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北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷(文科)


北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷(文史类)

2012.11

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1. 已知全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6 ? , 集合 A ? ?1, 3, 5 ? , B ? ?1, 2 ? , 则 A ? ( ?U B )等于 ? A. ?
3

B. ? 5 ?

C. ? 3?

D. ? 3, 5 ?

2. 曲线 y ? 2 x ? x 在 x ? ? 1 处的切线方程为 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

3. 已知平面向量 a , b 满足 | a | ? 1 , | b |? 2 ,且 ( a ? b ) ? a ,则 a 与 b 的夹角是 A.
5? 6

B.

2? 3

C.

? 3

D.

? ?

4. 已知数列 ?a n ? 是各项均为正数的等比数列,若 a 2 ? 2, 2 a 3 ? a 4 ? 1 6 ,则 a n 等于 A. 2
n?2

B. 2

3? n

C. 2

n ?1

D. 2

n

5. 已知角 ? 的终边经过点 ( ? 3 a , 4 a )( a ? 0 ) ,则 sin 2 ? 等于 A. ?
7 25

B. ?

12 25

C.

24 25

D. ?

24

25 ??? ? ???? ? 6. 在 ? A B C 中, M 是 B C 的中点, A M ? 3 ,点 P 在 A M 上,且满足 A P ? 2 P M , ??? ??? ???? ? ? 则 P A ? ( P B ? P C ) 的值为

A. ? 4 7. 函数 f ( x ) ? ? A. 1
,x ? 0

B. ? 2
? ? x ? 3, x ? 0, ? x
3

C. 2

D. 4

的图象与函数 g ( x ) ? ln ( x ? 1) 的图象的交点个数是 C. 3 D. 4

B. 2

8.已知数列 ? a n ? 是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列.对于函数 y ? f ( x ) ,若数列 ? ln f ( a n )? 为等 差数列,则称函数 f ( x ) 为“保比差数列函数”. 现有定义在 (0, ? ? ) 上的如下函数: ① f (x) ?
1 x



② f (x) ? x ,
2

③ f (x) ? e ,
x

④ f (x) ?

x ,

则为“保比差数列函数”的所有序号为 A.①② B.③④ C.①②④
1

D.②③④

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知 co s( ? ? ? ) ?
1 2

,且 ? 为第二象限的角,则 s in ? = , tan ? =
1 2 ? 2 ?8
x

. . .

10. 已知集合 A ? { x ? R | x ? 2} , B = ? x ? R ∣

? ,则 A ?

B=

11. 设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 a 3 ? a 4 ? 4, a 6 ? a 7 ? 1 6 ,则公差 d ? , S 9 ? 12. 在 ? A B C 中,若 B A ? B C ? 4 , ? A B C 的面积为 2 ,则角 B ? 13. 已知函数 y ? f ( x ) 满足: f (1) = a ( 0 ? a ? 1 ) ,且
? f (x) ? 1 , ? f ( x ? 1) ? ? f ( x ) ? 2 f ( x ), ?

??? ??? ? ?

.
f ( x ) ? 1, f ( x ) ? 1,

则 f (2)=

(用 a 表

示) ;若 f (3) =

1 f (2)

,则 a ?

.

14. 已 知函数 f ( x ) 是 定义在 R 上 的奇函 数,且在 定义域 上单调 递增 .当 x ? ?1 ? a , ? ? ? 时, 不等 式
f ( x ? 2 a ) ? f ( x ) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 设△ A B C 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 a ? 2 , b ? 3, c o s C ? (Ⅰ)求△ A B C 的面积; (Ⅱ)求 sin ( C ? A ) 的值. 16. (本小题满分 13 分) 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 3 S n ? 1 , n ? N ? . (Ⅰ)写出 a 2 , a 3 的值,并求出数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? n a n ? 的前 n 项和 T n .
y
2

1 3



17. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 图象如图所示. (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 co s 2 x ,求函数 g ( x ) 在区间
[0, ? 2
2

??

? 2

3

) 部分

o

? 6

x

?2

] 上的最大值和最小值.

18. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x ) ? 2 a x ? 4 x ? 3 ? a , a ? R .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x ) 在区间 ? ? 1,1 ? 上存在零点,求 a 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? x ? a e , a ? R .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 单调区间; (Ⅱ)若 ? x ? R , f ( x ) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分13分) 给定一个 n 项的实数列 a 1 , a 2 , ? , a n ( n ? N ) , 任意选取一个实数 c , 变换 T ( c ) 将数列 a 1 , a 2 , ? , a n 变 换为数列 | a 1 ? c |, | a 2 ? c |, ? , | a n ? c | ,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样的变换可以连续进行 多次,并且每次所选择的实数 c 可以不相同,第 k ( k ? N ) 次变换记为 T k ( c k ) ,其中 c k 为第 k 次变换时选 择的实数.如果通过 k 次变换后,数列中的各项均为 0 ,则称 T1 ( c1 ) , T 2 ( c 2 ) ,?,T k ( c k ) 为 “ k 次归零 变换” (Ⅰ)对数列:1,2,4,8,分别写出经变换 T1 ( 2 ) , T 2 (3 ) , T 3 ( 4 ) 后得到的数列; (Ⅱ)对数列:1,3,5,7,给出一个 “ k 次归零变换”,其中 k ? 4 ; (Ⅲ)证明:对任意 n 项数列,都存在“ n 次归零变换”.
?
?

