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高二数学选修2-2综合测试题一


高二数学综合测试试题(理科)
第Ⅰ卷
7?i ? 3?i
B. 2 ? i (选择题 共 60 分) 2013-04

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1. i 是虚数单位,复数 A. 2 ? i ( C. ?2 ? i ) D. ?2 ? i
2

2.一物体作直线运动,其位移 s 与时间 t 的关系是 s ? 3t ? t ,则物体的初速度为 A. 3 B. 0 C. ? 2 ( D. 3 ? 2t )





3.函数 f (x) 的图象如图所示,下列数值排序正确的是 A. 0 ? f ' (2) ? f ' (3) ? f (3) ? f (2) C. 0 ? f ' (3) ? f ' (2) ? f (3) ? f (2)

y

B. 0 ? f ' (3) ? f (3) ? f (2) ? f ' (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f ' (2) ? f ' (3) ( ) D. ? 4 ( ) D. b ? O x

4.若函数 f ( x) ? x 2 ? 2 xf ' (1) ,则 f ' (0) 等于 A. 0 B. 2 C. ? 2

5.若函数 f ( x) ? x 3 ? 3bx ? 3b 在 (0, 1) 内有极小值,则 A. 0 ? b ? 1
3

B. b ? 1
2

C. b ? 0

1 2


6.函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 12x ? 5 在 [0, 3] 上的最大值和最小值分别是( A. ? 4,?15 B. 5,?4 C. 5,?15 D. 5,?16 )
b

7.设函数 f (x) 在 [ a, b] 上是连续函数,下列说法成立的个数是( ①

?

b

a

[2 f ( x) ? 1]dx ? 2? f ( x)dx ? 1 ;
a

b



?

b

a

[ f ( x)]2 dx ? [? f ( x)dx]2
a

③ 若 A.0

?

b

a

f ( x)dx ? 0 ,则 f (x) 在 [ a, b] 上恒正
B.1 C.2

④ 若 f (x) 在 [ a, b] 上恒正,则 D.3

?

b

a

f ( x)dx ? 0

8.函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,其导函数

y

f ' ( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在
开区间 (a, b) 内有极小值点( A.1 个 9.若 f ( x) ? ? B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

a

O

b

x

1 2 x ? b ln( x ? 2) 在 (?1,??) 上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B. (?1,??) C. (??,?1) D. (??,?1]



A. [?1,??)

10.设 a ? b ,函数 y ? ( x ? a) 2 ( x ? b) 的图象可能是( y y a O a b x O b



x

A. y y

B.

a O C.

b

x

O

a

b

x

D. )

11.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离为( A. 0 12.若函数 f ( x ) ? A. a ? b B. 2 5 C. 3 5 D. 5

sin x1 sin x 2 sin x ,且 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,设 a ? ,b ? ,则 a , b 的大小关系是( x x1 x2
B. a ? b C. a ? b D.不能确定



第Ⅱ卷

(非选择题 共 90 分)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. ) 13.函数 y ?

1 2 x ? ln x 的单调减区间是 2

; ;

2 14.若 x ? 2 是函数 f ( x) ? x( x ? b) 的极大值点,则函数 f (x) 的极大值为

15.定积分

?(
0

1

1 ? x 2 ? x)dx 的值是

; .

2 16.由曲线 y ? x ? 2 与直线 y ? 3x , x ? 0 , x ? 2 所围成平面图形的面积等于

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分)设 f (x) 是连续函数,且 f ( x) ? x ? 2

?

1

0

f (t )dt ,求 f (x) .

18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? (1)求 a1 , a2 , a3 ,并猜想数列 {an } 的通项公式;

an 1 ? ? 1, 且an ? 0, n ? N ? . 2 an

(2)试证明(1)中你的猜想.

19. (本小题满分 12 分) 设 y ? f (x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ' ( x) ? 2 x ? 2 .
(1)求 y ? f (x) 的表达式; (2)若直线 x ? ?t (0 ? t ? 1) 把 y ? f (x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值.

20. (本小题满分 12 分)用总长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架.如果所制作容器的底面的一边比另一边 长 0.5m ,那么高为多少时容器的容积最大?并求出其最大容积.

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a 、 b 的值及函数 f (x) 的单调区间;

2 与 x ? 1 时都取得极值. 3

(2)若对 x ? [?1 , 2] ,不等式 f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围.

22. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x . 2
(2)当 x ? [1 , ? ?) 时,求证: f ( x ) ?

(1)求函数 f (x) 在 [1 , e] 上的最大值和最小值;

2 3 x . 3



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