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2015-2016学年广东省惠来一中、揭东一中高一下学期期末联考数学(文)试题


2015-2016 学年度高一年级第二学期期末考试 文数试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? {1, 2,3, 4}, B ? {3, 4,5} ,全集 U ? A ? B ,则集合 ? U ( A ? B) 的子集个数为 ( )

A.6 B.8 C.16 D.32 2.某学校高三年级一班共有 60 名学生, 现采用系统抽样的方法从中抽取 6 名学生做 “早餐与健康” 的调查, 为此将学生编号为 1,2,?,60,选取的这 6 名学生的编号可能是 A.1,2,3,4,5,6 C.1,2,4,8,16,32 3.函数 y ? A. (0, 2) B.6,16,26,36,46,56 D.3,9,13,27,36,54 ( )

2? x 的定义域是 lg x

(

) D. (0,1) ? (1, 2] ( )

B. (0,1) ? (1, 2)

C. (0, 2]

4.圆 C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 与 C2 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 的位置关系是 A.内切 B.相交 C.相离

D.外切
__ __

5.甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如图所示,设 s1 , s 2 分别表示甲、乙运动员成绩的标准差, x1 , x2 分 别表示甲、乙运动员成绩的平均数,则有 A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 6.执行如图所示的程序框图, 若 ( )

B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2 输出的值是 13 ,则判断框内应为 ( )

A. k ? 6 ?


B. k ? 6 ?

C. k ? 7 ?
1第

D. k ? 7 ?

7.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中错误的是 A.若 m / / n, m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? / / ? B.若 m ? ? , m / / n, n / / ? ,则 ? ? ? D.若 m / /? , n / / ? , ? / / ? ,则 m / / n ( )

(

)

8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

? 6 ? B. 3 2? C. 3
A. D. (2 ? 2)?

nx (?? ? 9. 已 知 函 数 f ( x )? 3 s i?
f (? x) ? f ( x) ,则
A. f ( x) 在 (0, C. f ( x) 在 (0, ( )

?
4

? )?(

? ? ?0 ?, | |的 相)邻 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 ,且满足 2 2

? ?
2 2

) 上单调递增 ) 上单调递减

B. f ( x) 在 (

) 上单调递减 4 ? 3? D. f ( x) 在 ( , ) 上单调递增 4 4 4

? 3?
,

10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式 为:弧田面积 =

1 ?弦 ? 矢+矢2 ? ,弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中的“弦”是指圆弧 2

所对的弦长, “矢”等于半径长与圆心到弦的距离差,现有圆心角为 等于 4 米的弧田,按照上述经验公式计算所得到的弧田面积约是 A.6 平方米 C.12 平方米 11.已知 k ? 0 ,直线 l1 : y ? ? A. 2 3 B.9 平方米 D.15 平方米

2? ,半径 3
)

(

1 x 和 l2 : y ? 2 ? k ( x ? 2) 的交点为 M ,则 M 到原点的最大距离为 ( k
C. 2 2 D.

)

B. 2

2 2 5

?log 1 ( x ? 1), x ? 0 ? 12.已知 f ( x) ? ? 16 ,则关于 x 的方程 f ( x) ? m(m ? R) 恰有三个不同的实数根 a, b, c ,则 2 ? ? x ? x , x ? 0 ? ) a ? b ? c 的取值范围是 ( 1 1 1 1 1 3 A. ( , ) B. ( ,1) C. ( ,1) D. ( , ) 4 2 4 2 2 4
页 2第

第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

共 90 分)

2 13.在 [?2, 4] 上随机的抽取一个实数 m ,则关于 x 的方程 x ? mx ?

3 ? 0 有实根的概率 4



.
1 3

14.已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 5x ? m ,则 f (?8) ? 15.已知 ? 是第二象限的角,且 sin ? ?

.

1 ,则 tan 2? ? 3

.

? 16.已知在等腰梯形 ABCD 中, AB / / DC , AB ? BC ? 2 , ?ABC ? 120 , E 为 BC 的中点,则

??? ? ??? ? AC ?DE ?
17.(本小题满分 10 分)

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

已知 | a |? 2,| b |? 1,(2a ? 3b)? (2a ? b) ? 9 . (1)求向量 a 与 b 的夹角 ? ; (2)求 | a ? b | 和 cos ? a, a ? b ? 的值.

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ? ?

18.(本小题满分 12 分) 某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在 25 岁至

50
岁之间. 按年龄分组: 第 1 组 [25,30) , 第 2 组 [30,35) , 第 3 组 [35, 40) , 第 4 组 [40, 45) ,第 5 组 [45,50] ,得到的频率分布直方图如右图所示, 下表是年龄的频率分布表. 区 人 间 数

[25,30)
25

[30,35)

[35, 40)
b

[40, 45)

[45,50]

a

(1)求正整数 a , b , N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组的人数分 别是多少? (3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人年龄在第 3 组的 概率.
页 3第

19.(本小题满分 12 分)
? 已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,侧面 A1 ACC1 为菱形, ?A 1 AC ? 60 ,平

面 A1 ACC1 ? 平面 ABC , M , N 分别是 AB , CC1 的中点. (1)求证: CM / / 平面 A1 BN ; (2)求证: AC ? BN . 1

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin(? x ?