3

北京市朝阳区 2012-2013 学年度第一学期高三年级期中练习 数学试卷答案(文史类)
一、选择题(共 40 分) 题 号 答 案 二、填空题 (共 30 分) 题号 答案 (9)
3 2

2012.11

1 D

2 A

3 B

4 C

5 D

6 A

7 C

8 C

(10)
?

(11)
d ? 2

(12)
?

(13)
2 4

(14)
(?? , 1 2

3

?x

? 1 ? x ? 2?

45

45

2a

或1

)

三、解答题(共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在△ A B C 中,因为 c o s C ?
1 3



所以 s in C ?

1 ? cos C ?
2

1 2 2 2 1? ( ) ? . 3 3
1 2 ? 2? 3? 2 3
2

?????????2 分

所以 S ? A B C ?

1 2

a b ?s in C ?

2

? 2

2 .

?????????5 分

(Ⅱ)由余弦定理可得, c ? a ? b ? 2 a b ?co s C
2 2

? 4 ? 9 ? 2? 2? 3?

1 3

?9

所以 c ? 3 . 又由正弦定理得,
c s in C ? a s in A

????????????????7 分 ,
2 3 3 2 ? 4 9 2

所以 s in A ?

a ?s in C c

2? ?



????????9 分

因为 a ? b ,所以 A 为锐角, 所以 c o s A ?
1 ? s in
2

A ?

1? (

4 9

2

)

2

?

7 9



????????11 分

所以 sin ( C ? A ) ? sin C ?co s A ? co s C ?sin A
? 2 3 2 ? 7 9 ? 1 3 ? 4 9 2 ? 10 27 2



????????13 分

4

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) a 2 ? 4 , a 3 ? 1 6 . ?????????????????2 分

由题意, a n ? 1 ? 3 S n ? 1 ,则当 n ? 2 时, a n ? 3 S n ? 1 ? 1 . 两式相减,化简得 a n ? 1 ? 4 a n ( n ? 2 ). ?????????????????4 分 又因为 a 1 ? 1 , a 2 ? 4 ,
a
2

a1

? 4,

则数列 ? a n ? 是以 1 为首项, 4 为公比的等比数列, 所以 a n ? 4
n ?1

(n ? N? )

?????????????????6 分
2 n ?1

(Ⅱ) T n ? a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 4
4 T n ? 4 ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? ? ? ( n ? 1) ? 4
2 3 n ?1



? n?4 ,
n

????????8 分
n n ? n ? 4 . ?????12 分

两式相减得, ? 3T n ? 1 ? 4 ? 4 2 ? ? ? 4 n ? 1 ? n ? 4 n ? 化简整理得, T n ? 4 (
n

1? 4

1? 4

n 3

?

1 9

)?

1 9

( n ? N ? ).

????????????13 分

17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 2 , 所以 ? ? 2 . 当x ?
? 6 T 2 ? 2? 3 ? ? 6 ? ? 2

,所以 T ? ? . ?????????????2 分

时, f ( x ) ? 2 ,可得 2 s in ( 2 ?
? 2

? 6

??) ? 2 ,

因为 | ? |?

,所以 ? ?

? 6



?????????????????4 分
? 6

所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ? (Ⅱ) g ( x ) ? f ( x ) ? 2 c o s 2 x ? 2 s in ( 2 x ?
? 2 s in 2 x c o s ? 6 ? 2 c o s 2 x s in

).

?????????????5 分

? 6 ? 6

) ? 2 cos 2 x

? 2 cos 2 x

?

3 sin 2 x ? co s 2 x
? 6 ). ? 6 ? 6 ?? 6

???????????????8 分 ???????????????10 分

? 2 s in ( 2 x ? ? 2

因为 x ? [ 0 ,

] ,所以 ?

? 2x ?

?



5

当2x ?

? 6

?

? 2

,即 x ?

? 3

时, g ( x ) 有最大值,最大值为 2 ;

??????12 分

当2x ?

? 6

? ?

