 ( x ? N , x ? 100).

(Ⅱ)设 每张门票价格提高为 m 元,根据题意,得

m ? 20 ? 50 20 ? 500 ? 0
∴ m ? 25 ? 5 5 ? 36.2 .…………………………………………………………11 分 故每张门票最少要 37 元

第 6 页 共 8 页

答:每张门票至少要 37 元…………………………………………………………12 分 20. (本小题满分 13 分)
2 2 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x)=x ? 3 x ? 3 ? ( x ? ) ?

3 21 2 4 3 21 若 x ?[?2,3] ,则 f ( x) min =f ( ) ? ? , f ( x)max =f (?2) ? 7 2 4 21 ∴函数 f ( x) 的值域为 [ ? , 7] …………………………………………5 分 4
2

2a ? 1 2 4a 2 ? 4a ? 13 ) ? (Ⅱ)∵ f ( x)=x ? (2a ? 1) x ? 3 ? ( x ? 2 4
∵ x ?[?2,3] , (1)当

3 2a ? 1 ? ?2 即 a ? ? 时, f ( x)min =f (?2) ? 4a ?1 2 2

(2)当 ? 2 ?

2a ? 1 3 7 2a ? 1 4a 2 ? 4a ? 13 ? 3 即 ? ? a ? 时, f ( x)min =f ( )?? 2 2 2 2 4

(3)当

7 2a ? 1 ? 3 即 a ? 时, f ( x)min =f (3) ? 9 ? 6a 2 2

3 ? a?? ?4a ? 1, 2 ? 2 3 7 ? 4a ? 4a ? 13 ①∴ g (a )= ?? , ? ? a ? ……………………………………11 分 4 2 2 ? 7 ? a? ?9 ? 6a, 2 ?
②当 a ? ?

3 1 时,由 4a ? 1 ? 1 ,得 a ? 2 2

∴此时 a ? ? ;

当?

3 7 4a 2 ? 4 a? 13 2 ? a ? 时, ?1, a? 17 ? , 0 由? 得 4a ? 4 ∵ ? ? 0 得 a ?? 2 2 4

∴此时 a ? ? ; 当a ?

7 4 时,由 9 ? 6a ? 1 ,得 a ? 2 3

∴此时 a ? ? ;

综上,不存在实数 a ,使得 g (a )? 1 .……………………………………………13 分

第 7 页 共 8 页

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵ g ( x) ? h( x) ? 2x?1 …………………① ∴ g (? x) ? h(? x) ? 2? x?1 ……………② 又∵ g ( x) 为偶函数, h( x) 为奇函数, ∴②式等价于 g ( x) ? h( x) ? 2? x ?1 ………③

∴由①③解得 g ( x) ?

f ( x) ? f (? x) 2 x ?1 ? 2? x ?1 1 ? ? 2 x ? x ,……………………4 分 2 2 2

h( x ) ?

f ( x) ? f (? x) 2 x ?1 ? 2? x ?1 1 ? ? 2 x ? x ……………………………………6 分 2 2 2
1 1 1 ? t ,则 t ? R , 平方得 t 2 ? (2 x ? x ) 2 ? 22 x ? 2 x ? 2 , x 2 2 2

x (Ⅱ)由 2 ?

∴ g (2 x) ? 2

2x

?

1 ? t2 ? 2 , 22 x
2

∴ p(t ) ? t ? 2mt ? m ? m ? 1 . ………………………………………………10 分
2

(Ⅲ) p(t ) ? t 2 ? 2mt ? m2 ? m ? 1 ? m2 ? m ?1 对于 t ? [2, 4] 恒成立,

即 t ? 2mt ? 2 ? 0 对于 t ? [2, 4] 恒成立,则
2

令 q(t ) ? t ? 2mt ? 2
2

则?

?q(2) ? 0 9 ,解得 m ? ? …………………………………………………14 分 4 ?q(4) ? 0

第 8 页 共 8 页


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