?
4

)?cos ? x 在 x ?

?
4

处取得最值,其中 ? ? (0, 2) .

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)将函数 f ( x) 的图象向左平移

?
36

个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍,纵坐

标不变,得到函数 g ( x) 的图象,若方程 g ( x) ? k ? 0 在 [0, ? ] 上有解,求实数 k 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)
x 已知函数 f ( x ) ? a ?

1 (其中 a ? 0 且 a ? 1 , a 为实数常数). ax

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 a f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[0,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围.
t

22.(本小题满分 12 分)
2 2 已知圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? 1(a ? 1) 关于直线 y ? x ? 1 对称,直线 x ? y ? 4 ? 0 交圆 C 与 A, B 两

点,且 | AB |? 2 . (1)求圆 C 的方程;

ON ? 6( O 为坐标原点) (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与圆 C 交于 M , N 两点, 是否存在直线 l , 使得 OM ? ,
页 4第

???? ? ????

若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.



5第

广东省惠来一中高一期末文数答案 一、选择题 1.B 2.B 二、填空题 13. 3.D 4.C 5.A 6.A 7.D 8.B 9.C 10.B 11.C 12.C

1 6

14. ?42

15. ?

4 2 7

16. 9

三、解答题 17.解:因为 | a |? 2,| b |? 1,(2 a ?3b) ? (2 a ? b) ? 9 , 所以 4a ? 4a? b ? 3b ? 9 ,即 16 ? 8cos ? ? 3 ? 9 ,

?

?

?

?

? ?

?2

??

?2

1 ? ,因为 ? ? [0, ? ] ,所以 ? ? .??????????5 分 2 3 ? ? ? ? 1 (2)由(1)得知 a ? b ?| a || b | cos ? ? 2 ?1? ? 1 , 2 ? ? ? 2 ?2 ? ? 所以 | a ? b |? a ? b ? 2a ? b ? 4 ? 1 ? 2 ? 7 ,??????????7 分
得 cos ? ? 因为 a ? (a ? b) ? a ? a ? b ? 4 ? 1 ? 5 ,??????????9 分

? ? ?

?2 ? ?

? ? ? ? ? ? a? (a ? b) 5 5 7 所以 cos ? a, a ? b ?? ? ? ? ? .??????????10 分 ? 14 | a |? | a ? b | 2? 7
18.解: (1)由频率分布直方图可知, N ?

25 ? 250 , 0.02 ? 5

因为 [25,30) 与 [30,35) 两组的人数相同, 所以 a ? 25 ,且 b ? 0.08 ? 5 ? 250 ? 100 .?????3 分 (2)因为第 1,2,3 组共有 25 ? 25 ? 100 ? 150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人,每组抽取 的人数分别为:第 1 组的人数为 6 ? 第 3 组的人数为 6 ?

25 25 ? 1 ,第 2 组的人数为 6 ? ? 1, 150 150

100 ? 4 ,所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人.??????????6 分 150

(3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A ,第 2 组的 1 人为 B ,第 3 组的 4 人分别为 C1 , C2 , C3 , C4 , 则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为: ( A, B),( A, C1 ),( A, C2 ),( A, C3 ),( A, C4 ),

( B, C1 ),( B, C2 ), ( B, C3 ), ( B, C4 ), (C1, C2 ),(C1, C3 ),(C1, C4 ), (C2 , C3 ),(C2 , C4 ),(C3 , C4 ) ,共有 15 种,
其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为:

( A, C1 ),( A, C2 ),( A, C3 ),( A, C4 ), ( B, C1 ),( B, C2 ), ( B, C3 ), ( B, C4 ), 共有 8 种,
所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为

8 .??????????12 分 15



6第

19.解: (1)取 A1 B 的中点 P ,连接 PM , PN . 因为 M , P 分别是 AB , A1 B 的中点,所以 PM ∥ AA1 , PM ? 又因为 AA1 ∥ CC1 ,所以 PM / / CN 且 PM ? CN . 所以四边形 PMCN 为平行四边形,所以 PN // CM . 又因为 CM ? ? 平面 A1 BN , PN ? 平面 A1 BN , 所以 CM ∥平面 A1 BN . ??????????6 分

1 AA1 . 2

(2)取 AC 的中点 O ,连接 BO , ON , 由题意知 BO ? AC ,又因为平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC , 所以 BO ? 平面 A1 ACC1 .

? 平面 A1 ACC1 因为 AC 1

所以 BO ? AC 1 .

因为四边形 A1 ACC1 为菱形,所以 AC ? AC1 . 1 又因为 ON // AC1 ,所以 AC ? ON , 1

? 平面 BON . 又 ON ? BO ? O ,所以 AC 1
又 BN ? 平面 BON ,所以 AC ? BN .??????????12 分 1 20.解: (1) f ( x) ? 4sin(? x ?