? 6

,即 x ? 0 时, g ( x ) 有最小值,最小值为 ? 1 .????????13 分

18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,则 f ( x ) ? 2 x ? 4 x ? 4
2

? 2 ( x ? 2 x ) ? 4 ? 2 ( x ? 1) ? 6 .
2 2

因为 x ? ? ? 1,1 ? ,所以 x ? 1 时, f ( x ) m a x ? f (1) ? 2 . ??????????3 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x ) ? 4 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1 ? 上有零点, 所以 a ? 0 时成立.??4 分 当 a ? 0 时,令 ? ? 1 6 ? 8 a (3 ? a ) ? 8( a ? 1)( a ? 2 ) ? 0 , 解得 a ? ? 1, a ? ? 2 . (1) 当 a ? ? 1 时,
2

???????????????5 分
2

f ( x ) ? ? 2 x ? 4 x ? 2 ? ? 2 ( x ? 1)

由 f ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ? [ ? 1 ,1 ] ; 当 a ? ? 2 时, f ( x ) ? ? 4 x ? 4 x ? 1 ? ? 4 ( x ?
2

1 2

) .

2

由 f ( x ) ? 0 ,得 x ?

1 2

? [ ? 1 ,1 ] ,

所以当 a ? 0, ? 1, ? 2 时, y ? f ( x ) 均恰有一个零点在 ? ? 1,1 ? 上.??????7 分 (2)当 f ( ? 1) ? f (1) ? ( a ? 7 )( a ? 1) ? 0 ,即 ? 1 ? a ? 7 时,
y ? f

? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上必有零点.

???????????????9 分

(3)若 y ? f ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上有两个零点, 则
? a ? 0, ? a ? 0, ? ? ? ? 8 ( a ? 1)( a ? 2 ) ? 0 , ? ? 8 ( a ? 1)( a ? 2 ) ? 0 , ? ? ? ? 1 1 或 ? ? 1 ? ? ? 1, ? ? 1 ? ? ? 1, a a ? ? ? f ( ? 1) ? 0 , ? f ( ? 1) ? 0 , ? ? ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0 .

???????13 分

解得 a ? 7 或 a ? ? 2 . 综上所述,函数 f ( x ) 在区间 ? ? 1,1 ? 上存在极值点,实数 a 的取值范围是
a ? ?1 或 a ? ?2 .

???????????????14 分
6

19. (本小题满分 14 分)
x 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 1 ? a e .

????????1 分 ????????3 分 ????????4 分

当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 R 上是增函数. 当 a ? 0 时,令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? ? ln a .

若 x ? ? ln a 则 f ? ( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 在区间 ( ? ? , ? ln a ) 上是增函数; 若 x ? ? ln a 则 f ? ( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 在区间 ( ? ln a , ? ? ) 上是减函数. 综上可知:当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 ( ? ? , ? ? ) 上是增函数; 当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 ( ? ? , ? ln a ) 上是增函数,在区间 ( ? ln a , ? ? ) 上是减函数. ???????????????9 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:当 a ? 0 时, f ( x ) ? 0 不恒成立. 又因为当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 ( ? ? , ? ln a ) 上是增函数,在区间 ( ? ln a , ? ? ) 上是减函数,所以
f ( x ) 在点 x ? ? ln a 处取最大值,

且 f ( ? ln a ) ? ? ln a ? a e 令 ? ln a ? ? ? ? ,得 a ?

? ln a

? ? ln a ? ? .

??????????????11 分

? e


? e , ? ? ) .??????????14 分

故 f ( x ) ? 0 对 x ? R 恒成立时, a 的取值范围是 [

20. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) T1 ( 2 ) :1,0,2,6; T 2 (3 ) :2,3,1,3; T 3 ( 4 ) :2,1,3,1.?????????3分 (Ⅱ)方法1: T1 ( 4 ) :3,1,1,3; T 2 ( 2 ) :1,1,1,1; T 3 (1) :0,0,0,0. 方法2: T1 ( 2 ) :1,1,3,5; T 2 ( 2 ) :1,1,1,3; T 3 ( 2 ) :1,1,1,1; T 4 (1) :0,0,0,0. ???????????????6分
(k ) (k ) (k ) (Ⅲ)记经过 T k ( c k ) 变换后,数列为 a 1 , a 2 , ? , a n .

取 c1 ? 取 c2 ?

1 2
1 2

( a 1 ? a 2 ) ,则 a 1
(1 ) (1 )

(1 )

? a2
(2)

(1 )

?
(2)

1 2

| a 1 ? a 2 | ,即经 T1 ( c1 ) 后,前两项相等;
(2)

( a 2 ? a 3 ) ,则 a 1

? a2 (ak

? a3

?

1 2

| a 2 ? a 3 | ,即经 T 2 ( c 2 ) 后,前3项相等;
(1 ) (1 )

继续做类似的变换, c k ? 取

1 2

( k ?1)

? a k ? 1 ) , k ? n ? 1 ) 经 T k ( c k ) 后, ( , 得到数列的前 k ? 1 项相等. 特
7

( k ?1 )

( 别地,当 k ? n ? 1 时,各项都相等,最后,取 c n ? a n n ? 1) ,经 T n ( c n ) 后, 数列各项均为0.所以必存在 n

次“归零变换”. (注:可能存在 k 次“归零变换”,其中 k ? n ). ????????????13分

8



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