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【探究导学课】人教版高中数学必修4课时练:2.1 平面向量的实际背景及基本概念(含答案解析)

温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课后提升作业 十五 平面向量的实际背景及基本概念 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.数轴上点 A,B 分别对应-1,2,则向量 A.-1 的长度是( ) B.2 D.3 【解析】选 D.| |=2-(-1)=3. ) ∥ 意义是相同的 C.1 2.下列结论中,不正确的是( A.向量 B.若 = , 共线与向量 ,则 ∥ C.若向量 a,b 满足|a|=|b|,则 a=b D.若向量 = ,则向量 = 【解析】 选 C.平行向量又叫共线向量,相等向量一定是平行向量,但两个向量长度相等,方向却 不一定相等,故 C 错误. 3.(2016·丹东高一检测)设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则以 O 和各顶点为起点和终点的 向量中与向量 相等的向量的个数有( ) A.4 个 个 B.3 个 D.7 个 C.2 【解析】选 B.根据正六边形的性质可得,与 相等的向量有 , , ,共 3 个. ) 4.(2016·济宁高一检测)设 e1,e2 是两个单位向量,则下列结论中正确的是( A.e1=e2 C.e1=-e2 B.e1∥e2 D.|e1|=|e2| 【解析】 选 D.根据单位向量的定义:把模为 1 的向量称为单位向量,可知|e1|=|e2|=1,而这两个向 量的方向并没有明确,所以这两个单位向量可能共线,也可能不共线,所以 A,B,C 错误,D 正确. 【补偿训练】若|a|=|b|,那么要使 a=b,两向量还需要具备( A.方向相反 C.共线 D.方向任意 【解析】选 B.两向量相等需具备长度相等且方向相同两个条件,因此选 B. 5.(2016·长沙高二检测)设 O 为△ABC 外接圆的圆心,则 A.相等向量 平行向量 C.模相等的向量 相同的向量 【解析】选 C.| |,| |,| |都等于△ABC 外接圆的半径. ) D. 起 点 , , 是( ) B. ) B.方向相同 6.判断下列命题正确的是( A.若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b B.若向量|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反 C.对于任意|a|=|b|,且 a 与 b 的方向相同,则 a=b D.向量 a 与向量 b 平行,则向量 a 与 b 方向相同或相反 【解析】 选 C.A 不正确.因为向量是不同于数量的一种量,它由两个因素来确定,即大小与方向, 所以两个向量不能比较大小,故 A 不正确. B.不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向. C 正确.因为|a|=|b|,且 a 与 b 同向,由两向量相等的条件可得 a=b. D 不正确.因为向量 a 与向量 b 中若有一个是零向量,则其方向不确定. 7.(2016·贵阳高一检测)如图,在菱形 ABCD 中,∠DAB=120°,则以下说法错误的是( ) A.与 B.与 C. D. 相等的向量只有一个(不含 的模相等的向量有 9 个(不含 的模恰为 与 模的 倍 ) ) 不共线 【解析】选 D.两向量相等要求长度(模)相等,方向相同.两向量共线只要求方向相同或相反.D 中 , 所在直线平行,向量方向相同,故共线. |=2,则 A 点构成的平面图形是 ( A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.不能确定 【解析】选 C.因为| 图形是一个圆. 【补偿训练】把同一平面内所有不小于 1,不大于 2 的向量的起点,移到同一点 O,则这些向量 的终点构成的图形的面积等于 . |=2,所以点 A 在以点 O 为圆心、2 为半径的圆上,故 A 点构成的平面 ) 8.(2016·娄底高一检测)已知点 O 固定,且| 【解析】这些向量的终点构成的图形是一个圆环,其面积为π ·22-π ·12=3π . 答案:3π 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 9.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a 与 b 方向相反;④|a|=0,或|b|=0. 其中能使 a∥b 成立的条件是 . 【解析】因为 a 与 b 为相等向量,所以 a∥b,即①能够使 a∥b 成立;由于|a|=|b|并没有确定 a 与 b 的方向,即②不能够使 a∥b 成立;因为 a 与 b 方向相反时,a∥b,即③能够使 a∥b 成立;因为零 向量与任意向量共线,所以|a|=0 或|b|=0 时,a∥b 能够成立,故使 a∥b 成立的条件是①③④. 答案:①③④ 10.如图,四边形 ABCD 是菱形,则在向量 对. , , , , 和 中,相等的有 【解析】 答案:2 三、解答题 = , = .其余不等. 11.(10 分 ) 在平面上有一个四边形 ABCD, 点 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点 , 求 证: = . 【解题指南】EF,HG 都与 AC 平行且相等. 【证明】如图,连接 AC,在△ABC 中, 点 E,F 分别为 AB,BC 的中点, 所以| 且 与 |= | |, 的方向相同. |= | . |,且 与 方向相同,所以| |=| |且 与 方向相同, 同理可得| 所以 = 【规律方法】平面图形性质在向量中的应用 在解决平面图形中相等向量、共线向量的问题时,首先要分析平面图形中相等、平行关系,充 分利用三角形中位线定理,平行四边形的性质等平面几何知识,然后再转化为向量平行、相等. 【能力挑战题】 如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是两对角线 AC,BD 的交点,设点集 S={A,B,C,D,O},向量集合 T={ |M,N∈S 且 M,N 不重合},试求集合 T 中元素的个数. 【解析】由题意知,集合 T 中的元素实质上是 S 中任意两点连成的有向线段,共有 20 个,即


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