?
4

)? cos ? x ? 2 2 sin ? x? cos ? x ? 2 2 cos 2 ? x

? 2 sin 2? x ? 2 cos 2? x ? 2 ? 2sin(2? x ? ) ? 2 ,??????????3 分 4
因为 f ( x) 在 x ? 所以 2? ? ?

?

?

3 , k ? Z ,即 ? ? 2k ? , k ? Z , 2 4 4 2 ? 3 因为 ? ? (0, 2) , 所以当 k ? 0 时, ? ? , f ( x) ? 2sin(3 x ? ) ? 2 , 4 2 2? 所以 T ? .??????????6 分 3

?

?

4

处取得最值,

? k? ?

?



7第

(2)将函数 f ( x) 的图象向左平移 得 y ? 2sin[3( x ?

?
36

个单位,

) ? ] ? 2 ? 2sin(3 x ? ) ? 2 , 36 4 6

?

?

?

再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍,纵坐标不变, 得 g ( x) ? 2sin( x ?

?
6

) ? 2 ,?????????9 分

因为当 x ? [0, ? ] 时, ? 所以 ?

?
6

? x?

?
6

?

1 ? ? sin( x ? ) ? 1 , g ( x) ?[?1 ? 2, 2 ? 2] , 2 6

5? , 6

因为方程 g ( x) ? k ? 0 在 [0, ? ] 上有解,所以 k ? ? g ( x) 在 [0, ? ] 上有解, 所以 k ?[ 2 ? 2, 2 ?1] , 即实数 k的取值范围为 [ 2 ? 2, 2 ?1] .??????????12 分
x 21.解: (1) f ( x ) ? a ?

1 的定义域为 R ,设 ?? ? x1 ? x2 ? ?? , ?x ? x2 ? x1 ? 0 , ax
x

则 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 2 ?

1 1 1 1 a x2 ? a x1 x1 x2 x1 x2 x1 ? ( a ? ) ? ( a ? a ) ? ? ? ( a ? a ) ? a x2 a x1 a x1 a x2 a x1 ? x2

? (a x2 ? a x1 )(1 ?

1 a
x1 ? x2

),

当 a ? 1 时, ?y ? 0 , f ( x) 为单调递增函数; 当 0 ? a ? 1 时, ?y ? 0 , f ( x) 为单调递减函数. ??????????6 分 (2) 当 t ?[0,1] 时, a (a
t 2t

?

1 1 ) ? m( a t ? t ) ? 0 , 2t a a

即 a (a ?
t t

1 t 1 1 )(a ? t ) ? m(a t ? t ) ? 0 . t a a a
t

若 a ? 1 , t ?[0,1] , a ?
2t

1 ? 0 ,所以 a 2t ? 1 ? m ? 0, 得 m ? ?(a2t ? 1) , t a
2

因为 t ? [0,1], 所以 a ? 1?[2, a ? 1] , ?(a ? 1) ?[?1 ? a , ?2] ,
2t 2

故 m 的取值范围是 [?2, ??) ; ??????????9 分 若 0 ? a ? 1 , t ?[0,1] , a ?
t

1 ? 0 ,所以 m ? ?(a2t ? 1) , t a
2t 2

因为 t ? [0,1], 所以 a ? 1?[a ? 1, 2] , ?(a ? 1) ?[?2, ?1 ? a ] ,
2t 2

故 m 的取值范围是 (??, ?2] .


?????????12 分
8第

22.解: (1)由题意知圆 C 的圆心 ( a, b) 在直线 y ? x ? 1 上,所以 b ? a ? 1 ,

又因为圆心 C 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离为 1 ? (

2 2 2 , ) ? 2 2

所以

| a ?b?4| 2 ,即 a ? b ? 4 ? 1 或 a ? b ? 4 ? ?1 , ? 2 2
?a ? 2 ? a ? 1 或? (舍) ,所以圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 .??????????4 分 ? b ? 3 ?b ? 2

解得 ?

(2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? 2 代入方程 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ,得 ( x ? 2) ? (kx ? 1) ? 1 ,
2 2 2 2

2 2 即 (1 ? k ) x ? (2k ? 4) x ? 4 ? 0 (?) ,

由 ? ? (2k ? 4)2 ?16(1 ? k 2 ) ? 0 ,得 ?12k ? 16k ? 0 ,
2

2k ? 4 4 , x1 ?x2 ? .??????????7 分 2 1? k 1? k 2 ???? ? ???? 又因为 OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? (1? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ,
所以 x1 ? x2 ? 所以 (1 ? k ) ?
2

4 2k ? 4 ? 2k ? ? 4 ? 6. 2 1? k 1? k 2 1 即3k 2 ? 4k ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? ? .?????????10 分 3

此时 (?) 式中 ? ? 0 ,没有实根,与直线 l 与 C 交于 M , N 两点相矛盾,

ON ? 6 .??????????12 分 所以不存在直线 l ,使得 OM ?

???? ? ????



9第


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